1.11 有理数的乘方（暑期预习知识清单）2026-2027学年华东师大版七年级数学上册

第一章　有理数 1.11　有理数的乘方 暑期预习知识清单 2026—2027学年　华东师大版　七年级数学上册 自主学习专用 本节预习导航 🎯 一、与小学知识的联系 小学阶段，你就学过“几个相同加数求和用乘法”（如 3+3+3+3 = 3×4），以及“正方形的面积 = 边长×边长”“立方体的体积 = 棱长×棱长×棱长”。进入初中，当“相同因数相乘”的因数很多时（如 7 个 2 相乘），写起来又长又乱，于是引入专门的记号——乘方。乘方就是“几个相同因数相乘的简便写法”，把 2×2×2×2×2×2×2 记作 2⁷。你只需要把小学“相同加数→乘法”推广成“相同因数→乘方”，再学会判定“负底数乘方结果的符号”，就掌握了本节。 举个生活例子：一种细胞每 30 分钟分裂成 2 个（数量翻倍），经过 3 小时（6 个 30 分钟），最初 1 个变成多少个？列式为 2⁶ = 64 个——这正是“6 个 2 相乘”的乘方，比写 2×2×2×2×2×2 简洁得多。 🎯 二、小升初术语变化说明 1. 小学“面积=边长×边长”只说两个相同数相乘；初中统一记作 a²，并把“n 个 a 相乘”记作 aⁿ（n 为正整数），称为乘方。 2. 小学“负号只出现在结果”；初中出现“底数为负”的情形，如 (−2)³，必须按“负底数奇次幂为负、偶次幂为正”判定符号。 3. 小学“指数只见过 2、3 表示面积体积”；初中指数推广到任意正整数 n，并区分 (−a)ⁿ 与 −aⁿ 这两种易混写法。 【小学与初中术语对照表】提前熟悉，能帮你平稳衔接： 小学说法 初中说法 关键变化 边长×边长（面积） a²（a 的二次方 / 平方） 引入上标指数 棱长×棱长×棱长（体积） a³（a 的三次方 / 立方） 引入上标指数 相同加数求和→乘法 相同因数相乘→乘方（aⁿ） 运算记号升级 负号多在结果 (−a)ⁿ 与 −aⁿ 要区分 负底数符号判定 💡 衔接提醒：本节直接建立在有理数乘法（1.9 乘法法则）之上——乘方本质上就是连乘，符号判定仍按“先定符号、再算绝对值”的思路，只是看负因数出现的次数（指数奇偶）。记住“乘方 = 相同因数的连乘”这条主线，所有乘方都能拆回乘法。若乘法法则还不熟，请先回看 1.9.1，再来本节会轻松很多。 🎯 三、本节核心内容 ① 乘方的定义（aⁿ = n 个 a 相乘）；② 幂的组成（底数、指数、幂及读法）；③ 乘方符号法则（正底数恒正；负底数奇负偶正；0 的正整数次幂为 0）；④ 特殊数的幂（1、−1、10 的特征）；⑤ 易混辨析（(−a)ⁿ 与 −aⁿ）；⑥ 用“正方形面积 / 立方体体积模型”理解乘方。 🎯 四、本节在全书的地位 “有理数的乘方”是四大运算（加减乘除）之后引入的第五种重要运算记号——它把“相同因数连乘”压缩成一个上标，是科学记数法、后续“有理数的混合运算”“整式（幂运算）”“甚至高中指数函数的基石”。尤其(−1)ⁿ 的奇偶交替会贯穿整个初中代数。掌握后，你能把 2×2×2×2×2 直接写成 2⁵、把细胞翻倍、面积体积计算、大数（如 10⁸）表达都变得简洁。务必分清(−2)⁴ = 16 与 −2⁴ = −16——这是开学后最容易错的送分题。建议预习时把 (−2)³、−2³、(−2)⁴ 反复对照练，体会“括号改变底数”，为混合运算打基础。 🎯 五、预计学习时间 60分钟（建议分两次：第一次阅读知识清单+理解符号法则，约35分钟；第二次做例题、随堂小测与分层自测卷，约25分钟）。 💡 六、学习建议 拿到乘方题，先别急着算。第一步看有没有括号——有括号时括号整体是底数（如 (−2)⁴ 底数是 −2），没括号时只有负号后的数字是底数（如 −2⁴ 底数是 2，再整体取负）；第二步看指数奇偶定符号（负底数：奇负偶正）；第三步算绝对值的连乘。做完用红笔把“符号定错”或“把 (−2)⁴ 算成 −16”那一步圈出，复习时重点看。若卡住，回“知识清单”把例题每步旁批读一遍，往往就通了。 一、1.11　有理数的乘方（知识清单） 本节是“相同因数连乘”的专门记号。建议预习分三步：先通读“知识清单”把乘方定义和“负底数符号法则”记牢，再看“典型例题”学怎么定底数、怎么判符号，最后用“随堂小测”检验——哪里把 (−2)⁴ 算成 −16 或把 −2⁴ 算成 16，就回到对应知识点重读，不要急着往下翻。 第一步　预习目标 ✔ 理解有理数乘方的意义，能说出 aⁿ 中底数、指数、幂的含义及读法。 ✔ 掌握有理数乘方符号法则（正底数恒正；负底数奇次幂为负、偶次幂为正；0 的正整数次幂为 0）。 ✔ 会区分 (−a)ⁿ 与 −aⁿ 这类易混写法，能正确写出底数和指数。 ✔ 知道 1、−1、10 的正整数次幂的特征，并能直接写出结果。 ✔ 能用“正方形面积 / 立方体体积模型”直观理解乘方，体会数形结合思想。 第二步　知识清单 📌 知识点1：乘方的定义（连乘的简便记法） 1. 定义：求 n 个相同因数的积的运算，叫作乘方；乘方的结果叫作幂。 2. 记法：a ⁿ = a × a × … × a（共 n 个 a 相乘），n 为正整数。 3. 读法：aⁿ 读作“a 的 n 次方”或“a 的 n 次幂”。 4. 特例：当 n = 2 时，a² 可读作 a 的平方；当 n = 3 时，a³ 可读作 a 的立方。 5. 注意：乘方是“乘法”的简便记法，不是“a × n”。例如 2³ = 2×2×2 = 8，而 2×3 = 6，两者完全不同。 【生活情境·细胞翻倍】某种细胞每 30 分钟由 1 个分裂成 2 个。3 小时（6 个 30 分钟）后共有 2×2×2×2×2×2 = 2⁶ = 64 个——乘方让“6 个 2 相乘”一眼可读。 📌 知识点2：幂的组成（底数、指数、幂） 1. 名称：在 aⁿ 中，a 叫作底数（被乘的那个数），n 叫作指数（相同因数的个数），aⁿ 叫作幂（乘方的结果）。 2. 字母含义：a 表示任意有理数（底数），n 是正整数（指数，表示相乘的个数）。 3. 举例：在 (−3)² 中，底数是 −3，指数是 2，幂是 9；在 −3² 中，底数是 3，指数是 2，结果是 −9（负号在括号外，不参与乘方）。 4. 关键点：有括号时，括号里的整体是底数；没有括号时，负号不属于底数——这是本节第一大易错点。 【生活情境·方阵】学校举行方阵操，每排 5 人、共 5 排，总人数 5×5 = 5² = 25 人；若每排 5 人、共 3 排，则 5×3（不是 5³）。可见“几排几人”未必是乘方，只有“每行每列都相同”才是平方。 📌 知识点3：有理数乘方符号法则 底数 a 指数 n aⁿ 的符号 说明 a > 0（正） 任意正整数 正 正数的任何次幂都是正数 a < 0（负） 奇数 负 负数的奇次幂是负数 a < 0（负） 偶数 正 负数的偶次幂是正数 a = 0 正整数 0 0 的正整数次幂都是 0 记忆口诀：正底数恒正；负底数看指数——奇负偶正；0 的正整数次幂是 0。 举例：(−2)³ = −8（负、奇→负）；(−2)⁴ = 16（负、偶→正）；3⁵ = 243（正→正）；0⁴ = 0。 【生活情境·方向交替】向东走记为“+”，向西记为“−”。(−1)¹ = −1（向西 1 步），(−1)² = 1（先向西再“反向”回到原点东侧 1 步），(−1)³ = −1……可见负一的奇偶次幂在“东/西”间交替，正是“奇负偶正”的来源。 📌 知识点4：特殊数的幂（1、−1、10） 1. 1 的任何正整数次幂都等于 1：1ⁿ = 1（如 1⁵ = 1）。 2. −1 的奇偶次幂交替：(−1)ⁿ = 1（n 为偶数），−1（n 为奇数）。例：(−1)²⁰²⁴ = 1，(−1)²⁰²⁵ = −1。 3. 10 的 n 次幂是“1 后面跟 n 个 0”：10ⁿ = 100…0（n 个 0）。例：10³ = 1000，10⁸ = 100000000。 【生活情境·计数单位】1 公里 = 1000 米 = 10³ 米；1 亿 = 10⁸。大数的“零的个数”直接由 10 的指数给出，这是科学记数法的基础。 📌 知识点5：易混辨析（(−a)ⁿ 与 −aⁿ） 式子 底数 含义 示例 (−2)⁴ −2（整个括号） 4 个 −2 相乘 (−2)⁴ = (−2)×(−2)×(−2)×(−2) = 16 −2⁴ 2 先算 2⁴，再取相反数 −2⁴ = −(2×2×2×2) = −16 (−2)³ −2 3 个 −2 相乘 (−2)³ = −8 −2³ 2 先算 2³，再取相反数 −2³ = −8（恰与 (−2)³ 相等） 记忆要点：括号包住负号，负号才进底数；括号外单独的负号，是“乘方后整体取反”。只有当指数为奇数时，(−a)ⁿ 与 −aⁿ 才可能相等（都负）；偶数时一正一负。 📌 知识点6：数形结合（正方形面积 / 立方体体积模型） 下面给出标准乘方几何模型示意图：左边是一个边长为 3 的正方形，它由 3×3 = 9 个小方格组成，对应 3² = 3×3 = 9——二次方就是“边长的平方、铺成方阵的小格子数”；右边是一个棱长为 2 的立方体，它由 2×2×2 = 8 个小方块组成，对应 2³ = 2×2×2 = 8——三次方就是“棱长的立方、堆成小立方体的小方块数”。把“连乘的个数”变成“图形的维数”，你就能“看见”乘方的含义： 【看图说明】正方形（二维）的“个数”是边长的平方 3²，立方体（三维）的“个数”是棱长的立方 2³。当底数为负时，图形本身不“负”，负的是结果的符号——由“负因数出现的次数（指数）是奇是偶”决定（奇负偶正）。图形让你把抽象的“上标”和具体的“维数、格子数”对应起来，这就是数形结合。 第三步　特别提醒 📌 小结：乘方运算要先看清底数和指数，再决定符号与大小。正数的一切正整数次幂都是正数；负数的奇次幂为负、偶次幂为正；零的正整数次幂仍为零。做题时先把乘方单独算完，再处理乘除加减，顺序不要乱。养成“先乘方、后乘除、再加减、有括号先算括号”的习惯，能避免绝大多数符号与顺序错误。 💡 补充：乘方与乘法的联系——a 的 3 次方是 3 个 a 相乘，不是 3 个 a 相加；a 的 n 次方（n 为正整数）表示 n 个 a 连乘，底数是 a，指数是 n。当底数为分数时如 (1/2) 的 3 次方 = 1/8，可先算分子分母各自乘方。生活里“细胞分裂”：1 个变 2 个、再变 4 个、8 个……第 n 次是 2 的 n 次方个，正是乘方模型。 ⚠ 补充提醒：指数只作用于“底数”，不含符号，除非符号在括号内。( −2 ) 的 3 次方底数是 −2，结果是 −8；−2 的 3 次方底数是 2，结果是 −(2 的 3 次方) = −8，此处巧合相等，但 ( −2 ) 的 4 次方 = 16 与 −2 的 4 次方 = −16 就不同了。务必看清括号。 ⚠ 提醒1：乘方是“相同因数连乘”，不是“a × n”。2³ = 8，而 2×3 = 6，别混淆。 ⚠ 提醒2：有括号，负号进底数；无括号，负号在括号外。(−2)⁴ = 16，−2⁴ = −16，两者不同！ ⚠ 提醒3：负底数判符号看指数奇偶——奇次幂负、偶次幂正；别把“奇负偶正”记反。 ⚠ 提醒4：当指数 n = 1 时，a¹ = a（一个 a 相乘还是 a），不要多写一个 a。 ⚠ 提醒5：任何有理数的偶次幂都非负（≥ 0）；特别地，一个数的平方最小是 0（只有该数为 0 时取到）。 第四步　易错点剖析 易错点1：把乘方当乘法（概念混淆类） ❌ 错例：计算 2³，写成 2³ = 2 × 3 = 6。 ✅ 正确：2³ = 2 × 2 × 2 = 8（3 个 2 相乘，不是 2 乘 3）。 【错因】把“乘方”误当成“a × n”，没理解指数是“相同因数的个数”。 【规避】默念“乘方是连乘，指数是因数个数”，动手把 aⁿ 展开成 n 个 a 相乘再算。 易错点2：(−2)⁴ 与 −2⁴ 混淆（符号判断类） ❌ 错例：计算 −2⁴，写成 −2⁴ = 16。 ✅ 正确：−2⁴ = −(2⁴) = −(2×2×2×2) = −16（底数是 2，负号在括号外，乘方后整体取反）。 【错因】把“−2⁴”误当作“(−2)⁴”，漏看了括号——(−2)⁴ 才是 16。 【规避】先找括号：有括号负号进底数、无括号负号最后取反；写底数时把括号范围圈出来。 易错点3：负底数符号法则记反（符号判断类） ❌ 错例：计算 (−3)³，写成 (−3)³ = 27。 ✅ 正确：(−3)³ = (−3)×(−3)×(−3) = −27（负底数、奇次幂，结果应为负）。 【错因】把“奇负偶正”记反成“奇正偶负”，或被三个负号干扰。 【规避】先判符号（负底数、指数奇→负），再算绝对值 3³ = 27，组合得 −27。 易错点4：把 (−1)ⁿ 与 −1ⁿ 混淆（含义理解类） ❌ 错例：认为 (−1)ⁿ 总等于 −1。 ✅ 正确：(−1)ⁿ = 1（n 为偶数）、−1（n 为奇数），随指数奇偶交替；而 −1ⁿ = −1（底数是 1，1ⁿ = 1 再取反，恒为 −1）。 【错因】忽略指数奇偶对 −1 的影响，把两种情况都当成恒 −1。 【规避】遇到 −1 的次幂，先问“指数是奇还是偶”：偶→1、奇→−1；注意 −1ⁿ 与 (−1)ⁿ 括号不同。 第五步　典型例题 【例题1】（基础题·难度★☆☆）计算 (−3)² 与 −3²，并比较结果。 【分析】先看括号：前者底数是 −3（括号包住负号），后者底数是 3、负号在括号外。再按符号法则定符号、算绝对值。 【解】 (−3)² = (−3) × (−3) = 9（底数是 −3，偶次幂为正） −3² = −(3 × 3) = −9（底数是 3，先算平方再取相反数） 【答案】(−3)² = 9，−3² = −9；两者不相等（一正一负）。 【旁批】括号决定底数！这是乘方第一易错点，务必先把“底数范围”圈出来。 【例题2】（中档题·难度★★☆）计算 (−2)³ × (−3)²。 【分析】先分别计算两个乘方（确定各自符号与绝对值），再按乘法法则（1.9.1）相乘。 【解】 (−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = −8（负底数、奇次幂为负） (−3)² = (−3) × (−3) = 9（负底数、偶次幂为正） 原式 = (−8) × 9 = −72（异号得负，8×9=72） 【答案】−72。 【旁批】乘方优先于乘法；先各自定符号、算绝对值，再做乘法。 【例题3】（易错题·难度★★☆）计算 (−1)²⁰²⁴ + (−1)²⁰²⁵。 【分析】(−1) 的次幂随指数奇偶交替：偶数得 1、奇数得 −1。先判断 2024、2025 的奇偶。 【解】 2024 是偶数，故 (−1)²⁰²⁴ = 1 2025 是奇数，故 (−1)²⁰²⁵ = −1 原式 = 1 + (−1) = 0 【答案】0。 【旁批】遇到 (−1)ⁿ，先判 n 奇偶——“偶 1 奇 −1”，比硬算 2024 次方快得多。 💡 解题技巧归纳 技巧1（先找括号）：有括号负号进底数，无括号负号最后取反——先定底数。 技巧2（看指数奇偶）：负底数奇负偶正；正底数恒正；0 的正整数次幂为 0。 技巧3（展开验证）：拿不准就写成 n 个 a 相乘，再逐个数符号。 技巧4（记特殊值）：1ⁿ=1，(−1)ⁿ 偶 1 奇 −1，10ⁿ = 1 后跟 n 个 0。 技巧5（数形结合）：二次方想“方阵格子数”、三次方想“立方小方块数”，卡住画图形。 📌 本节知识结构小结 学完本节，请闭书回忆这条主线：乘方定义（aⁿ = n 个 a 相乘） → 幂的组成（底数 a、指数 n、结果 aⁿ） → 符号法则（正恒正、负底奇负偶正、0 的正整数次幂为 0） → 特殊数（1、−1、10） → 易混辨析（(−a)ⁿ 与 −aⁿ）。把这条线画成小图（参考后文思维导图），预习就成功了。下一步带着“乘方与加减乘除怎样混合运算”的疑问，进入分层自测卷练手。 第六步　随堂小测 （共5题，全部为客观题，难度为基础至中档，题号连续） 1. 计算 (−2)³，结果正确的是（　） A. −8　　B. 8　　C. −6　　D. 6 2. 下列各组数中，数值相等的是（　） A. (−2)² 与 −2²　　B. (−3)³ 与 −3³ C. 2³ 与 3²　　　　D. (−1)² 与 −1² 3. 计算 (−1)²⁰²⁴ = ______。 4. 在 (−3)² 中，底数是（　） A. −3　　B. 3　　C. 2　　D. −2 5. 填空：一个正数的任何正整数次幂都是______；负数的奇次幂是______，偶次幂是______。 📝 随堂小测参考答案 1. A（(−2)³ = −8，负底数奇次幂为负）。 2. B（A：4 与 −4 不等；B：(−3)³ = −27，−3³ = −(27) = −27，相等；C：8 与 9 不等；D：1 与 −1 不等）。 3. 1（2024 为偶数，(−1) 的偶次幂 = 1）。 4. A（括号包住 −3，底数是 −3；指数是 2）。 5. 正；负；正（正底数恒正；负底数奇负偶正）。 教材栏目拓展：阅读与思考 华东师大版在“有理数的乘方”一节安排“阅读与思考”，常围绕“为什么要引入乘方”与“(−1)ⁿ 的奇偶交替”展开。从记法看，当相同因数很多时（如 10 个 2 相乘），写 2×2×…×2 又长又易错，用 2¹⁰ 一个上标就清清楚楚——这就是乘方作为“连乘简便记法”的价值。 这一栏目的数学思想可概括为两点：①从“重复运算”到“运算记号升级”的思想——加法的重复是乘法，乘法的重复（相同因数）是乘方，运算层次由此升高；②符号的“奇偶律”——负底数乘方结果的符号只由指数奇偶决定（奇负偶正），(−1)ⁿ 因此成为判断“交替正负”的利器，在后续数列、代数式符号判断里反复出现。预习时建议你拿 (−2)²、(−2)³、(−2)⁴、(−2)⁵ 在纸上依次算，观察结果符号“正、负、正、负……”地交替，再与“指数奇偶”对应，你就真正懂了“奇负偶正”的来由，而不只是背下结论。 需要提醒的是，乘方在初中代数里只是“起点”：以后学“科学记数法”（10ⁿ 的零个数）、有理数的混合运算（先乘方、再乘除、后加减）、整式幂运算（aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ）、乃至高中指数函数，全都建立在“aⁿ = n 个 a 相乘”和“负底数奇偶律”之上。所以本节课你练的不只是算几道乘方，更是一种重要的代数思维——遇到“很多相同数相乘”先想“能不能用乘方记”，再判“底数有没有括号、指数奇偶定符号”。 数学活动（项目式学习） 【活动目的】在真实操作中巩固乘方定义与“负底数奇偶律”，并区分 (−a)ⁿ 与 −aⁿ。 【关键步骤】①写 2⁵，展开 2×2×2×2×2 = 32，体会“乘方是连乘”；②写 (−3)²、−3²，对比 9 与 −9，确认括号改变底数；③写 (−1)²⁰²⁴、(−1)²⁰²⁵，得 1 与 −1，验证奇偶交替；④写 10⁶ = 1000000，体会“1 后跟 6 个零”。 【延伸思考】如果所有乘方都能先定底数（看括号）、再看指数奇偶定符号、最后算绝对值连乘，那么一连串带乘方的混合式（如 (−2)² + (−3)³）是不是只要“先各自乘方、再做加减”就够用？——试 (−2)² + (−3)³ = 4 + (−27) = −23。这正说明：掌握了乘方定义与符号法则，整章有理数的乘方就归约到“定底数、判奇偶、算连乘”三步。 【常见失误自检】做完一组题后，挑出“符号定反”或“漏看括号”的那几道（典型如把 −2⁴ 写成 16、把 (−3)³ 写成 27）。把这些题单独抄一遍，用红笔在旁标“括号包负号才进底数”“负底奇负偶正”十四字，考前翻一翻，这类题就再也错不了。 本节思维导图 📊 以下用文字描述本节知识结构的思维导图（中心→一级分支→二级分支）： 【中心】1.11 有理数的乘方 └─ 核心：aⁿ = n 个 a 相乘（连乘简便记法） ├─ 一、乘方定义 │ ├─ n 个相同因数相乘 │ └─ 结果叫“幂”，读作 a 的 n 次方 ├─ 二、幂的组成 │ ├─ 底数 a（被乘数） │ └─ 指数 n（因数个数，正整数） ├─ 三、符号法则 │ ├─ 正底数恒正 │ ├─ 负底数：奇负偶正 │ └─ 0 的正整数次幂 = 0 ├─ 四、特殊数 │ ├─ 1ⁿ = 1 │ ├─ (−1)ⁿ：偶 1 奇 −1 │ └─ 10ⁿ = 1 后跟 n 个 0 └─ 五、易混辨析 ├─ (−a)ⁿ：括号包负号，负号进底数 └─ −aⁿ：负号在括号外，乘方后取反 💡 使用建议：上面是文字版思维导图。建议你拿出白纸，照着它手画一遍（中心写“1.11 乘方”，向外长五个分支），边画边说出每个分支内容。亲手画一遍，比只读一遍记得牢得多。 本节核心公式/概念速查卡 把下面8条做成一张“便携卡片”，早读或考前扫一眼，本节核心就稳了： 🔑 1. 乘方定义：aⁿ = n 个 a 相乘（n 为正整数），结果叫幂。 🔑 2. 幂的组成：a 是底数，n 是指数，aⁿ 是幂。 🔑 3. 符号法则：正底数恒正；负底数奇次幂负、偶次幂正；0 的正整数次幂 = 0。 🔑 4. 特殊数：1ⁿ = 1；(−1)ⁿ 偶 1 奇 −1；10ⁿ = 1 后跟 n 个 0。 🔑 5. 易混：(−a)ⁿ 与 −aⁿ 不同——括号包负号才进底数。 🔑 6. 偶次幂非负：任何有理数的偶次幂 ≥ 0，平方最小为 0。 🔑 7. n = 1 时，a¹ = a（一个 a 相乘仍是 a）。 🔑 8. 数形结合：二次方想方阵格子数，三次方想立方小方块数。 本节易错点汇总 把前面“易错点剖析”里的四类典型错误再浓缩一遍，考前重点看这里： ⚠ 汇总1（概念混淆类）：把乘方当乘法——aⁿ 是 n 个 a 相乘，不是 a × n。 ⚠ 汇总2（符号判断类）：(−2)⁴ 与 −2⁴ 混淆——括号包负号才进底数，无括号负号最后取反。 ⚠ 汇总3（符号判断类）：负底数符号法则记反——负底数奇负偶正，先定符号再算值。 ⚠ 汇总4（含义理解类）：(−1)ⁿ 与 −1ⁿ 混淆——(−1)ⁿ 随奇偶交替（偶1奇−1），−1ⁿ 恒为 −1。 本节核心辨析（快问快答） ❓ 问1：有理数乘方的定义是什么？结果叫什么？ ✅ 答：求 n 个相同因数的积的运算叫乘方，结果叫幂；aⁿ = n 个 a 相乘（n 为正整数）。 ❓ 问2：在 aⁿ 中，底数和指数分别指什么？ ✅ 答：a 是底数（被乘的数），n 是指数（相同因数的个数，正整数）。 ❓ 问3：(−2)⁴ 与 −2⁴ 一样吗？分别等于多少？ ✅ 答：不一样。(−2)⁴ = 16（底数是 −2）；−2⁴ = −16（底数是 2，先算平方再取反）。 ❓ 问4：负底数的乘方怎样定符号？ ✅ 答：看指数奇偶——奇次幂为负、偶次幂为正（奇负偶正）；正底数恒正，0 的正整数次幂为 0。 ❓ 问5：(−1)¹⁰⁰ + (−1)¹⁰¹ 等于多少？ ✅ 答：(−1)¹⁰⁰ = 1（偶）、(−1)¹⁰¹ = −1（奇），和为 0。 本节分层自测卷 （共10题：A层基础巩固5题，B层能力提升3题，C层拓展挑战2题；题号连续 1—10） 【A层·基础巩固】 1. 2⁵ 的计算结果是（　） A. 10　　B. 25　　C. 32　　D. −32 2. 填空：(−3)² = ______。 3. 填空：−3² = ______。 4. 填空：(−1)¹⁰⁰ = ______。 5. 填空：(−2)⁴ = ______。 【B层·能力提升】 6. 计算 (−2)³ + (−2)²。 7. 计算 (−1)²ⁿ + (−1)²ⁿ⁺¹（n 为正整数）。 8. 计算 (−3)² × (−2)³。 【C层·拓展挑战】 9. 探究：为什么说“任何有理数的偶次幂都非负（≥ 0）”？a² 在什么情况下等于 0？由此说明 (x − 3)² 的最小值及取到最小值的条件。 10. 计算 (−1/2)³ × (−2)⁴。 参考答案与解析 【A层·基础巩固 解析】 1. C（2⁵ = 2×2×2×2×2 = 32）。 2. 9（底数是 −3，偶次幂为正，(−3)² = 9）。 3. −9（底数是 3，先算 3² = 9 再取反，−3² = −9）。 4. 1（100 是偶数，(−1) 的偶次幂 = 1）。 5. 16（底数是 −2，偶次幂为正，(−2)⁴ = 16）。 【B层·能力提升 解析】 6. −4（(−2)³ = −8，(−2)² = 4，−8 + 4 = −4）。 7. 0（2n 是偶数，(−1)²ⁿ = 1；2n+1 是奇数，(−1)²ⁿ⁺¹ = −1；1 + (−1) = 0）。 8. −72（(−3)² = 9，(−2)³ = −8，9 × (−8) = −72）。 【C层·拓展挑战 解析】 9. 一个有理数的平方 = 它本身乘本身，同号相乘得正、0 乘 0 得 0，故 a² ≥ 0（偶次幂非负）；a² = 0 当且仅当 a = 0。因此 (x − 3)² ≥ 0，最小值 0，在 x − 3 = 0 即 x = 3 时取到。 10. −2（(−1/2)³ = −1/8，(−2)⁴ = 16，(−1/8) × 16 = −2）。 📝 给预习同学的一句话：有理数的乘方，记住“乘方 = 相同因数的连乘”，再加一句“括号包负号才进底数，负底数奇负偶正”。最关键一条——(−2)⁴ = 16 而 −2⁴ = −16，这俩不一样！暑假里多把 (−2)³、−2³、(−2)⁴ 对照练，开学有理数乘方（及混合运算）你就能又准又快！ 学科网（北京）股份有限公司 $