精品解析：福建省莆田第十五中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

莆田第十五中学2025-2026学年上学期 高三数学期中试卷 班级 姓名 座号 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，则m的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间内的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知数列满足，对于任意的且，都有，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9. 已知函数，若，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，与不共线，向量，OC平分，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 向量，在上的投影向量相等 D. 11. 已知定义在上的函数满足：，则（ ） A. 是奇函数 B. 若，则 C. 若，则为增函数 D. 若，则为增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线在点处的切线过原点，则__________. 13. 已知，则________. 14. 记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为__________． 四、解答题． 15. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）证明：当时，． 17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）在边BC上取一点D，使得，求的值． 18. 在平面四边形中，，，将沿折起，使得平面平面，如图． （1）求证：； （2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深/米 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 （1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，画出函数图象，并求出函数解析式； （2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为米，安全条例规定至少要有米的间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？（参考数据：) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第十五中学2025-2026学年上学期 高三数学期中试卷 班级 姓名 座号 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出A集合，解一元一次不等式求出B集合，利用交集的定义运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，则m的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求出和的关系，代入计算可得m的值. 【详解】由已知，得， 又，又， 所以，解得或（舍去） 故选：B. 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的模公式及复数除法法则即可得解. 【详解】因为， 所以由，得. 故选：A. 4. 若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】时，有，则命题“，”为真命题时，有. 【详解】函数在R上单调递增，当时，， “，”为真命题，则，即实数a的取值范围为. 故选：C． 5. 函数在区间内的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的性质求解即可. 【详解】令，得，则； 故，， 所以在共有4个零点， 故选： C. 6. 已知数列满足，对于任意的且，都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系，写出数列前几项，归纳出通项即可得解. 【详解】依题意，设， 则， ，， ，， ，， 可归纳得：，， 所以. 故选：B 7. 已知定义在上奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知推导出函数的周期， 的范围，利用已知和推导出的关系将所求转化为内求解. 【详解】因为为奇函数且满足. 所以，即， 所以， 所以是周期为4的周期函数. 因为,所以 所以 . 故选：B 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，可得，进而可得，再根据两角差的余弦公式化简求出的关系，即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9. 已知函数，若，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据整体法以及特殊角的三角函数值可得或，即可求解. 【详解】令或，, 故或，， 故, 取和可得或， 故的值可以为或， 故选：BD 10. 已知向量，，与不共线，向量，OC平分，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 向量，在上的投影向量相等 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量的加法、减法法则作出图象，利用OC平分，得到四边形为菱形，对每一个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】对于A，因为平分，所以四边形为菱形， 不一定垂直，所以A错误； 对于B，因为平分，所以四边形为菱形，所以， 又因为，，所以，所以B正确； 对于C，设与的交点为，如图， 向量在上的投影向量为， 向量在上的投影向量也为，所以C正确； 对于D，，，与不一定相等，所以D错误. 故选：BC. 11. 已知定义在上的函数满足：，则（ ） A. 是奇函数 B. 若，则 C. 若，则为增函数 D. 若，则为增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用函数奇偶性的定义，单调性的定义和性质，结合赋值法的使用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：定义域为，关于原点对称； 对原式，令，可得，解得； 对原式，令，可得，即， 故是奇函数，A正确； 对B：对原式，令，可得， 又，则； 由A可知，为奇函数，故，故B正确； 对C：由A知，，又，对， 当时，；当时，； 故在时，不是单调增函数，故C错误； 对D： 在上任取，令， 则 ， 由题可知，又，故， 即，，故在上单调递增， 也即在上单调递增，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是合理的使用赋值法，对已知条件赋值，求得需要的函数值；二是对函数奇偶性和单调性定义的熟练掌握；三是在D选项处理过程中，对合理变形为，进而根据抽象函数满足的条件进行计算，属综合题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线在点处的切线过原点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，即可代入求解. 【详解】因为，所以， 所以在点处的切线方程为. 又切线过原点，则，所以. 故答案为： 13. 已知，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式计算可得的值. 【详解】因为，则 . 故答案为：. 14. 记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解. 【详解】若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于等于2， 所以，又当，时，， 所以的最大值为2． 若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于2， 所以． 综上，的最大值为2． 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：关键是分是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解. 四、解答题． 15. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【小问1详解】 当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 , 所以 故 所以 ， . 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）证明：当时，． 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间 （2） 当时，要证，即证， 令，其中，则， 故函数在上单调递增，则，即， 故原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）当时，要证，即证，构造函数，其中，利用导数法证明出即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 设，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 所以函数的增区间为，无减区间. 【小问2详解】 略 17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）在边BC上取一点D，使得，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得. （2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值. 【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法 由余弦定理得，所以. 由正弦定理得. [方法二]【最优解】：几何法 过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以． 在中，，因此． （2）[方法一]：两角和的正弦公式法 由于，，所以. 由于，所以，所以. 所以 . 由于，所以. 所以. [方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法 在（1）的方法二的图中，由，可得，从而． 又由（1）可得，所以． [方法三]：几何法+正弦定理法 在（1）的方法二中可得． 在中，， 所以． 在中，由正弦定理可得， 由此可得． [方法四]：构造直角三角形法 如图，作，垂足为E，作，垂足为点G． 在（1）的方法二中可得． 由，可得． 在中，． 由（1）知，所以在中，，从而． 在中，． 所以． 【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法. 18. 在平面四边形中，，，将沿折起，使得平面平面，如图． （1）求证：； （2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】 （1）因为平面,平面平面平面 所以平面又平面所以. （2）． 【解析】 【详解】试题分析：(1)由,将沿折起，使得平面平面,即可得AB垂直于平面BCD.从而得到结论. (2)依题意,可得,又由平面BCD.如图建立直角坐标系. 求直线与平面所成角的正弦值.等价于求出直线与平面的法向量所成的角的余弦值.写出相应的点的坐标以及相应的向量,求出法向量即可得到结论. 试题解析：(1)略 (2)过点在平面内作的垂线作为轴, 建立如图所示的空间直角坐标系． ∵AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD， ∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M． ∴（0，1，﹣1），（1，1，0），． 设平面BCM的法向量（x，y，z），则， 令y＝﹣1，则x＝1，z＝1． ∴（1，﹣1，1）． 设直线AD与平面MBC所成角为θ． 则sinθ＝|cos|． 考点：1.线面的位置关系.2.空间直角坐标系.3.空间想象力. 19. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深/米 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 （1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，画出函数图象，并求出函数解析式； （2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为米，安全条例规定至少要有米的间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？（参考数据：) 【答案】（1） ， （2）该船在或时可以进入港口 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据可作出函数的图象，结合图象信息可求出、、的值，当，时，并结合的取值范围可得出的值，由此可得出函数解析式； （2）分析可知，货船需要的安全水深为米，所以当时就可以进港，解不等式，即可得出结论. 【小问1详解】 由表中数据可画出函数图象如下． 由图象可知，， 函数的最小正周期为，可得，则， 又因为时取最大值，即，可得，则， 因为，故，故. 【小问2详解】 货船需要的安全水深为米，所以当时就可以进港． 令，可得， 所以，解得， 当时，；当时，， 所以该船在或时可以进入港口． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $