专题九 分式方程2026年九年级数学中考复习

专题九 分式方程 【题型一】分式方程的解 【例1】（2024秋•澄城县期末）若关于x的分式方程1无解，则a的值为（　　） A．0 B．1 C．1或5 D．5 【分析】解方程得x＝6﹣m，由方程无解，则x＝5，即可求m的值．y 【解答】解：1， 方程两边同时乘以x﹣5得， 2﹣（a+1）＝x﹣5， 去括号得，2﹣a﹣1＝x﹣5， 解得x＝6﹣a， ∵原分式方程无解， ∴x＝5， ∴m＝1， 故选：B． 【变式1】（2025春•乾县校级期末）已知关于x的分式方程的解是x＝2，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【分析】将x＝2代入原方程得到关于a的分式方程，解得a的值后进行检验即可． 【解答】解：已知关于x的分式方程的解是x＝2， 则， 去分母得：4a＝2a﹣2， 解得：a＝﹣1， 经检验，a＝﹣1是分式方程的解， 故选：C． 【变式2】（2025春•临漳县期末）关于x的分式方程2的解为负数，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣4 B．m＜﹣4 C．m＜﹣4且m≠﹣5 D．m＜0 【分析】分式方程的解为负数的条件是有解且解为负数． 【解答】解：2， 方程两边同乘以（x+1），得 3x﹣2＝2（x+1）+m， 解得x＝m+4， ∵关于x的分式方程2的解为负数， ∴x+1≠0且x＜0， 即m+4+1≠0且m+4＜0， 解得m＜﹣4且m≠﹣5． 故选：C． 【变式3】（2025春•乾县校级期末）若关于x的分式方程的解为x＝4，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣9 C．﹣6 D．2 【分析】先求解分式方程，用含m的代数式表示出方程的解，再根据方程的解为4得关于m的方程，求解即可． 【解答】解：方程可变形为：4， 去分母，得m﹣x＝﹣1﹣8x+20， 移项，得﹣x+8x＝﹣1+20﹣m， 合并，得7x＝19﹣m， ∴x． ∵原方程的解为x＝4， ∴4． ∴m＝﹣9． 故选：B． 【题型二】解分式方程 【例1】（2025•西安校级三模）解方程：1． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：8+x2﹣4＝x（x+2）， 整理得：2x＝4， 解得：x＝2， 经检验x＝2是增根，分式方程无解． 【例2】（2025•永寿县校级模拟）解方程． 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：3x+1＝2x﹣1， 解得：x＝﹣2， 检验：当x＝﹣2时，2x﹣1≠0， 故原方程的解为x＝﹣2． 【变式1】28．（2025•海南）分式方程的解是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝3 C．x＝2025 D．x＝﹣2025 【分析】根据分式方程的解法进行计算即可． 【解答】解：将分式方程0的两边都乘以x+3得， x﹣2025＝0， 解得x＝2025， 经检验，x＝2025是原方程的解， 故选：C． 【变式2】（2025•湖南）将分式方程去分母后得到的整式方程为（　　） A．x+1＝2x B．x+2＝1 C．1＝2x D．x＝2（x+1） 【分析】两边同乘x（x+1）去分母即可． 【解答】解：原方程两边同乘x（x+1）得：x+1＝2x， 故选：A． 【变式3】（2025春•碑林区校级月考）解方程：． 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：， 方程两边乘x﹣2，得：3﹣2x＝﹣x﹣2（x﹣2）， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，x﹣2≠0， ∴原分式方程的解为x＝1． 【题型三】分式方程的增根 【例1】（2025春•横山区期末）若分式方程2有增根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．3 C．1 D．﹣3 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出m的值即可． 【解答】解：去分母得：3x＝2（x﹣1）﹣mx， ∵分式方程有增根， ∴x﹣1＝0，即x＝1， 把x＝1代入整式方程得：3＝﹣m， ∴m＝﹣3． 故选：D． 【变式1】（2025春•新城区校级月考）（1）解方程：； （2）若关于x的方程有增根，试求m的值． 【分析】（1）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再根据分式方程有增根讨论求解即可． 【解答】解：（1）原方程整理得， 去分母得，x+1＝4， 解得：x＝3， 经检验，当x＝3时，（x+1）（x﹣1）≠0， ∴分式方程的解为x＝3； （2）原方程整理得， 去分母可化为x+2+（m﹣3）（x﹣2）＝（m﹣1）x， 即2m+x﹣8＝0， 由题意知x＝0，﹣2，2为方程的增根， 当x＝0时，2m﹣8＝0，解得m＝4； 当x＝﹣2时，2m﹣2﹣8＝0，解得m＝5； 当x＝2时，2m+2﹣8＝0，解得m＝3． 综上，m＝3或4或5． 【题型四】由实际问题抽象出分式方程 【例1】（2025•无锡）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了6km，小亮骑行时间比小红少用了4min．设小红的骑行速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】设小红的骑行速度为xkm/h，则小亮的骑行速度是1.2xkm/h，根据小亮骑行时间比小红少用了4min列得方程即可． 【解答】解：设小红的骑行速度为xkm/h，则小亮的骑行速度是1.2xkm/h， 根据两人各自骑行了6km，小亮的骑行时间+4min＝小红的骑行时间列得方程为， 故选：A． 【变式1】（2025•深圳）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是（　　） A．3 B．3 C．2 D．2 【分析】由实际与原计划种植人数间的关系，可得出实际种植人数为2x人，利用人均种植棵数＝种植总数÷种植人数，结合实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵实际种植人数是原计划人数的2倍，且原计划人数为x人， ∴实际种植人数为2x人． 根据题意得：3． 故选：A． 【变式2】（2025•绥化）用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等．若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】设B货车每小时运输化工原料x吨，则A货车每小时运输化工原料（15+x）吨，根据A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等，列出分式方程即可． 【解答】解：设B货车每小时运输化工原料x吨，则A货车每小时运输化工原料（15+x）吨， 由题意得：， 故选：C． 【变式3】（2025•江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 　　 ． 【分析】设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，则燃油汽车每百公里的耗电费为（x+50）元，根据燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，列出分式方程即可． 【解答】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，则燃油汽车每百公里的耗电费为（x+50）元， 由题意得：， 故答案为：． 【题型五】分式方程的应用 【例1】（2025•成都）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【分析】（1）依据题意，设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为x元，可得7，求出x后即可判断得解； （2）依据题意，设该游客购买m个A种挂件，则购买（m+5）个B种挂件，又结合（1）每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为25＝20元，可得25m+20（m+5）≤600，进而计算可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，设每个A种挂件的价格为x元， 则每个B种挂件的价格为x元， ∴7． ∴x＝25． 经检验：x＝25是原方程的根． 答：每个A种挂件的价格为25元． （2）由题意，设该游客购买m个A种挂件， 则购买（m+5）个B种挂件， 又结合（1）每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为25＝20元， ∴25m+20（m+5）≤600． ∴m11． 又∵m为整数， ∴m＝11，则该游客最多购买11个A种挂件． 【例2】（2025•潍坊）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元． （1）求A型、B型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【分析】（1）设A型机器人的单价为x万元，则B型机器人的单价为（x﹣3）万元，利用数量＝总价÷单价，结合用90万元购买A型机器人的数量与用60万元购买B型机器人的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即A型机器人的单价），再将其代入（x﹣3）中，即可求出B型机器人的单价； （2）设配备A型机器人y台，则配备B型机器人（10﹣y）台，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过70万元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各配备方案． 【解答】解：（1）设A型机器人的单价为x万元，则B型机器人的单价为（x﹣3）万元， 根据题意得：， 解得：x＝9， 经检验，x＝9是所列方程的解，且符合题意， ∴x﹣3＝9﹣3＝6（万元）． 答：A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元； （2）设配备A型机器人y台，则配备B型机器人（10﹣y）台， 根据题意得：9y+6（10﹣y）≤70， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y可以为1，2，3， ∴共有3种配备方案， 方案1：配备A型机器人1台，B型机器人9台； 方案2：配备A型机器人2台，B型机器人8台； 方案3：配备A型机器人3台，B型机器人7台． 【变式1】（2025•重庆）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【分析】（1）设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个，则每天生产乙种文创产品的数量是（x﹣50）个，根据3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该厂每天生产甲种文创产品的数量），再将其代入（x﹣50）中，即可求出该厂每天生产乙种文创产品的数量； （2）设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个，则每天生产乙种文创产品的数量是（x﹣50）个， 根据题意得：3x﹣4（x﹣50）＝100， 解得：x＝100， ∴x﹣50＝100﹣50＝50（个）． 答：该厂每天生产甲种文创产品的数量是100个，每天生产乙种文创产品的数量是50个； （2）设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个， 根据题意得：10， 解得：y＝20， 经检验，y＝20是所列方程的解，且符合题意． 答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个． 【变式2】（2025•云南）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等．求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料． 【分析】设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运（x+20）千克化工原料，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即机器人A每小时搬运化工原料的质量），再将其代入（x+20）中，即可求出机器人B每小时搬运化工原料的质量． 【解答】解：设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运（x+20）千克化工原料， 根据题意得：， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意， ∴x+20＝80+20＝100（千克）． 答：机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 【变式3】（2025•淄博）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240km的某景区美术实践基地写生．现知共有200名师生参加了最近一次活动． （1）一部分师生乘大巴车先行，出发36min后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； （2）该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【分析】（1）设大巴车的速度为xkm/h，则中巴车速度是1.25x km/h，根据题意列方程解答解即可； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，则教师人数为（200﹣y）人，根据题意列方程解答解即可． 【解答】解：（1）设大巴车的速度为xkm/h，则中巴车速度是1.25x km/h，根据题意得： ， 解得x＝80， 经检验，x＝80是原方程的根且符合题意， 答：大巴车的速度为80km/h； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，则教师人数为（200﹣y）人，根据题意得： 10y+30（200﹣y）＝2200， 解得y＝190， 答：参加本次活动的学生人数是190人． 【课后练习】 1．（2025•遂宁）若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．0或2 D．﹣1或3 【分析】去分母、去括号、一箱、合并同类项、系数化为1，求出x，根据方程无解，可得x﹣2＝0或a+1＝0，据此求出a． 【解答】解：， ， ， 3﹣ax＝﹣a+x﹣2， ax+x＝a+5， x（a+1）＝a+5， ， 因为关于x的分式方程无解， 所以有或a+1＝0， 解得：a＝3或a＝﹣1． 故选：D． 2．（2025•黑龙江）已知关于x的分式方程3解为负数，则k的值为（　　） A．k＜﹣4 B．k＞﹣4 C．k＜﹣4且k D．k＞﹣4且k 【分析】首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于k的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定k的范围． 【解答】解：， 得， 得x+3k＝3x﹣12， 解得：， 根据题意，解， 即3k+12＜0， 解得：k＜﹣4， ∵分母x﹣4≠0，即x≠4，即， 解得：， ∴k＜﹣4， 故选：A． 3．（2025•眉山）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程2的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．8 B．14 C．18 D．38 【分析】先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【解答】解：． 解①得：x≤5． 解②得：． ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解． ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数， 当时，解集包含x＝4，5， 此时a≤9， 分式方程化简为：， 解得， 要求解为正整数且x≠1，则为大于等于2的整数， 即a为大于等于6的偶数， ∵a≤9， ∴a＝6或8， 当a＝6时，不等式组的解集为2.5≤x≤5，整数解为3，4，5，满足条件， 当a＝8时，不等式组的解集为3.5≤x≤5，整数解为4，5，满足条件， 则所有满足条件的整数a之和为6+8＝14， 故选：B． 4．（2025•凉山州）若关于x的分式方程3无解，则m＝　﹣1　 ． 【分析】根据题意，解分式方程，得到，由题意得到原方程无解，故是原方程的增根，由x﹣2＝0，得到x＝2，由此得到答案． 【解答】解：原方程去分母：方程两边同时乘以x﹣2，得： x+m﹣1＝3x﹣6， x﹣3x＝﹣6﹣m+1， ﹣2x＝﹣5﹣m， ， ∵原方程无解， ∴是原方程的增根， 由x﹣2＝0，x＝2， ∴， ∴m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 5．（2025•哈尔滨）方程的解为（　　） A．x＝2 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解 【解答】解：去分母得：5x＝3x+6， 解得：x＝3， 检验：把x＝3代入得：x（x+2）≠0， ∴分式方程的解为x＝3． 故选：B． 6．（2025•武汉）方程的解是x＝3　 ． 【分析】将原方程去分母后化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：x+1＝4， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，（x+1）（x﹣1）≠0， 故原方程的解为x＝3， 故答案为：x＝3． 7．（2025•西安一模）解分式方程：． 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：x+x﹣3＝x﹣2， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，x﹣2≠0， 故原方程的解为x＝1． 8．（2025春•长安区校级月考）解方程：． 【分析】先把方程中的分母分解因式，然后把分式方程化成整式方程，解整式方程求出x，再进行检验即可． 【解答】解：， ， 6＝x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）， 6＝x2+2x﹣（x2﹣4）， 6＝x2+2x﹣x2+4， 2x+4＝6， 2x＝2， x＝1， 检验：当x＝1时，（x+2）（x﹣2）≠0， ∴x＝1是原方程的根． 9．（2025•定西三模）解方程：． 【分析】方程两边同时乘以x（x﹣2）去分母，解整式方程后检验即可． 【解答】解：， 去分母得2x2﹣2x（x﹣2）＝1， 去括号得2x2﹣2x2+4x＝1， 解得， 经检验，是原方程的根． 10．（2025•雁塔区校级二模）解分式方程： ． 【分析】按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 1+3（x﹣1）＝﹣3x， 解得：x， 检验：当x时，x﹣1≠0， ∴x是原方程的根． 11．（2025•雁塔区四模）解方程：． 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：x（x+2）+3（x﹣2）＝（x+2）（x﹣2）， 解得：x， 检验：当x时，（x+2）（x﹣2）≠0， 故原分式方程的解为x． 12．（2025•汉中二模）解方程1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：3+x2+3x＝x2﹣9， 解得：x＝﹣4， 经检验x＝﹣4是分式方程的解． 13．（2025春•灞桥区校级月考）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】等量关系式：绫布出售一尺收入+罗布出售一尺共收入＝120文，据此列方程，即可求解． 【解答】解：由绫布出售一尺收入+罗布出售一尺共收入＝120文得方程为： ， 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题九 分式方程 【题型一】分式方程的解 【例1】（2024秋•澄城县期末）若关于x的分式方程1无解，则a的值为（　　） A．0 B．1 C．1或5 D．5 【分析】解方程得x＝6﹣m，由方程无解，则x＝5，即可求m的值．y 【解答】解：1， 方程两边同时乘以x﹣5得， 2﹣（a+1）＝x﹣5， 去括号得，2﹣a﹣1＝x﹣5， 解得x＝6﹣a， ∵原分式方程无解， ∴x＝5， ∴m＝1， 故选：B． 【变式1】（2025春•乾县校级期末）已知关于x的分式方程的解是x＝2，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【变式2】（2025春•临漳县期末）关于x的分式方程2的解为负数，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣4 B．m＜﹣4 C．m＜﹣4且m≠﹣5 D．m＜0 【变式3】（2025春•乾县校级期末）若关于x的分式方程的解为x＝4，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣9 C．﹣6 D．2 【题型二】解分式方程 【例1】（2025•西安校级三模）解方程：1． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：8+x2﹣4＝x（x+2）， 整理得：2x＝4， 解得：x＝2， 经检验x＝2是增根，分式方程无解． 【例2】（2025•永寿县校级模拟）解方程． 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：3x+1＝2x﹣1， 解得：x＝﹣2， 检验：当x＝﹣2时，2x﹣1≠0， 故原方程的解为x＝﹣2． 【变式1】28．（2025•海南）分式方程的解是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝3 C．x＝2025 D．x＝﹣2025 【变式2】（2025•湖南）将分式方程去分母后得到的整式方程为（　　） A．x+1＝2x B．x+2＝1 C．1＝2x D．x＝2（x+1） 【变式3】（2025春•碑林区校级月考）解方程：． 【题型三】分式方程的增根 【例1】（2025春•横山区期末）若分式方程2有增根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．3 C．1 D．﹣3 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出m的值即可． 【解答】解：去分母得：3x＝2（x﹣1）﹣mx， ∵分式方程有增根， ∴x﹣1＝0，即x＝1， 把x＝1代入整式方程得：3＝﹣m， ∴m＝﹣3． 故选：D． 【变式1】（2025春•新城区校级月考）（1）解方程：； （2）若关于x的方程有增根，试求m的值． 【题型四】由实际问题抽象出分式方程 【例1】（2025•无锡）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了6km，小亮骑行时间比小红少用了4min．设小红的骑行速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】设小红的骑行速度为xkm/h，则小亮的骑行速度是1.2xkm/h，根据小亮骑行时间比小红少用了4min列得方程即可． 【解答】解：设小红的骑行速度为xkm/h，则小亮的骑行速度是1.2xkm/h， 根据两人各自骑行了6km，小亮的骑行时间+4min＝小红的骑行时间列得方程为， 故选：A． 【变式1】（2025•深圳）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是（　　） A．3 B．3 C．2 D．2 【变式2】（2025•绥化）用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等．若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025•江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 　 　 ． 【题型五】分式方程的应用 【例1】（2025•成都）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【分析】（1）依据题意，设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为x元，可得7，求出x后即可判断得解； （2）依据题意，设该游客购买m个A种挂件，则购买（m+5）个B种挂件，又结合（1）每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为25＝20元，可得25m+20（m+5）≤600，进而计算可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，设每个A种挂件的价格为x元， 则每个B种挂件的价格为x元， ∴7． ∴x＝25． 经检验：x＝25是原方程的根． 答：每个A种挂件的价格为25元． （2）由题意，设该游客购买m个A种挂件， 则购买（m+5）个B种挂件， 又结合（1）每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为25＝20元， ∴25m+20（m+5）≤600． ∴m11． 又∵m为整数， ∴m＝11，则该游客最多购买11个A种挂件． 【例2】（2025•潍坊）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元． （1）求A型、B型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【分析】（1）设A型机器人的单价为x万元，则B型机器人的单价为（x﹣3）万元，利用数量＝总价÷单价，结合用90万元购买A型机器人的数量与用60万元购买B型机器人的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即A型机器人的单价），再将其代入（x﹣3）中，即可求出B型机器人的单价； （2）设配备A型机器人y台，则配备B型机器人（10﹣y）台，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过70万元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各配备方案． 【解答】解：（1）设A型机器人的单价为x万元，则B型机器人的单价为（x﹣3）万元， 根据题意得：， 解得：x＝9， 经检验，x＝9是所列方程的解，且符合题意， ∴x﹣3＝9﹣3＝6（万元）． 答：A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元； （2）设配备A型机器人y台，则配备B型机器人（10﹣y）台， 根据题意得：9y+6（10﹣y）≤70， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y可以为1，2，3， ∴共有3种配备方案， 方案1：配备A型机器人1台，B型机器人9台； 方案2：配备A型机器人2台，B型机器人8台； 方案3：配备A型机器人3台，B型机器人7台． 【变式1】（2025•重庆）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【变式2】（2025•云南）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等．求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料． 【变式3】（2025•淄博）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240km的某景区美术实践基地写生．现知共有200名师生参加了最近一次活动． （1）一部分师生乘大巴车先行，出发36min后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； （2）该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【课后练习】 1．（2025•遂宁）若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．0或2 D．﹣1或3 2．（2025•黑龙江）已知关于x的分式方程3解为负数，则k的值为（　　） A．k＜﹣4 B．k＞﹣4 C．k＜﹣4且k D．k＞﹣4且k 3．（2025•眉山）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程2的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．8 B．14 C．18 D．38 4．（2025•凉山州）若关于x的分式方程3无解，则m＝　 　 ． 5．（2025•哈尔滨）方程的解为（　　） A．x＝2 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝1 6．（2025•武汉）方程的解是 ． 7．（2025•西安一模）解分式方程：． 8．（2025春•长安区校级月考）解方程：． 9．（2025•定西三模）解方程：． 10．（2025•雁塔区校级二模）解分式方程： ． 11．（2025•雁塔区四模）解方程：． 12．（2025•汉中二模）解方程1 13．（2025春•灞桥区校级月考）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $