22.1.4 第2课时 待定系数法求二次数解析式-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

3.解(1)，抛物线y=a(x十h)2的对称轴是直线x=一2， 此抛物线对应的函数解析式为y= (x-3 .一h=一2，解得h=2, .抛物线的解析式为y=a(x十2)2， 4(x+3). (2)y= 抛物线过(1，一3)， (3)存在，点P的坐标为(6,4) .-3=9a,解得a=一3， 1 第3课时二次函数y=a(x一h)2+k 的图象和性质 把物线的解折式为)=一号(x十2识 (2)由(1)可知其顶点坐标为（一2,0） 知识梳理 1∠0 1.形状位置 (3)ra=- 2.(1)向上最低点向下最高点(2)(h,0)y .抛物线开口向下， x=h(3)(h,k)(4)减小增大增大减小 对称轴为x=一2， 对点练习 .当x<一2时，y随x的增大而增大. 1.B2.C3.D 4.D 4.解(1)根据题意，设二次函数的解析式为y=a(x一1)2一4. 5.=-3x-6 因为二次函数的图象过点B(3,0),所以0=4a一4，解 得a=1,所以二次函数的解析式为y=(x一1)2-4，即 6.解(1)把，点A(2,8)代入y=ax2,得8=22·a, y=x2-2x-3. 解得a=2. (2)由题意知，原抛物线的顶点为A(1,一4)，因此只需 .抛物线对应的函数解析式为y=2x2. 将原抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移4个 ∴.将此抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线对 单位长度，即可使平移后所得图象的顶点为坐标原点。 应的函数解析式为y=2(x一1)2. 课后作业 (2)由(1)知，新抛物线对应的函数解析式为y=2(x一1)2， ',该抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1,顶点坐 1.B2.D3A4A5D6>7号 标是(1,0). 8.解列表： (3)当x<1时，y随x的增大而减小 x -2-101234 课后作业 y=(x-1)2-4 50-3-4-305 1.B2.B3.B4.D5.D 描点、连线，画出函数图象如图」 6.向左平移2个单位长度7.> 8解a=分y=+A以 当x=0时y=,则A(0,号 4 2 当y=0时，名十=0， 01234x 解得x=一h,则C(一h,0), .OA=OC ·-h=22,解得h=0(舍去)或h=一2， (1)函数y=(x一1)2-4的图象开口向上，顶，点坐标为 抛物线的解析式为y=合（红一2识 (1,一4)，对称轴是直线x=1. 能力提升 (2)当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随 9.解(1)由题意，可设此抛物线对应的函数解析式为y= x的增大而增大. a(x-3)2 (3)函数y=(x-1)2-4图象上的最低点（即顶点）坐 点B(0,4)在此抛物线上， 标是(1，一4)，函数有最小值，当x=1时，y小位=一4， (4)抛物线y=(x一1)2一4向左平移2个单位长度，再 90=4,解得a=手 向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为y= 43 (x十1)2-5，即y=x2+2x-4. 二次函数的解析式为：y=x2 能力提升 2x或y=x2+2x. 9.解因为y=一（x一m)2十2m2的图象的顶点坐标为 (2),m=2,.由二次函数y x=m, x2-2mx+m2-1得：y=x2-4x十 (m,2m2),即 所以不论m取何值，都有y y=2m2, 3=(x-2)2-1, 2x2.所以不论m为何值时，其顶点总在y=2x2的图象 .抛物线的顶点为D(2,一1)，当x=0时，y=3, 上移动： .C点坐标为(0,3)， 22.1.4二次函数y=ax2+ .C(0,3),D(2,-1) bx十c的图象和性质 (3)存在.连接CD,根据“两点之间，线段最短”可知， 当点P位于CD与x轴的交点时，PC十PD最短.设 第1课时二次函数y=a.x2+bx+c 经过C,D两点的直线解析式为y=x十b(≠0)，将 的图象和性质 C(0,3),D(2,一1)两点坐标代入解析式中可得 3=b, k=-2, 知识梳理 解得 .y=-2x十3. -1=2k+b, b=3. (1)抛物线(2)x=一2元 b 4ac-b2 2a 4a (3)①上 令y=0,可得-2x十3=0，解得x=号 低减小增大②下高增大减小 对点练习 当P点坐标为（受，0）时，PC+PD最短. 1.B2.B3.14.①③④5.D6.y=x2+2x+1 第2课时 待定系数法求二次函数解析式 课后作业 1.A2.B3.D4.D5.k<46.5 知识梳理 7.0<t<28.4 1.(1)ax2+bx十c(a,b,c为常数，a≠0) 9.解(1)由图象知，抛物线过点（1,0)，(4,0)， (2)a(x一h)2十k(a,h,k为常数，a≠0) 代入函数解析式，得-5+c=0, a=1, (3)a(x一x)(x一x)(x1,x2为抛物线与x轴交点的横 解得 16a-20+c=0, c=4. 坐标，a≠0) 故所求二次函数的解析式为y=x2一5x十4. 2.根据题目中所给的条件设出二次函数的解析式代入 点的坐标，得到方程（组）解方程（组）将求出的待 又因为y=2-5x十4=(x-)°-是，所以函教国 定系数还原到解析式中 象的顶点坐标为（侵，一是） 对点练习 1.D2.y=x2-2x-33.B4.y=x2-3x+2 5 (2)由(1)知，a=1>0,抛物线的对称轴为直线x=2， 5解(1)，点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(4,0)， .∴.AB=1+4=5, 由因象知，当x>号时，y的值随x值的增大而增大；当 AB=OC,.OC=5,∴.C点的坐标为(0,5). <号时y的值随x值的增大而减小。 (2)设过这个二次函数的解析式为y=a(x一4)(x+1) (a≠0). (3)由(1)知，y=2-5x十4=(e-吕)广-是，将抛物 点C(0,5)在该二次函数的图象上， 线先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长 5=a(0-4)(0+1),解得a三一号 度，则所得抛物线的解折式为y=(。一吕+3)”-号-4， y--0+10=---0=-r+ 即y=x2+x-6. 能力提升 空+5 10.解(1)：二次函数的图象经过坐标原点O(0,0), 课后作业 .代入二次函数y=x2-2mx十m2-1,得出：m2-11.B2.D =0, 3.y=-2(x-2)2+8(或y=-2(x+2)2+8) 解得m=士1， 4.解(1)当b=3时，c=-2-b=-5,y=x2+2x-5= (x十1)2-6. 对点练习 抛物线的顶点坐标是(-1，一6). 1.B2.C3.A (2)由P(-1,-2b),点A在y轴上，PA⊥y轴，可得 4.-16 PA=1. 5.解依题意，设y=a(x十2)(x-3).展开，得y=ax2-ax 又BP=2PA,.BP=2. 6a.-a=4,.a=-4,∴.抛物线y=-4x2十4x十24. 由题图，知点B在点P的左侧， 6.D ,点B的横坐标为一3.由抛物线的对称性，可知其对 7.D8.D 称轴为直线x=一2. 9解函数的对称轴是x=子，开口向上，与x轴的交点是 6,1=-2,解得6=5 2 (一1,0)和(4,0)，与y轴的交点是(0，一4)，顶点坐标 又.b十c=-2, 是（-）则图象是： .c=-7. .这条抛物线对应的函数解析式为y=x2十4x一7. 5.解：抛物线y=ax2十bx十4与y轴交于点C, .C(0,4),.OC=4, A(-3,0),.OA=3,.AC=5, ,AB平分∠CAO,∠BAC=∠BAO :BC∥x轴，∴.∠CBA=∠BAO,∴∠BAC=∠CBA, (1)方程的解是x1=一1，x2=4. ∴.CB=CA=5,∴.B(5,4) (2)当x<一1或x>4时，函数值大于0；当一1<x<4 把A(-3,0),B(5,4)代入y=ax2+bz+4,得 时，函数值小于0. 1 课后作业 9a-3b+4=0, a=- 6 1.A2.B3.B 解得 25a+5b+4=4, 5 16= 6 4y=号红-3》+9 ·抛物线解析式为y三一石x+5 6x+4. 5.5(答案不唯一，满足c>4即可) 6.x1=-2,x2=1 6.解(1)因为抛物线y=一x2十bx十c与x轴交于，点 7.①④ A(一1,0)和点B(3,0),所以 8.解(1)由题意可知抛物线对应的一元二次方程的判别 1-1-b+c=0, b=2, 解得 式△>0，且m≠0， -9+3b+c=0, c=3. 即b2-4ac=(3-2m)2-4m(m-2)>0,且m≠0， 所以此抛物线的解析式为y=一x2十2x十3. (2)因为当x=0时，y=3,所以点C的坐标为(0,3). 解得m<,且m≠0， 因为y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1)+4=-(x-1)2+4, (2)当x=1时，由题意得m十(3一2m)十m一2=1，符合 所以点D的坐标为(1,4) 函数解析式，.点P(1,1)在抛物线上」 (3)设点P(x,y),则x>0,y>0. 因为5am=号×3X1=号，Sam=号×4=2y, 3)m=1,所以y=+x-1=(e+2）广- Q(合，号)根据对称性可得P(一2,1D。 SAABP=4SACDE, 能力提升 所以2y=4×号，所以)=3，所以-2+2z+3=3, 9.(1)证明由题意，得kx十1=x2一4x,即x2一(4十)x 解得x1=2,x2=0(不合题意，舍去) 1=0,该方程根的判别式△=(4十)2十4， 所以点P的坐标为(2,3) .(4+)2>≥0，.(4+)2+4>0， 22.2二次函数与一元二次方程 .该方程有两个不相等的实数根，即直线（与该抛物 知识梳理 线总有两个交，点。 1.ax2+bx+c=m x=xo (2)解当k=一2时，由(1)得x2一(4一2)x一1=0， 2.(1)两(2)一(3)没有 解得x1=1十√2，x2=1一√2. 45 设点A在点B的左侧，直线1与y轴的交点坐标为C 解得x1=3,x2=12. (0,1), 当x=3时，30一2x=30-6=24>18,故舍去. 则S△AOB=S△c十S△c= ×1×2-1D+号×1× 所以x=12, 2 (2)有.依题意，得8≤30-2x≤≤18， (W2+1)=√2. 解得6≤x≤11.面积 22.3实际问题与二次函数 5=0-2w)=-2(-5}°+2婴6≤≤1 2 第1课时最大面积问题 ①声x-号时，S有我大位，8-受m, 知识梳理 ②当x=11时，S有最小值，S.=11×(30-22)=88(m2). 1.(1)函数解析式(2)最值 (3)令x(30-2x)=100,得x2-15x+50=0. 对点练习 解得x1=5,x2=10. 1.C2.200cm23.B4.A 又30-2x≤18，解得x≥6，故x的取值范围是6≤x≤10. 课后作业 1.B2.B3.D4.150 第2课时商品利润问题 5.解(I)在□ABCD中，AB∥CD,EF⊥AB,故有DG⊥ 知识梳理 FE,即DG为△DEF中EF边上的高. 大左右最大值 ∠BAD=120°，.∠B=60°. 对点练习 ,.∠BEF=∠CEG=30° 1.A2.B3.180 在R△BEF与R△ECC中，BF=合BE-合，EF 4.解(1)由题意得y=90-3(x一50)，化简得y=-3x十240. (2)0=(x-40)(-3x十240)=-3x2十360x-9600. 号，cG=cE=8-, (3)由(2)得=-3x2+360x-9600. ·DG=CD+CG=11-x 因为a=一3<0， 2 所以抛物线开口向下， 于是S=EF·DG=- 8 x2+1 8 x,其中0x≤3. 当x一22=60时，0有最大值， N2)s=三gx2+113】 又因为当x<60时，心随x的增大而增大，所以当x 8 55时，的最大值为1125元.故当每箱苹果的销售价 11w3 8 11 为55元/箱时，可以获得1125元的最大利润. 对称轴为x= 2x(- 2, 课后作业 1.C2.C3.104.0<a<6 当0<x≤3时，S随x的增大而增大， 5.解(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx十b(k≠0)， 故当x=3,即E与C重合时，S有最大值，且S最大=3W3. ,图象过(10,30)和(16,24)两点， 6.解(1)当BC=x时，AC=2-x(0<x<2) (10k+b=30, (2)S正方形ACDE=(2-x)2,S正本形CBFG=x2, 16k+b=24, 故S=(2-x)2+x2=2x2-4x十4=2(x-1)2+2, 1k=-1, 画出函数S=2(x一1)2十2(0<x< ↑S 解得 ∴y=-x+40(10≤x≤16). b=40. 2)的图象，如图. (2)W与销售价x之间的函数解析式为 (3)由图象可知，当x=1时，S豪小值= W=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400. 2;没有最大值. -101234x .W=-x2+50x-400=-(x-25)2+225, (4)当x=1时，总面积S取得最小 ∴其图象在对称轴的左边，W随x增大而增大. 值，此时点C恰好在AB的中点处. 又，10≤x≤16， 能力提升 .当x=16时，W最大，W大=144（元）. 7.解(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30-2x)m. 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大 依题意可列方程x(30一2x)=72,即x2一15x十36=0. 利润是144元. 46数学九年级上册第二十二章二次函数 第2课时 待定系数法 知识梳理ZHISHI SHUL 1.二次函数解析式的几种形式： (1)三点式：y= (2)顶点式：y= (3)交点式：y= 2.用待定系数法确定二次函数解析式的步骤： 第一步，设： 第二步，代： 第三步，解： 第四步，还原： 对点练习DUIDIAN LIANXI 知识点一 利用“三点式”求二次函数解析式 1.已知二次函数的图象经过点（一1，一5），(0，一4) 和(1,1)，则这个二次函数的解析式为() A.y=-6x2+3x+4B.y=-2x2+3x-4 C.y=x2+2x-4D.y=2x2+3x-4 2.二次函数y=a.x2十bx十c的图象经过A(-1, 0),B(0,一3)，C(4,5)三点，则抛物线解析式为 知识点二利用“顶点式”求二次函数解析式 3.抛物线的对称轴为直线x=3,y的最大值为 -5,且与y=2x2的图象开口大小相同.则这 条抛物线的解析式为() A.y=- 2x+3)+5 By=-2z-302-5 C.y=2x+3)+5 D.y=2红-32-5 36 求二次函数解析式 4二次函数在x=时，有最小值-，且函数 的图象经过点(0,2)，则此函数的解析式 为 知识点三利用“交点式”求二次函数解析式 5.如图，二次函数图象过A,B,C 三点，点A的坐标为（一1,0）， 点B的坐标为(4,0)，点C在 y轴正半轴上，且AB=OC (1)求点C的坐标； (2)求二次函数的解析式. 课后作业KEHOU ZUOYE 1.(天津宁河区月考)已知抛物线y=x2十bx十c 经过点(3,1)，（一1,1），则此抛物线还经过点 () A.（1,2) B.(0,-2) C.(-5,2) D.(-2,0) 22.1二次函数的图象和性质 2.二次函数的部分图象如图所 P)能力提升aans6→ 示，对称轴是x=一1，则这个 6.如图，已知抛物线y=一x2+bx+c与x轴交 二次函数的解析式为() 于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点 A.y=-x2+2x+3 C,连接BC交抛物线的对称轴于点E,D是 B.y=x2+2x+3 抛物线的顶点. C.y=-x2+2x-3 (1)求此抛物线的解析式； D.y=-x2-2x+3 (2)直接写出点C和点D的坐标； 3.若函数y=a(x一h)2十k的图象经过原点，最 (3)若点P在第一象限内的抛物线上，且 大值为8，且形状与抛物线y=2x2一2x十3 S△ABP=4S△aoE,求点P的坐标， 相同，则此函数解析式为 4.如图，抛物线y=x2+(b一1)x+c经过点 P(-1,-2b),且b+c=-2. (1)如果b=3,求这条抛物线的顶点坐标； 3 (2)过点P作直线PA⊥y轴，交y轴于点A, 交抛物线于另一点B(点B在点P的左 侧)，且BP=2PA.求这条抛物线对应的 函数解析式. 5.如图，抛物线y=ax2十bx十4经过点A(一3， O),点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分 ∠CAO.求此抛物线的解析式. 3