精品解析：江苏省无锡市经开区太湖高级中学2025-2026学年 高一上学期期中检测试卷数学试题

2025-2026学年度第一学期期中试卷 高一数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得集合，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合， 所以. 故选：C. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分式和根式有意义列不等式组求解即可. 【详解】由题意可得. 故选：C 3. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式的可加性可以直接推出；反之，可以赋值验证不成立. 【详解】已知，若，由不等式的可加性，则成立； 已知，若成立，则不一定成立，例如，令，，，，满足，，但. 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 4. 下列函数中既是奇函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先验证选项函数的定义域是否关于原点对称，再利用与的关系判断奇偶性，最后分析函数在上的单调性，逐一判断选项即可. 【详解】选项A，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，所以A错误； 选项B，函数的定义域为，且，所以为奇函数，但是函数在上单调递减，在上单调递增，所以B错误； 选项C，函数的定义域为，且，所以为奇函数，但函数在上单调递减，所以C错误； 选项D，函数的定义域为，且，所以为奇函数，又函数在上单调递增，所以D正确. 故选：D. 5. 设，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性和指数函数单调性，比较函数值的大小，求出结果. 【详解】因为在上单调递减，所以，即， 因为在上单调递增，所以，即， 所以. 故选：B. 6. 已知函数的定义域为R，且对，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】通过赋值法构造方程组，解方程组即可求解. 【详解】已知对， 令得：； 令得：. 由，解得：，即. 故选：C 7. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是60小时，在的保鲜时间是15小时，则该食品在的保鲜时间是（ ） A. 120小时 B. 144小时 C. 168小时 D. 180小时 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定函数模型结合指数的运算计算即可. 【详解】由题意可知，作商得，所以， 则. 故选：A 8. 已知是非负实数且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 11 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简已知分式等式，转化的定量关系，再利用基本不等式性质 “积定，为定值”，求 “和的最小值”即可. 【详解】因为，所以， 即：， 所以：， 化简得：， 因，故， 所以：， 当且仅当时，基本不等式的等号成立， 又因为 所以即， 所以当时，的最小值为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 与是同一个函数 C. 函数（且）一定经过点 D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，取反例即可；对于B选项，通过函数定义域判断即可；对于C选项，由函数过定点求解即可；对于D选项，根据命题的否定进行判断即可. 【详解】对于A选项，，若，，则，，则，故A错误； 对于B选项，的定义域为，的定义域为，定义域相同，且，，故B正确； 对于C选项，当时，，所以函数过定点，故C错误； 对于D选项，命题“，”的否定为“，”，故D正确. 故选：AC. 10. 下列函数中，最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项，取特值，令，即可判断选项正误；对于B选项，利用“1”的代换结合均值不等式判断选项正误；对于C选项，直接使用均值不等式即可判断选项正误；对于D选项，由，得：，根据，求解的取值范围，进而求出的最小值即可判断选项正误. 【详解】对于A选项，当时，，得函数最小值不为，故A选项错误； 对于B选项，， 当且仅当，又，即当时等号成立， 因此可得函数的最小值为，故B选项正确； 对于C选项，由于，则， 当且仅当，即时等号成立. 因此可得函数的最小值为，故C选项正确； 对于D选项，已知函数的定义域为且满足， 则， 又，则，进而得到. 又，则，即当时取得最小值，函数的最小值为， 故D选项正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则以下说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则 C. 若，且关于x的方程有3个不等实数根，则实数m的范围为 D. 若，且存在四个不等的实数使得，则的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据解析式，代入计算，即可判断A的正误；分别讨论和两种情况，根据函数的单调性，分析判断，可求得a的范围，即可判断B的正误；将关于x的方程有3个不等实数根，转化为与图象有3个不同交点，作出图象，可得m的范围，即可判断C的正误；设，将条件转化为所以与图象有4个不同交点，作出图象，根据韦达定理，可得，的表达式，代入所求，根据t的范围，即可判断D的正误. 【详解】选项A：若，则， 所以，故A正确； 选项B：当时，在上单调递增，符合题意， 当时，由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增，所以，解得， 综上a的取值范围是，故B错误； 选项C：若，则，则， 当时，，所以当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 因为关于x的方程有3个不等实数根， 所以与图象有3个不同交点，作出与图象，如图所示： 由图象可得或，故C错误； 选项D：若时，设， 即有4个不同的实根， 所以与图象有4个不同交点，作出与图象，如图所示： 因为为方程，即的根，所以， 为方程，即的根，所以， 所以， 根据C中结论及图象可得， 所以，故D正确； 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 幂函数在区间上单调递减，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义与单调性即可得的值，即可得函数解析式，从而得所求函数值. 【详解】因为幂函数， 所以，即，解得或， 当时，幂函数在区间上单调递增，不符合； 当时，幂函数在区间上单调递减，符合； 综上，， 则. 故答案为：. 13. 若，，则________（用，表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数与对数运算法则进行化简计算. 【详解】由已知，， 则，， 所以， 故答案为：. 14. 已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①分别根据反比例函数和二次函数的性质求出两段函数的值域即可；②作出函数的函数图象，根据函数图象再结合函数的值域列出不等式组，即可得解. 【详解】若，则， 当时，，则， 当时，， 综上，若，则的值域为； 如图，作出函数的函数图象， 令，解得或， 由图可知，要使函数的值域为， 则，解得， 所以若的值域为，则实数m的取值范围是. 故答案为：；. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：①；② （2）已知，求的值． 【答案】（1）①144 ②2（2）10 【解析】 【分析】（1）①根据指数幂的运算法则求解即可，②根据对数的运算法则及性质计算； （2）根据式子的结构特点，利用完全平方公式化简求值即可. 【详解】（1）①； ②. （2）因为，， 所以， 因为，所以，所以， 所以. 16. 已知函数是定义在R上的偶函数． （1）求函数的解析式； （2）在下图所给的坐称系中画出的图象，并写出函数的增区间． 【答案】（1） （2） 递增区间为和 【解析】 【分析】（1）先利用偶函数的性质令求出，再利用偶函数的性质求出可得函数解析式； （2）由解析式画出图象，再确定递增区间即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在R上的偶函数，即， 又，， 所以， 当时，，所以， 所以. 【小问2详解】 由图象可得，递增区间为和. 17. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）实数的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）先分析集合，的区间，再求并集即可； （2）先分析集合的解集：集合，需根据与的大小关系，分类讨论，再综合所有情况求实数m的取值范围. 【小问1详解】 因为集合，即： 所以，因此； 因为， 所以集合，即：， 解此一元二次不等式，得，因此：； 所以. 【小问2详解】 因为，所以（是的子集，即的所有元素都属于）， 所以集合对应不等式， 需分3种情况讨论与的大小： ① 当（即）， 此时，空集是任何集合的子集，故符合条件. ② 当（即）， ，因，需满足： 解得，结合，得：. ③ 当（即）， ，因，需满足： 解得，结合，得：. 综合以上3种情况，实数的取值范围是：. 18. 已知关于x的一元二次不等式的解集为． （1）若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）若函数在上的最小值为1，求实数a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集可得方程的根，由根与系数的关系，可得与的关系，再根据一元不等式恒成立讨论得实数a的取值范围；； （2）确定二次函数的对称轴，讨论与，根据二次函数的性质确定最小值的位置，从而得实数a的值． 【小问1详解】 若不等式的解集是， 则的根为，， 则，解得，，且； 则不等式转化为，且， 当时，不等式为恒成立，符合题意； 当时，要使得不等式对任意实数x恒成立， 则，解得， 综上，实数a的取值范围为； 【小问2详解】 由（1）可得函数，开口向下，其对称轴为， 当时，即时，根据二次函数的对称性可知在区间上， 时，取到最小值，解得，符合题意； 当时，即时，根据二次函数的对称性可知在区间上， 时，取到最小值，解得，不符合题意； 综上，. 19. 已知函数． （1）若是奇函数，求实数a的值； （2）若 ①判断函数的单调性，并证明你的结论； ②已知，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2）①的单调递增，证明如下： 在R上任取，且， 则， 因为，在R上恒正，且单调递增， 所以，， 所以，即， 所以在R上单调递增. ② 【解析】 【分析】（1）根据是奇函数，可得，可求得a值，根据奇偶性的定义，检验即可得. （2）①根据定义证明单调性的方法，取值、作差、整理、定号，得结论，即可得证. ②设由（1）及①可得，为奇函数且单调递增，将条件转化为，可得，利用基本不等式，即可得答案. 【小问1详解】 因为是奇函数，，所以， 解得，所以， 则，满足奇函数定义. 所以是奇函数，实数a的值为1. 【小问2详解】 ①当时，在R上单调递增，证明略； ②设， 由（1）可得为奇函数，由①可得单调递增， 因为对，关于x的不等式恒成立， 所以， 即， 所以，可得， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，即实数k的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中试卷 高一数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数中既是奇函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为R，且对，则（ ） A. B. C. D. 3 7. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是60小时，在的保鲜时间是15小时，则该食品在的保鲜时间是（ ） A. 120小时 B. 144小时 C. 168小时 D. 180小时 8. 已知是非负实数且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 11 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 与是同一个函数 C. 函数（且）一定经过点 D. 命题“，”的否定是“，” 10. 下列函数中，最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则以下说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则 C. 若，且关于x的方程有3个不等实数根，则实数m的范围为 D. 若，且存在四个不等的实数使得，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 幂函数在区间上单调递减，则________． 13. 若，，则________（用，表示）． 14. 已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：①；② （2）已知，求的值． 16. 已知函数是定义在R上的偶函数． （1）求函数的解析式； （2）在下图所给的坐称系中画出的图象，并写出函数的增区间． 17. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围． 18. 已知关于x的一元二次不等式的解集为． （1）若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）若函数在上的最小值为1，求实数a的值． 19. 已知函数． （1）若是奇函数，求实数a的值； （2）若 ①判断函数的单调性，并证明你的结论； ②已知，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $