精品解析：江苏省徐州市睢宁县2025-2026学年上学期期中教学调研九年级数学试题

2025-2026学年度第一学期期中教学调研 九年级数学试题 （时间：100分钟，满分：140分） （友情提醒：请将答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．四个选项中只有一个正确选项） 1. 方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 2. 已知直线和相交，的半径为2，则圆心到的距离的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 一个直角三角形的两条直角边之差是，斜边长是，设较短的直角边的长为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数的图像在第二、四象限，则二次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四种说法：①一个三角形有且只有一个外心；②一个圆有且只有一个外切三角形；③一个圆有且只有一个内接三角形；④一个三角形的外心与内心可能重合，其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④ 6. 如图，在的内接正五边形中，，交于点，则图中等腰三角形的个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 7. 如图，从边长为的等边三角形中剪一个最大的扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知二次函数的图象经过点，则关于的一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 请写出一个一元二次方程，使它的一个根是5：___________． 10. 已知某二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线相同，且其顶点坐标是，则该二次函数的表达式是___________． 11. 如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数为___________． 12. 如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上的点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了___________． 13. 某数学兴趣小组探究用圆柱形玻璃瓶的内径去测量球的半径．测量方法如下：如图所示，将球置于圆柱形玻璃瓶上，已知玻璃瓶高，底面内径，球的最高点到瓶底的距离为，则球的半径为___________． 14. 体育教练对小红推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是___________m． 15. 我国古代数学家赵爽在其著作《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例：如图1，用四个全等的矩形围成一个大正方形，其中每一个矩形的较短边的长为，面积为14，则大正方形的面积表示为，因为大正方形的面积也等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，所以，解此方程可得正根．根据以上活动经验，可知图2是一元二次方程___________的几何解法． 16. 如图，点在以为直径的半圆上运动，连接，，若，则半圆中的空白部分（两个弓形）面积之和的最小值为___________． 17. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 18. 若实数满足，则的最小值是___________． 三、解答题（本大题共8小题，共86分．要求写出解答或计算过程） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的一元二次方程（为常数） （1）求证：该方程必有两个实数根； （2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根． 21. 已知二次函数的图像经过． （1）填空：___________，___________； （2）在网格中画出函数的图象； （3）当时，求的取值范围． 22. 如图，是的直径，是的中点，弦与交于点，是延长线上的一点，且．求证：是的切线． 23. 如图，已知是的一条弦，请根据要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）在图①中，利用无刻度的直尺作一条弦，使； （2）如图②，点是上的一点，利用无刻度的直尺和圆规作弦，使； （3）如图③，过圆心作于，点是内的一点，连接，若利用无刻度的直尺和圆规作弦，使经过点且． 24. 某数学兴趣小组对有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们到汽车研发中心进行调研、 【知识背景】刹车系统是车辆行驶安全的重要保障．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录部分数据（如下表），发现： 刹车后行驶的时间（单位：） 0 1 2 3 刹车后行驶的距离（单位：） 0 24 42 54 ①刹车后行驶的距离单位（）与刹车后行驶的时间（）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）当汽车刹车后行驶了时，求的值； （3）当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？请说明理由． 25. 在等腰直角中，，于，点为上运动，连接，将绕着点逆时针旋转到，连接． （1）填空：___________； （2）当时，的面积为___________； （3）当点在什么位置时，的面积最大？其面积的最大值是多少？ 26. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍，那么称该点为“二倍点”．例如都是“二倍点”． （1）请任写一个“二倍点”：___________；（与上例不同） （2）下列函数图象上只有一个“二倍点”的是___________；（填序号） ①；②；③． （3）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“二倍点”，求抛物线的函数表达式； （4）若抛物线（是常数）的图象上有且只有一个“二倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中教学调研 九年级数学试题 （时间：100分钟，满分：140分） （友情提醒：请将答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．四个选项中只有一个正确选项） 1. 方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断一元二次方程，通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴方程没有实数根． 故选：D． 2. 已知直线和相交，的半径为2，则圆心到的距离的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系；解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得． 【详解】解： 的半径 ，直线 l 与 相交， 圆心到直线的距离 ，即 ． 选项中只有 A．，故的值可以是1． 故选：A． 3. 一个直角三角形的两条直角边之差是，斜边长是，设较短的直角边的长为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据两直角边长度间的关系，可得出较长的直角边的长为，利用勾股定理，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵一个直角三角形的两条直角边之差是， 设较短的直角边的长为， ∴较长的直角边的长为， 根据题意得：， 故选：B． 4. 已知反比例函数的图像在第二、四象限，则二次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象与性质以及二次函数图象与性质，解决此题的关键是根据反比例函数的性质确定的正负． 首先根据反比例函数所在象限确定，再根据确定抛物线的开口方向和对称轴，即可选出答案． 【详解】解：反比例函数图象在第二、四象限， ， 二次函数的图象开口向下， 对称轴为直线， ， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 故选项C符合题意． 故选：C． 5. 下列四种说法：①一个三角形有且只有一个外心；②一个圆有且只有一个外切三角形；③一个圆有且只有一个内接三角形；④一个三角形的外心与内心可能重合，其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心的定义以及三角形的外接圆与外心的关系．解题的关键是根据外心是三角形三边的垂直平分线的交点、以及三角形的内心是三个内角角平分线的交点． 根据外心、内心、外切三角形、内接三角形的定义及等边三角形的内心、外心重合的性质，判断各说法的正误． 【详解】解：①一个三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，有且只有一个，故正确； ②一个圆的外切三角形有无数个，故错误； ③一个圆的内接三角形有无数个，故错误； ④等边三角形的外心与内心重合，故正确． ∴ 正确的是①④． 故答案为：D． 6. 如图，在的内接正五边形中，，交于点，则图中等腰三角形的个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的圆，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关性质定理． 根据正五边形的性质，可得，进而得到图中等腰三角形有：，，，，，共5个． 【详解】解：由题可得，，，， ，， ， 图中等腰三角形有：，，，，，共5个． 故答案为：C． 7. 如图，从边长为的等边三角形中剪一个最大的扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算和弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据圆锥的底面周长为扇形的弧长即可求出底面半径． 【详解】解：如图，连接， 则，， ， 设圆锥底面半径为， ， ． 故选：C． 8. 如图，已知二次函数的图象经过点，则关于的一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题。 可知二次函数的对称轴为直线，则点关于对称轴对称的点为，可知二次函数的图象与直线的交点横坐标为0，2，进而可得答案. 【详解】解: 二次函数的对称轴为直线， 点关于对称轴对称的点为， 二次函数的图象与直线的交点横坐标为0，2， 关于的一元二次方程的根为，. 故选：A. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 请写出一个一元二次方程，使它的一个根是5：___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，由于5是方程的一个根，因此方程左边含有因式，通过选取另一个根构造一元二次方程． 【详解】解：设一元二次方程的另一个根为0，则方程为，即． 故答案为：（答案不唯一）． 10. 已知某二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线相同，且其顶点坐标是，则该二次函数的表达式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由于二次函数的图象形状和开口方向相同，则二次项系数相等；已知顶点坐标，可直接用顶点式表示函数表达式． 【详解】解：二次函数的图象形状、开口方向与抛物线 相同， 二次项系数． 又顶点坐标为， 设二次函数表达式为顶点式， 代入，，，得 故答案为． 11. 如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数为___________． 【答案】##66度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识点．由是的直径，得，而，则即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， 又∵所对应的圆周角相等， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上的点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是正确解答此题的关键． 根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：重物上升了， 故答案为：． 13. 某数学兴趣小组探究用圆柱形玻璃瓶的内径去测量球的半径．测量方法如下：如图所示，将球置于圆柱形玻璃瓶上，已知玻璃瓶高，底面内径，球的最高点到瓶底的距离为，则球的半径为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 连接，设，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，连接，设， 由题意，， ， ， 中，， ． 故答案为：． 14. 体育教练对小红推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是___________m． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，铅球推出的距离即铅球落地时的水平距离，需令高度，解方程求出x的值，并取正值． 【详解】解：令，则， ∴，，由于距离不能为负，舍去， ∴铅球推出的距离为． 故答案为：11． 15. 我国古代数学家赵爽在其著作《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例：如图1，用四个全等的矩形围成一个大正方形，其中每一个矩形的较短边的长为，面积为14，则大正方形的面积表示为，因为大正方形的面积也等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，所以，解此方程可得正根．根据以上活动经验，可知图2是一元二次方程___________的几何解法． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程——因式分解法，能根据题意找出图2对应的方程是正确解答此题的关键． 根据题意得出图2所对应的方程即可． 【详解】解∶由题意可知： 则大正方形的边长为， 因为整个图形的面积为， 所以， 所以图2是一元二次方程的几何解法． 同理可得图3是一元二次方程的几何解法． 图4是一元二次方程的几何解法． 故答案为：或或． 16. 如图，点在以为直径的半圆上运动，连接，，若，则半圆中的空白部分（两个弓形）面积之和的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积，垂径定理，明确当的面积最大时，半圆中的空白部分（两个弓形）面积之和最小是正确解答此题的关键． 当的面积最大时，阴影部分面积之和最小，据此求解即可． 【详解】解：当的面积最大时，半圆中的空白部分（两个弓形）面积之和最小， 此时，为圆的半径， 则（两个弓形）面积之和为：． 故答案为：． 17. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值．先将方程化为标准形式，利用根与系数的关系求出两根之和，再根据根满足方程进行代换，最后代入表达式计算． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：2． 18. 若实数满足，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 由已知条件用表示，代入得到关于的二次函数，利用二次函数性质求最小值． 【详解】解：由得，则． 二次函数的开口向上，顶点横坐标为， 代入得最小值为． 故的最小值为． 故答案为． 三、解答题（本大题共8小题，共86分．要求写出解答或计算过程） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）先化简，然后再根据配方法可进行求解； （2）根据因式分解法可进行求解． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴． 20. 已知关于的一元二次方程（为常数） （1）求证：该方程必有两个实数根； （2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根． 【答案】（1） 解：方程化为标准形式：， 判别式． ， 方程必有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）根据一元二次方程的判别式可得，整理可得，根据平方的非负性可知，所以方程必有两个实数根； （2）将代入方程，求出的值，解方程求出另一个根即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入方程得，解得， 把代入方程得， 解方程得， 方程的另一个根为． 21. 已知二次函数的图像经过． （1）填空：___________，___________； （2）在网格中画出函数的图象； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1），5 （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象，正确画出函数图象是解题关键． （1）利用待定系数法计算即可得出答案； （2）利用（1）中所求进而画出函数图象； （3）利用函数图象得出答案即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过， ’ 解得， 故答案为：，5； 【小问2详解】 解：由（1）得， 对称轴为直线，顶点坐标为，开口向下，与轴交点坐标为：，关于直线的对称点为 ， 当时，图像过点， 关于直线的对称点为 ， 过点，， ，，画图像， 【小问3详解】 解：结合图象分析，函数图像开口向下，顶点是最高点， ∴当时，随着的增大而增加；当时，随着的增大而减小； 当时，； 当时，； 当时，， 故的取值范围是． 22. 如图，是的直径，是的中点，弦与交于点，是延长线上的一点，且．求证：是的切线． 【答案】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：是的切线． 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质，关键是“连半径，证垂直”的方法的使用； 连接，证即可． 【详解】略 23. 如图，已知是的一条弦，请根据要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）在图①中，利用无刻度的直尺作一条弦，使； （2）如图②，点是上的一点，利用无刻度的直尺和圆规作弦，使； （3）如图③，过圆心作于，点是内的一点，连接，若利用无刻度的直尺和圆规作弦，使经过点且． 【答案】（1）如图，弦即为所求； （2） 如图，弦和即为所求； （3） 如图，弦即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、尺规作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，即为所求； （2）以为圆心，长为半径画弧，与交于点； （3）以为圆心为半径画弧，交于，连接，作，在上截取，过、两点作弦即可． 【小问1详解】 解：连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接， 理由：， ； 【小问2详解】 解：如图，弦和即为所求； 理由：， ； 【小问3详解】 解：以为圆心为半径画弧，交于，连接，作，在上截取，过、两点作弦， 理由： 连接，由作法可得， ， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， 同理， ， ， ， ． 24. 某数学兴趣小组对有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们到汽车研发中心进行调研、 【知识背景】刹车系统是车辆行驶安全的重要保障．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录部分数据（如下表），发现： 刹车后行驶的时间（单位：） 0 1 2 3 刹车后行驶的距离（单位：） 0 24 42 54 ①刹车后行驶的距离单位（）与刹车后行驶的时间（）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）当汽车刹车后行驶了时，求的值； （3）当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？请说明理由． 【答案】（1） （2）4 （3） 车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车， 理由如下： 由（1）得关于的函数解析式为， ， 当时，汽车停下，行驶了60.75米， ， 该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出关于的函数解析式，再化成顶点式即可得的范围； （2）将代入解析式，计算出的值，再进行取舍即可； （3）求出（1）中函数的最大值，与比较即可： 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为， 将，，代入， ， ， 关于的函数解析式为； 由题意，， 当时，汽车停下． ． 【小问2详解】 解：由（1）得关于的函数解析式为， 当汽车刹车后行驶了时， ， 或5（由题意，最大值为4.5，故不符合题意，舍去）， 当汽车刹车后行驶了时，的值为4； 【小问3详解】 略 25. 在等腰直角中，，于，点为上运动，连接，将绕着点逆时针旋转到，连接． （1）填空：___________； （2）当时，的面积为___________； （3）当点在什么位置时，的面积最大？其面积的最大值是多少？ 【答案】（1）3 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求得斜边，利用等腰三角形的三线合一的性质和直角三角形的斜边上的中线的性质解答即可； （2）过点E作，交的延长线于点F，利用直角三角形的性质，旋转的性质和全等三角形的判定与性质得到，再利用三角形的面积公式解答即可； （3）过点E作，交的延长线于点F，设，则，利用（2）的方法求得的面积，再利用配方法和二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：等腰直角中，， ， ，于， ， ， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：过点作，交的延长线于点，如图， ，， ， ， 将绕着点逆时针旋转到， ，， ， ． 在和中， ， ， ， ， 的面积为， 故答案为：1； 【小问3详解】 解：过点作，交的延长线于点，如图， 设，则， 由（2）知：， 的面积为： ， ， 当时，的面积取得最大值为， 当点在的中点时，的面积最大，其面积的最大值是． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，二次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍，那么称该点为“二倍点”．例如都是“二倍点”． （1）请任写一个“二倍点”：___________；（与上例不同） （2）下列函数图象上只有一个“二倍点”的是___________；（填序号） ①；②；③． （3）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“二倍点”，求抛物线的函数表达式； （4）若抛物线（是常数）的图象上有且只有一个“二倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）② （3） （4）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据“二倍点”的定义写出一个与上例不同的例子即可； （2）根据“二倍点”的定义逐项判断即可； （3）根据定义可得“二倍点”为，代入得到①，联立根据题意得出②，联立①②，即可求解； （4）联立，依题意得，再把其代入中，得到，然后分4种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：根据“二倍点”的定义：一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍，可任写一个“二倍点”为． 故答案为； 【小问2详解】 解：①联立，很明显该方程组无解， 函数上没有“二倍点”，不符合题意； ②联立，解得， 函数上只有一个“二倍点”，它是，符合题意； ③联立，整理得， ， 方程有两个不相等的实数根， 函数上有两个“二倍点”，不符合题意； 故选②； 【小问3详解】 解：由“二倍点”的定义可得，，解得， “二倍点”为． 把点代入得到①， 联立，整理得， 根据题意得出②， 联立①②可得， 抛物线的函数表达式为； 【小问4详解】 解：联立，整理得， 由题意得，整理得． ， 把代入上式得， 是关于的二次函数，且对称轴为． ①当时，在处有最小值，如图所示． ，整理得，解得， 但，所以不符合题意，舍去， 当时，存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，此时； ②当，即时，在处有最小值，如图所示． ，整理得，解得， 但，所以不符合题意，舍去， 当时，存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，此时； ③当且，即时， 离对称轴的距离比的距离近， 在处有最小值，如图所示． ，整理得，解得， 但， 当时，不存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于； ④当且，即时， 离对称轴的距离比的距离远， 在处有最小值，如图所示． ，整理得，解得， 但， 当时，不存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于； 综上所述，存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，此时或． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，一次函数、二次函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解“二倍点”的定义，任意的一个“二倍点”一定在正比例函数的图象上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $