5.1：任意角和弧度制【十大考点+十大题型】-2025-2026学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

5.1：任意角和弧度制 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：任意角 1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 2．角的分类： 名称 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角 知识点二：角的加法与减法 设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β (2)α－β：α－β＝α＋(－β)． 知识点三：象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 知识点四：终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 知识点五：度量角的两种单位制 1．角度制：(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的. 2．弧度制：(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． 知识点六：弧度数的计算 知识点七：角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 知识点八：弧度制下的弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2. 【题型归纳】 题型一：任意角、终边相同的角的概念 【例1】．（23-24高一上·上海·月考）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．（22-23高一下·上海静安·期末）在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角. ①小于的角一定是锐角；     ②第二象限的角一定是钝角； ③终边重合的角一定相等；     ④相等的角终边一定重合. 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角和角，则下列说法正确的是（    ） A．若角是第一象限角，则角是锐角 B．若角和角的终边相同，则 C．若角和角分别是角的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的角，则 D．若角的终边在第二象限，则角是钝角 题型二：找出终边相同的角 【例2】．（24-25高一下·全国·课堂例题）在直角坐标系中，作出下列各角，在范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角. (1)； (2)； (3)； (4). 【变式1】．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知角. (1)把改写成为（，）的形式，并指出它是第几象限的角； (2)求，使与终边重合，且. 【变式2】．（22-23高一·全国·随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三：象限角或确定角的范围 【例3】．（24-25高一上·江苏南通·期末）若与角终边相同，则是第（    ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式1】．（24-25高一下·陕西汉中·月考）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式2】．（22-23高一上·广东深圳·期末）概念是数学的重要组成部分，理清新旧概念之间的关系对学习数学十分重要．现有如下三个集合，{钝角}，{第二象限角}，{小于180°的角}，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：确定n倍（分）角所在象限 【例4】．（24-25高一上·贵州毕节·期末）若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式1】．（23-24高一上·江苏连云港·月考）如果是第三象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【变式2】．（2023高一上·全国·专题练习）已知为第二象限角，那么是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第四象限角 D．第一、二或第四象限角 题型五：角度制和弧度制概念理解 【例5】．（25-26高一上·全国）下列说法正确的是（    ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 C．经过5分钟分针转了30° D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 【变式1】．（24-25高一上·全国·课后作业）关于弧度制，下列说法正确的是（    ） A．正角或者负角的弧度数都是正数 B．四分之一圆所对的圆心角是 C．角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于 D．用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关 【变式2】．（22-23高一上·上海松江·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角 C．若两个角的终边重合，则这两个角相等 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 题型六：角度与弧度的互化 【例6】．（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）将下列角度与弧度进行互化： (1) (2) (3) (4) (5) 【变式1】．（25-26高一上·全国·单元测试）将下列角度与弧度互化．（不必求近似值） (1)； (2)； (3)1.2； (4)． 【变式2】．（21-22高一·全国·课后作业）将下列角度化为弧度，弧度转化为角度 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型七：弧长公式的应用 【例7】．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知扇形的周长为8，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为 . 【变式1】．（24-25高一上·广东清远·期末）已知扇形的半径为，弧长为，则此扇形的圆心角（正角）的弧度数是 ． 【变式2】．（24-25高一上·天津·期末）若扇形所对圆心角为2rad，且该扇形面积为 1cm²，那么该扇形的弧长为 cm. 题型八：扇形面积的计算 【例8】．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为 ． 【变式1】．（24-25高一上·甘肃武威·期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弧长等于的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据） 【变式2】．（24-25高一下·河南南阳·期中）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图，扇面的两条弧长分别为，的长度为，则扇环的面积为 ． 题型九：扇形面积的最值 【例9】．（24-25高一上·重庆万州·月考）已知一扇形的周长为40，则这个扇形面积的最大值是 . 【变式1】．（24-25高三上·河南·月考）若扇形AOB的面积为S，则当扇形AOB的周长取得最小值时，该扇形的圆心角的弧度数为 ． 【变式2】．（22-23高三上·安徽六安·月考）已知扇形的周长为，则当扇形的圆心角 扇形面积最大． 题型十：弧长公式和扇形公式综合应用 【例10】．（24-25高一下·江西南昌·月考）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度.    (1)当米时，求的长； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值. 【变式1】．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米． (1)若，米，求该扇形环面展台的周长； (2)若该扇形环面展台的周长为米，布置该展台的平均费用为元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用． 【变式2】．（23-24高一下·河南南阳·月考）已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为． (1)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值； (2)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）下面与角终边相同的角是（   ） A．25° B． C． D．225° 2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）弧度对应角化成角度为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）若角与角的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（25-26高一上·全国）设集合，集合，集合，则集合，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知扇形的周长为4，当扇形面积最大时，圆心角（    ） A．1 B．2 C．60° D．120° 8．（24-25高一上·云南曲靖·期末）某校高一年级在学习完三角函数弧度制这一章节后在数学课堂上要求每名同学准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积，假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为，要使与的比值为，则扇子的圆心角约为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）关于弧度制说法正确的是（    ） A．角的度数和弧度数是一一对应的 B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关 C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 D．用弧度制度量角，该角必为正角 10．（24-25高一上·江苏盐城·月考）下列说法正确的是（    ） A．1弧度的角与的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若是第三象限角，则是第二或第四象限角 D．终边在轴正半轴上的角的集合为 11．（24-25高一上·湖南常德·期末）已知某扇形纸片的周长和圆心角分别为44和2，则（    ） A．该扇形纸片的半径为12 B．该扇形纸片的半径为11 C．该扇形纸片的面积为121 D．该扇形纸片的面积为125 12．（24-25高一上·广东肇庆·期末）在半径是2的圆形金属板上截取一块扇形板，使其半径等于圆形金属板半径，已知该扇形的圆心角为，则下列说法正确的是（    ） A．该扇形的弧长为 B．该扇形的周长为 C．该扇形的面积为 D．该圆形金属板的周长为 13．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）下列说法中正确的是（   ） A．终边在直线上角的集合是 B．若角的终边落在第二象限，则角是钝角 C．若角是第一象限的角，则在第一、二、三象限的角 D．周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为 三、填空题 14．（25-26高一上·全国·课前预习）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有36齿，小轮有24齿，当大轮转动2周时小轮转动的角度为 ；若小轮的转速为min，大轮圆周上一点每1s转过的弧长为，则大轮的半径为 cm． 15．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，（1）终边落在直线上的角的集合为 ； （2）角的终边与终边落在射线上的角的终边关于轴对称，则 ． 16．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，矩形在圆外的面积为，其中圆的半径为整数，则矩形截圆所得的的长为 ． 17．（25-26高一上·全国·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章“方田”主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小（单位：弧度）为 ．（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝） 四、解答题 18．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角． (1)将改写成（，）的形式，并指出是第几象限角； (2)在区间上找出与终边相同的角． 19．（24-25高一下·江西赣州·开学考试）（1）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角； （2）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.    20．（24-25高一上·上海·课堂例题）设，，，. (1)将、用弧度制表示出来，并指出它们各自是哪个象限的角； (2)将、用角度制表示出来，并在–720°~0°之间找出与它们终边重合的所有角. 21．（23-24高一上·江苏·期中）如图，AB是⊙O的直径，点C是BA延长线上一点，CD切⊙O于D点，弦，Q是AB上一动点，CA＝1，CD是⊙O半径的倍． (1)求⊙O的半径R； (2)当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不发生变化，请你求出阴影部分的面积． 22．（23-24高一上·江苏南通·期末）如图，在半径为4、圆心角为的扇形中；分别为的中点，点在圆弧上且·    (1)若，求梯形的高； (2)求四边形面积的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1：任意角和弧度制 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：任意角 1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 2．角的分类： 名称 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角 知识点二：角的加法与减法 设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β (2)α－β：α－β＝α＋(－β)． 知识点三：象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 知识点四：终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 知识点五：度量角的两种单位制 1．角度制：(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的. 2．弧度制：(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． 知识点六：弧度数的计算 知识点七：角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 知识点八：弧度制下的弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2. 【题型归纳】 题型一：任意角、终边相同的角的概念 【例1】．（23-24高一上·上海·月考）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】结合任意角的概念分析即可. 【详解】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立； 因为钝角，第二象限角，，所以钝角一定是第二象限角，故②成立； 若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立； 例如，，但，故④不成立. 故选：B. 【变式1】．（22-23高一下·上海静安·期末）在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角. ①小于的角一定是锐角；     ②第二象限的角一定是钝角； ③终边重合的角一定相等；     ④相等的角终边一定重合. 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】对于①②③举例判断，对于④利用角的定义分析判断 【详解】对于①，的角是小于的角，但不是锐角，所以①错误， 对于②，的角是第二象限的角，但不是钝角，所以②错误， 对于③，的角和的角终边相同，但不相等，所以③错误， 对于④，因为角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角，所以若角相等，则终边一定重合，所以④正确， 所以真命题的个数是1， 故选：A 【变式2】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角和角，则下列说法正确的是（    ） A．若角是第一象限角，则角是锐角 B．若角和角的终边相同，则 C．若角和角分别是角的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的角，则 D．若角的终边在第二象限，则角是钝角 【答案】C 【分析】根据任意角的概念逐项判断. 【详解】A，角，是第一象限角，但不是锐角，A错误； B，角，角，则角和的终边相同，但，B错误； C，的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的两个角互为相反角，C正确； D，角的终边在第二象限，则角不是钝角，D错误. 故选：C. 题型二：找出终边相同的角 【例2】．（24-25高一下·全国·课堂例题）在直角坐标系中，作出下列各角，在范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)作图见解析；；不属于任何一个象限 (2)作图见解析；、；不属于任何一个象限 (3)作图见解析；；第三象限角 (4)作图见解析；；第三象限角 【分析】利用终边相同的角可得答案. 【详解】（1）作图见下图①； ， 可得在范围内， 与的终边相同，不属于任何一个象限； （2）作图见下图②； ，， 可得在范围内，与、这两个角终边相同， 不属于任何一个象限； （3）作图见下图③； ，所以在范围内，与角终边相同的角是， 因为是第三象限角，所以是第三象限角； （4）作图见下图④； ，所以在范围内，与角终边相同的角是， 因为是第三象限角，所以是第三象限角. 【变式1】．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知角. (1)把改写成为（，）的形式，并指出它是第几象限的角； (2)求，使与终边重合，且. 【答案】(1)，第三象限的角 (2) 【分析】（1）由除以可得答案； （2）利用求出可得答案. 【详解】（1）由除以，得商为5，余数为， ∴取，，， 又是第三象限的角，、终边相同， ∴为第三象限的角； （2）与终边重合的角：（）， 令（）， 解得（）， 所以， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的值为. 【变式2】．（22-23高一·全国·随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：与终边相同的角的集合为， 由，可得， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，适合不等式的元素为、、. （2）解：因为， 所以，与终边相同的角的集合为， 由，可得， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，适合不等式的元素为、、. （3）解：因为， 所以，与终边相同的角的集合为， 由，可得、、， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，适合不等式的元素为、、. （4）解：因为， 所以，与终边相同的角的集合为， 由，可得， 当时，， 当时，， 当时，. 所以，适合不等式的元素为、、. 题型三：象限角或确定角的范围 【例3】．（24-25高一上·江苏南通·期末）若与角终边相同，则是第（    ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】根据终边相同的角，表示出，得到，即可判断出结果. 【详解】因为与角终边相同，所以，则， 所以是第三象限角； 故选：C 【变式1】．（24-25高一下·陕西汉中·月考）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据象限角的定义及其范围，进行计算即可. 【详解】因为是第二象限角， 所以， 所以 从而， 所以是第四象限角． 故选：D. 【变式2】．（22-23高一上·广东深圳·期末）概念是数学的重要组成部分，理清新旧概念之间的关系对学习数学十分重要．现有如下三个集合，{钝角}，{第二象限角}，{小于180°的角}，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用钝角和第二象限角的定义即可判断. 【详解】钝角是大于，且小于的角，一定是第二象限角，故； 第二象限角的范围是，即第二象限角不一定小于， 故ABD错误，C正确； 故选：C 题型四：确定n倍（分）角所在象限 【例4】．（24-25高一上·贵州毕节·期末）若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】利用钝角的取值范围得出的范围即可得出其对应象限. 【详解】若是钝角可得，因此； 显然此时是第一象限角. 故选：A 【变式1】．（23-24高一上·江苏连云港·月考）如果是第三象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】C 【分析】根据得到，讨论的奇偶性得到答案. 【详解】是第三象限角，则， 故， 当为偶数时，在第三象限；当为奇数时，在第一象限； 故选：C. 【变式2】．（2023高一上·全国·专题练习）已知为第二象限角，那么是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第四象限角 D．第一、二或第四象限角 【答案】D 【分析】根据第二象限角的范围即可得，根据的取值即可求解. 【详解】∵为第二象限角， ∴， ∴, 当时，，属于第一象限， 当时，，属于第二象限， 当时，,属于第四象限， ∴是第一、二或第四象限角． 故选：D 题型五：角度制和弧度制概念理解 【例5】．（25-26高一上·全国）下列说法正确的是（    ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 C．经过5分钟分针转了30° D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 【答案】B 【分析】利用弧度制的定义对选项逐一分析即可. 【详解】对于A，根据弧度制定义可知A错误； 对于B，若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为，即，故B正确； 对于C，经过5分钟分针转了，故C错误； 对于D，由弧度制的定义可知，长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，故D错误. 故选：B． 【变式1】．（24-25高一上·全国·课后作业）关于弧度制，下列说法正确的是（    ） A．正角或者负角的弧度数都是正数 B．四分之一圆所对的圆心角是 C．角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于 D．用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关 【答案】B 【分析】根据弧度制的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，A错误； 整圆的圆心角是，故四分之一圆所对的圆心角是，B正确； 角的终边顺时针旋转一周得到的角是，角的终边逆时针旋转一周得到的角是，C错误； 无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径无关，D错误． 故选：B 【变式2】．（22-23高一上·上海松江·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角 C．若两个角的终边重合，则这两个角相等 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 【答案】B 【分析】由角度制和弧度制的定义，象限角的概念，判断各选项的正误. 【详解】1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，A选项错误； 若是第一象限的角，则是第四象限的角，所以是第一象限的角，B选项正确； 当，时，与终边重合，但两个角不相等，C选项错误； 不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，D选项错误. 故选：B 题型六：角度与弧度的互化 【例6】．（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）将下列角度与弧度进行互化： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)15330°(2)(3)(4)(5)690° 【分析】根据角度与弧度制的转化公式即可逐一求解 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 【变式1】．（25-26高一上·全国·单元测试）将下列角度与弧度互化．（不必求近似值） (1)； (2)； (3)1.2； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）利用弧度与角度的关系进行转化即可. 【详解】（1）． （2）． （3）． （4）． 【变式2】．（21-22高一·全国·课后作业）将下列角度化为弧度，弧度转化为角度 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)弧度 (2)π弧度 (3)弧度 (4) (5) (6) 【分析】利用弧度即可得出，即角度化弧度乘以，弧度化角度乘以，需注意单位为度． 【详解】（1）解：弧度弧度， （2）解：弧度弧度， （3）解：弧度弧度． （4）解：弧度， （5）解：弧度， （6）解：弧度． 题型七：弧长公式的应用 【例7】．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知扇形的周长为8，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为 . 【答案】2 【分析】根据扇形的弧长及面积公式计算求出，最后计算求出圆心角即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 所以， 所以，所以，， 所以这个扇形圆心角的弧度数为. 故答案为：2. 【变式1】．（24-25高一上·广东清远·期末）已知扇形的半径为，弧长为，则此扇形的圆心角（正角）的弧度数是 ． 【答案】 【分析】由弧长公式，即可求解； 【详解】设扇形的圆心角为，由扇形的弧长公式，可得． 故答案为： 【变式2】．（24-25高一上·天津·期末）若扇形所对圆心角为2rad，且该扇形面积为 1cm²，那么该扇形的弧长为 cm. 【答案】 【分析】直接根据扇形的面积公式和弧长公式求解即可. 【详解】设弧长为，半径为，则，所以. 故答案为： 题型八：扇形面积的计算 【例8】．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为 ． 【答案】 【分析】根据弧长及扇形面积公式计算求解即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为的弧所对的圆心角为，所以，所以， 则该弧所在的扇形面积为. 故答案为：. 【变式1】．（24-25高一上·甘肃武威·期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弧长等于的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据） 【答案】8.92平方米 【分析】根据已知求出矢，弦，再利用已知公式求解. 【详解】因为圆心角为，弧长等于，所以圆的半径， 如图，在中，所以，， 所以矢，则弦， 所以弧田面积弦矢矢平方米． 故答案为：8.92平方米 【变式2】．（24-25高一下·河南南阳·期中）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图，扇面的两条弧长分别为，的长度为，则扇环的面积为 ． 【答案】 【分析】设所在扇形的半径为，圆心角为，根据弧长公式求出，再由扇形的面积公式计算可得. 【详解】设所在扇形的半径为，圆心角为，则，解得， 所以扇环的面积为. 故答案为： 题型九：扇形面积的最值 【例9】．（24-25高一上·重庆万州·月考）已知一扇形的周长为40，则这个扇形面积的最大值是 . 【答案】 【分析】根据扇形弧长和半径的关系，将扇形面积表示为关于的二次函数，求最值. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，则，， 则， 当时，扇形面积最大，最大值为. 故答案为： 【变式1】．（24-25高三上·河南·月考）若扇形AOB的面积为S，则当扇形AOB的周长取得最小值时，该扇形的圆心角的弧度数为 ． 【答案】2 【分析】设扇形AOB的半径、弧长分别为r，l，进而根据扇形的面积公式可得，再结合基本不等式求解扇形AOB的周长最小时圆心角的弧度数. 【详解】设扇形AOB的半径、弧长分别为r，l， 则，即， 所以周长， 当且仅当时取等号， 所以当扇形AOB的周长最小时，圆心角的弧度数为. 故答案为：2. 【变式2】．（22-23高三上·安徽六安·月考）已知扇形的周长为，则当扇形的圆心角 扇形面积最大． 【答案】 【分析】由扇形周长公式列式，根据扇形面积公式列式并化简为二次函数形式，从而求解得时扇形面积最大，计算出弧长，由弧长公式计算圆心角的值. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 由题意，， 扇形的面积为 ，所以当时， 扇形面积取最大值，此时， 所以扇形的圆心角时，扇形面积最大. 故答案为： 题型十：弧长公式和扇形公式综合应用 【例10】．（24-25高一下·江西南昌·月考）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度.    (1)当米时，求的长； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值. 【答案】(1) (2)当时取等号，栅栏长度的最小值为40米. 【分析】（1）根据扇形的面积公式列方程得出关于的函数解析式，令，求出，在根据求出答案； （2）根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据均值不等式可得的最小值. 【详解】（1）利用扇形的面积公式可得， 所以， 于是米.    （2）依题意可得弧长，弧长， 所以栅栏的长度，将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米. 【变式1】．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米． (1)若，米，求该扇形环面展台的周长； (2)若该扇形环面展台的周长为米，布置该展台的平均费用为元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用． 【答案】(1)米 (2)元 【分析】（1）利用弧长计算公式计算即可； （2）设，米，利用扇形环面的展台周长，表示出与的关系，代入面积公式求出扇形环面展台的面积，最后计算可得. 【详解】（1）弧的长度，弧的长度， 所以扇形环面展台周长为：米； （2）设，米， 则弧的长度，弧的长度， 因为该扇形环面的周长为米，所以，即， 整理得， 则该扇形环面展台的面积：平方米， 所以布置该扇形环面展台的总费用为：元. 【变式2】．（23-24高一下·河南南阳·月考）已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为． (1)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值； (2)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值． 【答案】(1)，最小值为； (2)，最大值为． 【分析】（1）利用扇形面积公式可得，则，再结合基本不等式即可求解. （2）根据面积公式再结合二次函数求最值，即可求解. 【详解】（1）， 则． 由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立． 此时． 当时，最小，最小值为． （2），． ． 当，即时，． 当时，最大，最大值为． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）下面与角终边相同的角是（   ） A．25° B． C． D．225° 【答案】D 【分析】由终边相同角的概念进行求解． 【详解】因为，所以与终边相同的最小正角是． 故选：D 2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）弧度对应角化成角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式直接求解即可. 【详解】解:根据角度制与弧度制的互化关系得 故选：B 3．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将角度转换为弧度后借助扇形面积公式计算即可得. 【详解】设该扇形的圆心角弧度为，则， 则. 故选：A. 4．（25-26高一上·全国·课前预习）若角与角的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据题意列出满足的条件进行判断. 【详解】由题知，则， 故角的终边所在的象限是第三象限． 故选：C 5．（25-26高一上·全国）设集合，集合，集合，则集合，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：根据角的集合确定集合所表示的角的终边位置，由此判断三个集合的关系； 方法二：对集合中的关系式变形，化为结构相似的形式，由此判断结论， 【详解】方法一：集合表示终边在轴非负半轴上角的集合； 集合表示终边在轴上的角的集合； 集合表示终边在坐标轴上的角的集合． 故，，． 方法二：因为集合， 集合， 集合，所以，，． 故选：A. 6．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可求解. 【详解】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，1圈的弧度数为， 则1圈的的弧度数为， 且钟表的时针按顺时针转所形成的角应为负角， 因此钟表的时针转过的弧度数为，故D正确. 故选：D. 7．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知扇形的周长为4，当扇形面积最大时，圆心角（    ） A．1 B．2 C．60° D．120° 【答案】B 【分析】由扇形的面积公式，结合二次函数最值即可求解； 【详解】设半径，， 所以， 则扇形面积为， 当且仅当时取等号，此时，圆心角（弧度）， 故选：B． 8．（24-25高一上·云南曲靖·期末）某校高一年级在学习完三角函数弧度制这一章节后在数学课堂上要求每名同学准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积，假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为，要使与的比值为，则扇子的圆心角约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设扇子的圆心角为，半径为，由题意可得，计算即可. 【详解】设扇子的圆心角为，半径为. 由，得， 则. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）关于弧度制说法正确的是（    ） A．角的度数和弧度数是一一对应的 B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关 C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 D．用弧度制度量角，该角必为正角 【答案】AC 【分析】根据弧度制的概念逐项判断即可. 【详解】角的度数和弧度数是一一对应的，A说法正确； 无论是用角度制还是弧度制度量角，角的大小均与其所在的圆的半径无关，B说法错误； 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，C说法正确； 用弧度制度量角，该角可为正角，可为负角，也可为零角，D说法错误， 故选：AC 10．（24-25高一上·江苏盐城·月考）下列说法正确的是（    ） A．1弧度的角与的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若是第三象限角，则是第二或第四象限角 D．终边在轴正半轴上的角的集合为 【答案】BCD 【分析】根据弧度制定义判断A选项；由锐角的范围和第一象限角的范围判断B选项；根据象限角的范围求得的范围，结合象限角的范围判断C选项；根据角的终边可直接得到角的集合，判断D选项. 【详解】根据弧度制的定义可知1弧度的角约等于，故A选项错误； 锐角，第一象限角，B选项正确； 若是第三象限角，则，则 当时，，是第四象限角， 当时，，是第二象限角，故C选项正确； 终边在轴正半轴上的角的集合为，D选项正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一上·湖南常德·期末）已知某扇形纸片的周长和圆心角分别为44和2，则（    ） A．该扇形纸片的半径为12 B．该扇形纸片的半径为11 C．该扇形纸片的面积为121 D．该扇形纸片的面积为125 【答案】BC 【分析】设该扇形的半径为，弧长为，根据题意列式求，进而可得面积. 【详解】设该扇形的半径为，弧长为， 则，解得， 所以该扇形的面积. 结合选项可知AD错误，BC正确. 故选：BC. 12．（24-25高一上·广东肇庆·期末）在半径是2的圆形金属板上截取一块扇形板，使其半径等于圆形金属板半径，已知该扇形的圆心角为，则下列说法正确的是（    ） A．该扇形的弧长为 B．该扇形的周长为 C．该扇形的面积为 D．该圆形金属板的周长为 【答案】BC 【分析】根据弧长公式和扇形的面积公式逐项判断即可. 【详解】选项A：该扇形的弧长，故A说法错误； 选项B：该扇形的周长，故B说法正确； 选项C：该扇形的面积，故C说法正确； 选项D：该圆形金属板的周长，故D说法错误； 故选：BC 13．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）下列说法中正确的是（   ） A．终边在直线上角的集合是 B．若角的终边落在第二象限，则角是钝角 C．若角是第一象限的角，则在第一、二、三象限的角 D．周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为 【答案】ACD 【详解】对于A，终边落在直线上角的集合是， 终边落在直线上角的集合是， 所以终边在直线上角的集合是，A正确； 对于B，终边落在第二象限的角的集合为， 所以角不一定为钝角，例如，所以B错误； 对于C，因为角是第一象限的角，所以， 由此可得：， 当时，，位于第一象限； 当时，，位于第二象限； 当时，，位于第三象限； 所以为第一、二、三象限的角，C正确； 对于D，设扇形的半径为，弧长为，由题意可知：， 扇形面积为，、均大于零，则， 即，整理有， 当且仅当时，扇形面积取最大值， 此时，解得，所以D正确. 故选：ACD 三、填空题 14．（25-26高一上·全国·课前预习）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有36齿，小轮有24齿，当大轮转动2周时小轮转动的角度为 ；若小轮的转速为min，大轮圆周上一点每1s转过的弧长为，则大轮的半径为 cm． 【答案】 / 20 【分析】根据角的定义即可求解空1，根据弧长公式即可求解空2. 【详解】当大轮转动2周时，大轮转过的齿数为，则小轮转动的周数为周， 则小轮转动的角度为． 当小轮的转速为时，大轮的转速为，则大轮每秒转动的角度为， 由大轮周上一点每1s转过的弧长为可知大轮的半径为． 故答案为：，20 15．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，（1）终边落在直线上的角的集合为 ； （2）角的终边与终边落在射线上的角的终边关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】（1）设终边落在直线上的角为，先确定当时，的大小，再根据终边相等的角的集合的结论求结果； （2）先确定当时，的大小，再根据终边相等的角的集合的结论求结果； 【详解】（1）设终边落在直线上的角为， 角的终边是射线，则角的终边落在直线上时有两种情况：终边为射线和终边为 当终边为，且时，则， 当的终边为，且时，则， 所以当的终边在第一象限时，； 当终边在第三象限时，． 所以角的集合为． （2）因为大小为的角的终边落在射线上， 大小为的角的终边与大小为的角的终边关于轴对称， 所以． 故答案为：，. 16．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，矩形在圆外的面积为，其中圆的半径为整数，则矩形截圆所得的的长为 ． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式以及弧长公式即可求解. 【详解】设圆的半径为，所以， 所以矩形在圆外的面积，解得， 故的长为． 故答案为： 17．（25-26高一上·全国·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章“方田”主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小（单位：弧度）为 ．（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝） 【答案】6 【分析】设所在扇形的圆心角为，中周对应的半径为步，则外周对应的半径为步，即，解出即可求解. 【详解】设所在扇形的圆心角为，中周对应的半径为步，则外周对应的半径为步，则，解得， 即所在扇形的圆心角大小为6． 故答案为：6. 四、解答题 18．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角． (1)将改写成（，）的形式，并指出是第几象限角； (2)在区间上找出与终边相同的角． 【答案】(1)，角是第二象限角． (2)，． 【分析】（1）根据角度制与弧度制的互化公式进行求解即可； （2）利用代入法进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以角与的终边相同， 又，所以角α是第二象限角． （2）因为与角终边相同的角（含角在内）为， 所以由，得． 因为， 所以或． 当时，； 当时，， 故在区间上与角终边相同的角是，． 19．（24-25高一下·江西赣州·开学考试）（1）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角； （2）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.    【答案】（1），第二象限角；（2）， 【分析】（1）整理可得，进而判断角所在象限； （2）根据题意，利用终边在直线上的角的表示方法，求出角的集合. 【详解】（1）因为， 所以角与的终边相同，且，所以角是第二象限角； （2）图①：因为， 所以阴影部分内(不包括边界)的角的集合； 图②：因为， 所以阴影部分内(不包括边界)的角的集合. 20．（24-25高一上·上海·课堂例题）设，，，. (1)将、用弧度制表示出来，并指出它们各自是哪个象限的角； (2)将、用角度制表示出来，并在–720°~0°之间找出与它们终边重合的所有角. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）将角度数乘以即可化为弧度，再化为的形式，判断所在象限； （2）由将弧度化为角度，表示出终边重合的角，令其在–720°~0°之间，即可得到与它们终边重合的所有角. 【详解】（1），在第二象限； ，在第一象限, 即是第二象限的角，是第一象限的角. （2），终边重合的角是， 所以，解得或， 所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–612°和–252°； ，终边重合的角是为， 所以，解得或， 所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–420°. 21．（23-24高一上·江苏·期中）如图，AB是⊙O的直径，点C是BA延长线上一点，CD切⊙O于D点，弦，Q是AB上一动点，CA＝1，CD是⊙O半径的倍． (1)求⊙O的半径R； (2)当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不发生变化，请你求出阴影部分的面积． 【答案】(1)1 (2)不发生变化， 【分析】（1）根据切割线定理即可列方程求解； （2）据弦DE∥CB，可以连接OD，OE，则阴影部分的面积就转化为扇形ODE的面积．所以阴影部分的面积不变．只需根据直角三角形的边求得角的度数即可． 【详解】（1）根据题意，得， 由切割线定理，得CD2＝CA•CB，3R2＝1＋2R，解得：R＝1或（负数舍去）． 即⊙O的半径R为1； （2）当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积不发生变化． 连接OD、OE； ∵DE∥CB，∴S△ODE＝S△QDE；∴S阴影＝S扇形ODE； ∵CD切⊙O于D点，∴DO⊥CD，∴∠CDO＝90°， ∵，∴∠DCO＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠ODE＝60°， ∴△ODE是等边三角形；∴． 【点睛】熟练运用切割线定理，能够把不规则图形的面积进行转换是解题的关键． 22．（23-24高一上·江苏南通·期末）如图，在半径为4、圆心角为的扇形中；分别为的中点，点在圆弧上且·    (1)若，求梯形的高； (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出梯形的高后结合题意计算即可得； （2）四边形面积为，设，结合，即可求出面积关于的表达式，即可得最大值. 【详解】（1）连接，过点作于点，交于点， 由，，扇形半径为4，分别为的中点， 故，，，， 则，故为等边三角形， 则，, 故梯形的高为；    （2）设，则， 且此时，四边形面积为： ， ∴时，取最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $