福建省长乐第二中学2025-2026学年高二上学期第十四周周练数学试卷

2025-2026学年第一学期高二数学校本作业 高二年级 数学科 主题： 选择性必修一综合 编号12 主编： 审核 ： 班级： 座号： 姓名： 等级/成绩： 周练 培优 辅后 限时训练 线上批改：是 否 √ √ 一、单选题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线与抛物线的一个交点为.为抛物线的焦点.若.则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．直线过抛物线的焦点，且与其交于点，若使的有且仅有1条，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 2、 多选题：在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 6．已知方程，则下列说法中正确的有（    ） A．方程可表示圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆 C．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 D．当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 7．为抛物线的焦点，直线与交于，点，弦中点的横坐标为4，，则（    ） A．的斜率为1 B．在轴上的截距为 C．弦中点的纵坐标为 D． 3、 填空题 8．直线与直线，若，则 ；若，则 . 9. 与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的标准方程为 ； 与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为 ． 10．已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线与圆相交于，两点、从 ①直线相切；②与圆关于直线对称，这2个条件中任选一个， 补充在上面问题的横线上并回答下列问题． （1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程． 12．如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成角为60°. (1) 求证：平面BDE； (2) 求二面角的余弦值； (3) 设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置， 使得平面BEF，并证明你的结论. 【选做题】请尝试，解锁无限可能！ 1．如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的两个焦点，则称它们为一对“共焦曲线”。现有一对“共焦曲线”的焦点为，，M是它们的一个公共点，且，设它们的离心率分别为，，则（    ） A．1 B． C． D． 2．已知抛物线上有两点，且直线过点． (1) 求抛物线的标准方程； (2) 若抛物线上有一点，纵坐标为4，抛物线上另有两点，且直线与的斜率满足重心的横坐标为4，求直线的方程． 答案与解析 1．D 【详解】由直线倾斜角为，则斜率， 又直线过， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 2．D 【详解】平面外的任一点O，点共面的充要条件是，且， 对于A，由，得，点不共面，A不是； 对于B，由，得，点不共面，B不是； 对于C，由，得，点不共面，C不是； 对于D，由，得，点共面，D是. 故选：D 3．B 【详解】设，则，，， 又在双曲线上，所以，， 双曲线方程为．， 所以渐近线方程为． 故选：B． 4．C 【详解】由抛物线的对称性，要使的直线有且仅有1条，则必须垂直于轴，故两点坐标为，代入抛物线方程可解得， 故选：C 5．B 【详解】 如图，拱形桥， 以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，如图建立平面直角坐标系， 则，，，圆心在轴上，设为， 则有，即， 整理可得，解得， 所以，圆心为，半径为， 所以，圆的方程为. 设，则有，解得. 所以，要使小船通过圆拱桥，船宽最长为. 因为，所以. 故选：B. 6．BCD 【详解】对于A，当方程可表示圆时，，无解，故A错误; 对于B，当时，，，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；; 对于C，当时，，，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确; 对于D，当方程表示双曲线时，得；由C可知， ，焦距为10， 当方程表示椭圆时，，，则 ，焦距为10，所以焦距均为10，故D正确. 故选：BCD 7．ACD 【详解】易得的斜率存在，设，，， 由得，则由，得. 由，得， 所以，弦中点的纵坐标为，. 故ACD正确，B错误， 故选：ACD 8． ； 或 【详解】当时，则，解得； 当时，，即，解得或. 故答案为：；或. 【点睛】本题考查利用两直线平行与垂直求参数，考查计算能力，属于基础题. 9．（1）；（2） 【详解】解：（1）由题意设所求双曲线方程为， 因为双曲线过点， 所以，得， 所以，即 所以所求双曲线方程为， （2）由题意设所求双曲线方程为， 因为双曲线过点， 所以，得，， 解得或， 所以所求双曲线方程为 10．或 【详解】由题意可知，共有两种情况，设动圆半径为， 动圆与圆内切，与圆内切，所以 所以，此时动圆圆心的轨迹是椭圆，， 所以动圆圆心的轨迹方程为； 动圆与圆外切，与圆内切，所以， 所以，此时动圆圆心的轨迹为椭圆，， 动圆圆心的轨迹方程为， 故答案为：或． 11. 解：选① （1）由直线与圆相切知圆的半径为点到直线的距离 即，所以圆的方程为． （2）记线段的中点为，依据可得 且，，则. 即点到直线的距离为1， 若直线的斜率存在设为，直线：即， 所以，解得， 直线的方程为． 若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意． 综上直线的方程为或． 选② （1）由与圆关于直线对称知圆的半径， 所以圆的方程为． （2）同上 12．(1)证明见解析；(2)；(3)，证明见解析 【详解】（1）因为平面ABCD，所以.因为ABCD是正方形，所以， ，从而平面BDE. （2）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系，如图所示. 因为BE与平面ABCD所成角为600，即，所以. 由，可知，. 则，，，，， 所以，. 设平面BEF的法向量为，则，即. 令，则. 因为平面BDE，所以为平面BDE的法向量，. 所以. 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. （3）点M是线段BD上一个动点，设.则. 因为平面BEF，所以，即，解得. 此时，点M坐标为， 即当时，平面BEF. 【选做题】请尝试，解锁无限可能！ 1．B 【分析】设椭圆的长半轴为，半焦距为，双曲线的实半轴为，半焦距为，利用余弦定理有，由椭圆和双曲线的定义可知，， ，即得 和 ，消去 ，再根据离心率公式和基本不等式计算即得. 【详解】设椭圆的长半轴为，半焦距为，双曲线的实半轴为，半焦距为， 由余弦定理得， 则有， ， 消去，可得 ， 则有，即， 当且仅当 时取等号，故. 故选： 2．(1)；(2) 【分析】（1）根据题意，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，再由，即可得到结果； （2）根据题意，由三角形重心坐标公式结合，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意知直线的斜率不可能为0， 设，直线的方程为， 由得，，即， 即，即， 将代入，得， 则，则， 则，由，解得， 故所求抛物线的标准方程为． （2）由抛物线方程可得点坐标为，设， 则， 则，且，则， 故．又， 则，又，可得直线的中点坐标为， 故由点斜式得直线的方程为5），即． 道阻且长，行则将至1 学科网（北京）股份有限公司 $