2026年新高二数学暑假结业测试卷（人教A版，范围：选择性必修第一册全册，暑假预习举一反三）（培优篇）

**基本信息** 暑假结业测试卷（培优篇）聚焦人教A版选择性必修第一册，通过卫星接收天线（抛物线）、直三棱柱（线面角）等真实情境，分层考查空间向量、解析几何等核心知识，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|空间向量运算、直线方程、椭圆离心率|基础巩固，如第5题抛物线实际应用| |多选|3/18|空间向量性质、圆与直线位置关系|能力辨析，如第11题抛物线焦点弦综合| |填空|3/15|直线垂直、双曲线离心率、点面距离|知识迁移，如第14题正方体中点面距离| |解答|5/77|椭圆方程、三棱锥面面角、面积最值|综合应用，如19题椭圆与直线相交面积最值，考查建模与运算|

暑假结业测试卷（培优篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·广西玉林·期末）设，，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】利用空间向量共线的坐标表示列式求出即可. 【解答过程】向量，，由，得，解得， 所以. 故选：C. 2．（5分）（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的定义求解即可. 【解答过程】由双曲线C：， 可知，即， 所以由双曲线定义可知， 解得或， 故选：C. 3．（5分）（25-26高二上·河南洛阳·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出答案. 【解答过程】因为所求直线与直线垂直，设所求直线的方程为， 将的坐标代入所求直线的方程，得，解得， 故过点且与直线垂直的直线方程为. 故选：A. 4．（5分）（25-26高二上·河北雄安·期末）如图，在平行六面体中，点为与的交点．若，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由空间向量加减、数乘的几何意义用，，表示出，即可得. 【解答过程】由题意， ， 所以，即. 故选：B. 5．（5分）（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定信息，设出抛物线方程，并用给定点求出该方程即可. 【解答过程】设该抛物线的方程为，点的坐标为，则，解得， 因此该抛物线的方程为，其焦点，所以. 故选：A. 6．（5分）（25-26高二上·云南文山·期末）已知F是椭圆的一个焦点，P为C上的点，O为坐标原点，若为等边三角形，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题中几何关系，求得点的坐标，代入椭圆方程求得齐次式，整理化简即可求得离心率. 【解答过程】 由图可知，若为等边三角形，由对称性，不妨设， 将点代入椭圆，得，又因为， 得，分子分母同除以，得， 整理得，解得或（因为，故舍去）， 则. 故选：A. 7．（5分）（25-26高二上·广东韶关·期末）若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合题意对条件合理转化，并作出符合题意的图形，再利用直线和半圆的位置关系求解参数范围即可. 【解答过程】由题意得，直线可化为， 可得直线过定点，将曲线化为， 则曲线表示以原点为圆心，半径为2，且位于轴上方的半圆， 如图所示，当直线过点时， 直线与曲线有两个不同的交点，此时， 当直线过点且与半圆相切于点时， 若直线与曲线只有一个交点，由，解得，即， 若曲线与直线有两个交点，结合图形可得， 则实数的取值范围是. 故选：D. 8．（5分）（25-26高二上·四川攀枝花·期末）如图，在直三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值. 【解答过程】因为三棱柱是直三棱柱，且， 所以以B为原点、AB所在直线为x轴、BC所在直线为y轴、所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．    因为，所以， 故． 设为平面的一个法向量， 则， 令，得． 设直线与平面，所成的角为， 则， 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·山东济南·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A．向量是的一个单位向量 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】BD 【解题思路】利用空间单位向量的坐标运算来判断A，利用空间向量的模的坐标运算来判断B，利用空间向量夹角为钝角的充要条件来判断C，利用投影向量计算来判断D. 【解答过程】由的单位向量是，故A错误； 由，，可得，故B正确； 由为钝角，则， 又当，则且，故C错误； 由在上的投影向量为，故D正确； 故选：BD. 10．（6分）（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（    ） A．的坐标为 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】BC 【解题思路】把一般式化成标准式可得圆的圆心及半径，可判断A；求出圆心到直线的距离判断B；利用圆的性质及切线性质求出最小值判断CD. 【解答过程】圆的标准方程为， 圆心为，半径，A错误； 对于B，过作直线的垂线，交圆于点，交直线于， 圆心到直线的距离： ，而， 所以圆上只有点满足到直线的距离为2，B正确； 对于，C正确； 对于D，由切线的性质， 得切线长为，D错误. 故选：BC. 11．（6分）（2026·江苏·模拟预测）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 【答案】BCD 【解题思路】先由抛物线焦半径公式结合题意得到则在第二象限，在第一象限，且，接着联立直线与抛物线方程结合韦达定理求出和p即可判断选项AB；进而求出点A和B和C即可计算求解判断CD. 【解答过程】由题得且， 则在第二象限，在第一象限，且， 联立， 则， 所以或（舍去）， 所以抛物线，，， 所以可得，， 所以， 直线与轴交于点， 所以， 所以 . 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知直线，，且，则__________． 【答案】 【解题思路】先将两直线方程转化为斜截式，再由平行充要条件即可求a. 【解答过程】直线即，直线即，且， 则. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是双曲线的右焦点，关于原点对称的两点均在上，且，则的离心率为__________. 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用双曲线的对称性及双曲线定义，结合余弦定理列式求出离心率. 【解答过程】令双曲线的左焦点为，半焦距为，连接， 由点关于原点对称，得四边形为平行四边形，则，不妨令点在第一象限， 由，得，而， 则，在中，由余弦定理得， 因此，解得， 所以的离心率为. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高二上·吉林长春·期末）如图，在棱长为4的正方体中，，分别是，的中点，则点到平面的距离为__________.    【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量以及点到面的距离公式求解. 【解答过程】如图，以D为坐标原点，以DA，DC，分别为x，y，z轴建立如图所示的坐标系， 设正方体的棱长为4，则，，，    ∴，，， 设平面BGF的法向量为，则，令，则， ∴，则点到平面BGF的距离. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）求适合下列条件的圆锥曲线方程： (1)焦点在轴上，短轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； (2)焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线标准方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）借助待定系数法，设出该椭圆方程，结合椭圆性质计算即可得； （2）借助待定系数法，设出该双曲线方程，结合双曲线性质计算即可得. 【解答过程】（1）设椭圆标准方程为，焦距为， 则有，解得，即该椭圆标准方程为； （2）由该双曲线焦点在轴上， 设其标准方程为， 则焦距为，即，又该双曲线经过点，则，则， 则， 故该双曲线标准方程. 16．（15分）（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 【答案】(1). (2)或. (3)或. 【解题思路】（1）首先求出向量，的坐标，进而由向量的夹角公式求解即可； （2）首先求出与的坐标，结合向量垂直的充要条件列方程求解即可； （3）根据向量共线的条件及向量模的公式列方程求解即可. 【解答过程】（1）因为，，， ，， 所以，， 则. （2）因为，， 所以，. 又与垂直， 所以， 解得或. （3）由题可知，， 由，知存在实数，使得，即. 因为，所以，解得， 所以或. 17．（15分）（25-26高二上·广西百色·期末）已知直线：，：，其中m为实数. (1)当，求实数m的值； (2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）根据两直线平行，列出关于的方程，即可求得答案； （2）解方程组求出直线，的交点，再根据直线的垂直关系，利用直线的点斜式，即可求得答案. 【解答过程】（1）∵， ， 解得 ; （2）当时，直线的方程为：， ∴，解得， ∴两条直线的交点， 又因为所求直线垂直于，设所求直线的方程为， 将代入可得，解得， ∴直线方程. 18．（17分）（25-26高二上·广东广州·阶段检测）在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面ASB与平面SCB夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由已知的面面垂直证明，再证，可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值. 【解答过程】（1） ，为中点， ，又平面平面，平面平面，平面， 平面，而平面， ，又为的中点， ，又， ．又平面， 平面． （2）过作交于点，设， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 故，，，． 设为平面的法向量，则，即， ，取，则， 是平面的一个法向量． 设为平面的法向量，则，即， ，取，则， 是平面的一个法向量． 设平面ASB与平面SCB夹角为，则. 19．（17分）（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据椭圆离心率以及椭圆经过的点坐标解方程组可得结果； （2）对直线斜率是否存在进行分类讨论，设直线l斜率存在时，方程为，联立直线和椭圆方程，利用弦长公式和点到直线距离公式得出面积表达式，再由函数单调性计算可得结果. 【解答过程】（1）由离心率，可得，即， 又，可得 椭圆经过点，可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）当直线l斜率不存在时，易知， 此时； 设直线l斜率存在时，方程为，点，如下图： 联立，整理得， 则， 所以， 又点R到直线l的距离为． 所以， 令， 则， 易知，所以； 综上，，的最大值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假结业测试卷（培优篇） 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第一册； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·广西玉林·期末）设，，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 2．（5分）（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 3．（5分）（25-26高二上·河南洛阳·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高二上·河北雄安·期末）如图，在平行六面体中，点为与的交点．若，，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 6．（5分）（25-26高二上·云南文山·期末）已知F是椭圆的一个焦点，P为C上的点，O为坐标原点，若为等边三角形，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高二上·广东韶关·期末）若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高二上·四川攀枝花·期末）如图，在直三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·山东济南·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A．向量是的一个单位向量 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 10．（6分）（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（    ） A．的坐标为 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 11．（6分）（2026·江苏·模拟预测）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知直线，，且，则__________． 13．（5分）（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是双曲线的右焦点，关于原点对称的两点均在上，且，则的离心率为__________. 14．（5分）（25-26高二上·吉林长春·期末）如图，在棱长为4的正方体中，，分别是，的中点，则点到平面的距离为__________.    四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）求适合下列条件的圆锥曲线方程： (1)焦点在轴上，短轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； (2)焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线标准方程． 16．（15分）（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 17．（15分）（25-26高二上·广西百色·期末）已知直线：，：，其中m为实数. (1)当，求实数m的值； (2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 18．（17分）（25-26高二上·广东广州·阶段检测）在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面ASB与平面SCB夹角的余弦值． 19．（17分）（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点，求面积的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $