专题七不等式及不等式组2026年九年级数学中考复习

专题七 不等式及不等式组 【题型一】由实际问题抽象出一元一次不等式 【例1】（2025•长春一模）去年某市空气质量优良的天数与全年天数（365天）之比达到60%，如果明年（365天）这样的比值要超过80%，那么明年空气质量优良的天数比去年至少要增加多少天？若设明年空气质量优良的天数比去年增加x天，根据题意，可列不等式为 　80%　 ． 【分析】利用明年该市空气质量优良的天数与全年天数（365天）之比＝明年该市空气质量优良的天数÷365，结合该比值要超过80%，即可列出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【解答】解：根据题意得：80%． 故答案为：80%． 【变式1】（2024•庆云县模拟）“x的2倍与y的和是正数”用不等式可表示为 　2x+y＞0　 ． 【分析】关系式为：x的2倍+y＞0，把相关数值代入即可． 【解答】解：根据题意，可列不等式为：2x+y＞0， 故答案为：2x+y＞0． 【变式2】（2024•丽水一模）“x与5的差大于x的3倍”用不等式表示为 x﹣5＞3x ． 【分析】根据“x与5的差大于x的3倍”列不等式即可． 【解答】解：“x与5的差大于x的3倍”用不等式表示为x﹣5＞3x． 故答案为：x﹣5＞3x． 【变式3】（2024•二道区校级模拟）某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生成绩总成绩．该校李红同学期中数学考了85分，她希望自己学期总成绩不低于90分，她在期末考试中数学至少应得多少分？设她在期末应考x分，可列不等式为　40%×85+60%x≥90　 ． 【分析】设她在期末应考x分，则总成绩为：期中成绩×40%+期末成绩×60%，根据总成绩不低于90分，列方程． 【解答】解：设她在期末应考x分， 由题意得，40%×85+60%x≥90． 故答案为：40%×85+60%x≥90． 【题型二】解一元一次不等式组 【例1】（2025•哈尔滨）不等式组的解集是　2＜x＜7　 ． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可． 【解答】解：由2x+1＞5得，x＞2， 由x﹣4＜3得，x＜7， 所以不等式组的解集为2＜x＜7． 故答案为：2＜x＜7． 【例2】（2025•宁夏）不等式组的解集是 x＜2　 ． 【分析】先解一元一次不等式，再得出解集． 【解答】解：， 由①得：x＜2， 由②得：x≤5， ∴x＜2， 故答案为：x＜2． 【变式1】（2025•汉台区二模）不等式组的解集为（　　） A．x＞﹣2 B．﹣2＜x＜1 C．x＞1 D．1＜x＜2 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】解：， 由①得，x＞1， 由②得，x＞﹣2， 故不等式组的解集为：x＞1， 故选：C． 【变式2】（2025春•咸阳期中）不等式组，的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解： 解不等式x﹣2＞0得：x＞2， 解不等式2x﹣6≥0得：x≥3， 在数轴上表示如图： ， 故选：B． 【变式3】（2025•金台区模拟）不等式组的解集是（　　） A．x≥﹣3 B．x＜1 C．﹣3≤x＜1 D．﹣3＜x≤1 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定出不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①得，x≥﹣3， 解不等式②得，x＜1， ∴不等式组的解集为：﹣3≤x＜1， 故选：C． 【题型三】在数轴上表示不等式的解集 【例1】（2025•商南县三模）不等式x＞2的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据不等式组解集在数轴上的表示方法就可得到． 【解答】解：x＞2的解集表示在数轴上2右边的数构成的集合，在数轴上表示为： 故选：D． 【变式1】（2025•陕西校级一模）在数轴上表示不等式3x﹣2＞7的解，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先解不等式，再根据解集的表示方法判定即可． 【解答】解：不等式3x﹣2＞7的解集为：x＞3． 在数轴上表示为： 故选：C． 【变式2】（2025春•长安区校级月考）关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（　　） A．x＞2 B．﹣1＜x≤2 C．﹣1≤x＜2 D．x＞﹣1 【分析】根据实心圆表示有等号，结合解集确定的口诀，小大大小中间找，确定． 【解答】解：根据实心圆表示有等号，结合解集确定的口诀，小大大小中间找， 故表示的解集是﹣1＜x≤2． 故选：B． 【题型四】一元一次不等式组的整数解 【例1】（2025•黑龙江）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是　﹣2≤a＜﹣1　 ． 【分析】根据所给不等式组恰有3个整数解，得出关于a的不等式，据此可解决问题． 【解答】解：由2x﹣3≤0得，x． 由x﹣a＞0得，x＞a． 因为此不等式组恰有3个整数解， 则这3个整数解为1，0，﹣1， 所以﹣2≤a＜﹣1． 故答案为：﹣2≤a＜﹣1． 【变式1】（2025•内江）对于x、y定义了一种新运算G，规定G（x，y）＝x+3y．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　﹣17≤P＜﹣7　 ． 【分析】依据题意，先根据新定义化简关于a的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出进而解不等式组，即可求解． 【解答】解：由题意，∵G（x，y）＝x+3y， ∴关于a的不等式组，即为， ∴解不等式①得：a≤1，解不等式②得：． ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为﹣1，0，1， ∴． ∴﹣17≤P＜﹣7． 故答案为：﹣17≤P＜﹣7． 【变式2】（2025•大庆）不等式组的整数解有 　2　 个． 【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再得出整数解的个数． 【解答】解：， 由①得：x﹣2＜14﹣3x， x＜4， 由②得：3x﹣5＞2x﹣4， x＞1， ∴1＜x＜4， ∴整数解为2，3，共2个， 故答案为：2． 【变式3】（2025•重庆）求不等式组：的所有整数解． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，由两不等式解集的公共部分可得不等式组的解集，从而得出所有整数解． 【解答】解：， 解不等式①，得x＜2， 解不等式②，得x≥﹣1， ∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜2， 所以不等式组的所有整数解为﹣1，0，1． 【题型五】一元一次不等式的应用 【例1】（2025•西城区二模）小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时． 甲停车场收费标准是： 停车时长t（单位：小时） 0＜t≤1 1＜t≤3 3＜t≤6 6＜t≤9 9＜t≤12 12＜t≤24 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是：每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是 　15　 元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为 　7　 小时． 【分析】（1）由题意可知，停车时长t＝8小时20分，满足6＜t≤9，即可得出结论； （2）根据当停车时长超过6小时且不超过9小时，小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，列出一元一次不等式，解不等式，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出， ∴停车时长t＝8小时20分，满足6＜t≤9， ∴小林需交的停车费是15元， 故答案为：15； （2）由题意可知，当停车时长超过9小时后，乙停车场比甲停车场更贵， 当停车时长超过6小时且不超过9小时，小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠， 则2t＜15， 解得：t＜7.5， ∵乙停车场收费标准是：每小时2元（不足1小时按1小时收费）， ∴t的最大值为7， 故答案为：7． 【例2】（2025•孝义市一模）为进一步激发家电市场活力，某市总工会携手家电商场共同举办“政企双补”家电以旧换新活动．活动期间，该工会会员小李购买一台原价为4200元的冰箱，除享受政府600元的以旧换新补贴外，还获得一定金额的厂商补贴，若小李实际支付金额不低于2970元，则厂家给予的补贴最多不超过原价的　15　 %． 【分析】设厂家给予的补贴是原价的x%，利用小李实际支付金额＝冰箱的原价﹣600﹣厂家给予的补贴，结合小李实际支付金额不低于2970元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：设厂家给予的补贴是原价的x%， 根据题意得：4200﹣600﹣4200•x%≥2970， 解得：x≤15， ∴厂家给予的补贴最多不超过原价的15%． 故答案为：15． 【变式1】（2025•渝中区校级模拟）定义：对于任意一个四位自然数m，若m满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“巳巳如意数”；将m的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到一个新数m′，令，则F（7656）＝　11　 ；将m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新数m″，令．若42G（m）﹣17F（m）被143除余110，且m″的千位数字大于百位数字，则满足条件的m的最大值为　8954　 ． 【分析】（1）求得m′的值，按照所给计算方法计算即可； （2）易得c＞d，根据a+c ＝ b+d可得a和b的最大值，分别得到G（m）和F（m）的值，进而根据42G（m）﹣17F（m）被143除余110，可得42G（m）﹣17F（m）﹣110能被143整除，即可判断出c的值，进而可得d的值，即可求得满足条件的m的最大值． 【解答】解：（1）F（7656）11， （2）设m千位、百位、十位、个位数字为a，b，c，d（a≠0 ）， ∴a+c ＝ b+d，b＝a+c﹣d， ∴m ＝ 1000a+100b+10c+d，m″＝ 1000c+100d+10a+b，m′＝1000d+100c+10b+a ∴G（m）10a+b+10c+d＝11a+11c， F（m）11a﹣11d， ∴42G（m）﹣17F（m）＝42（11a+11c）﹣17（11a﹣11d）＝462a+462c﹣187a+187d＝275a+462c+187d， ∵42G（m）﹣17F（m）被143除余110， ∴为正整数， ∵m″的千位数字大于百位数字， ∴c＞d， ∵求m的最大值，a+c ＝ b+d， ∴可猜测a＝8，b＝9， ∵d＝a+c﹣b， ∴ ， ∴为正整数， ∴c取最大值为：5， ∴d＝4， ∴满足条件的m的最大值为8954． 故答案为：8954． 【变式2】（2025•介休市一模）一部电梯的额定限载量为1000千克．工人师傅利用手推车将一批货物搬运到电梯里，然后从楼底运到楼顶，已知工人师傅的体重为60千克，手推车的质量为20千克，货物每箱的质量为50千克，则工人师傅每次最多只能搬运重物 　18　 箱． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式，然后求解即可，注意搬运的货物为整数箱． 【解答】解：工人师傅每次搬运重物x箱， 由题意可得：60+20+50x≤1000， 解得x≤18.4， ∵x为整数， ∴x的最大值为18， 即工人师傅每次最多只能搬运重物18箱， 故答案为：18． 【变式3】（2025•顺义区二模）为了进行艺术宣传，20名画师合作完成100幅户外宣传板的绘画工作．每幅宣传板上的4个绘画内容和每个内容的绘画时长如表： 内容 一个花瓶 一张桌子 一位人物 一把椅子 时长/分 3 7 15 7 20名画师同时开始工作，每位画师只负责一个内容的绘画工作．每幅作品的同一个内容只能由一名画师完成，绘画不同内容的画师可以同时在一张户外宣传板上进行绘画． （1）若2名画师负责绘画花瓶，则绘画人物的画师最多为　16　 人； （2）在（1）的条件下，绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数相同，完成这两项内容的画师总人数小于绘画人物的画师人数．完成这100幅户外宣传板的绘画工作，最少需要　175　 分钟． 【分析】（1）根据题意知每个内容至少需1名画师，否则工作无法完成，即可解答； （2）设绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为x，则绘画人物的画师人数为 20﹣2﹣2x＝（18﹣2x）人，根据完成绘画桌子与绘画椅子的画师总人数小于绘画人物的画师人数，列出一元一次不等式，求出x可能的值，再结合绘画不同内容的画师可以同时在一张户外宣传板上进行绘画，分别计算出时间比较即可解答． 【解答】解：（1）根据题意知每个内容至少需1名画师，否则工作无法完成， 则负责绘画桌子的画师至少为1人，负责绘画椅子的画师至少为1人， ∵负责绘画花瓶的画师为2人， ∴绘画人物的画师最多为：20﹣2﹣1﹣1＝16（人）； 故答案为：16； （2）设绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为x， 则绘画人物的画师人数为20﹣2﹣2x＝（18﹣2x）人， 根据题意：2x＜18﹣2x， 解得：， ∵x为正整数， ∴x＝1，2，3，4； 当x＝1时，则绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为1人，绘画人物的画师人数为16人， ∴绘画花瓶的时间为：（100×3）÷2＝150（分钟）， 绘画桌子的时间为：100×7＝700（分钟）， 绘画椅子的时间为：100×7＝700（分钟）， 绘画人物的时间为：（100×15）÷16＝93.75（分钟）， ∵绘画不同内容的画师可以同时在一张户外宣传板上进行绘画， ∴此时，最少需要的时间为700分钟； 当x＝2时，则绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为2人，绘画人物的画师人数为14人， 绘画花瓶的时间为：（100×3）÷2＝150（分钟）， 绘画桌子的时间为：（100×7）÷2＝350（分钟）， 绘画椅子的时间为：（100×7）÷2＝350（分钟）， 绘画人物的时间为：（分钟）， ∴此时，最少需要的时间为350分钟； 当x＝3时，则绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为3人，绘画人物的画师人数为12人， ∴绘画花瓶的时间为：（100×3）÷2＝150（分钟）， 绘画桌子的时间为：（分钟）， 绘画椅子的时间为：（分钟）， 绘画人物的时间为：（100×15）÷12＝125（分钟）， ∴此时，最少需要的时间为分钟； 当x＝4时，则绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为4人，绘画人物的画师人数为10人， ∴绘画花瓶的时间为：（100×3）÷2＝150（分钟）， 绘画桌子的时间为：（100×7）÷4＝175（分钟）， 绘画椅子的时间为：（100×7）÷4＝175（分钟）， 绘画人物的时间为：（100×15）÷10＝150（分钟）， ∴此时，最少需要的时间为175分钟； ∵， 完成这100幅户外宣传板的绘画工作，最少需要175分钟． 故答案为：175． 【课后练习】 1．（2025春•汉阴县校级期末）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”在数轴上表示出解集． 【解答】解：在数轴上表示不等式的解集如下： 故选：B． 2．（2022春•韩城市期末）如图，数轴上表示的解集是（　　） A．﹣3＜x≤2 B．﹣3≤x＜2 C．x＞﹣3 D．x≤2 【分析】根据求不等式组的解集的表示方法，可得答案． 【解答】解：由图可得，x＞﹣3且x≤2 ∴在数轴上表示的解集是﹣3＜x≤2， 故选：A． 3．（2025春•宝鸡期中）如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（　　） A． B． C． D． 【分析】实心点表示大于等于或小于等于，空心点表示大于或小于，再根据不等式解集的数轴表示方法判断即可． 【解答】解：由数轴上表示的是某不等式组的解集，可得这个不等式组可以是． 故选：C． 4．（2025春•莲湖区期末）若两个不等式的解集在同一条数轴上的表示如图所示，则由这两个不等式所组成的不等式组的解集为（　　） A．﹣2≤x＜1 B．﹣2＜x≤1 C．x≤﹣2 D．x＞1 【分析】根据在数轴上两个不等式的解集找出它们的公共部分即可． 【解答】解：观察数轴可得：这两个不等式组成的不等式组的解集为﹣2≤x＜1． 故选：A． 5．（2023春•临潼区期末）不等式组的解集为x＜4，则a满足的条件是（　　） A．a＜4 B．a＝4 C．a≤4 D．a≥4 【分析】先解不等式组，解集为x＜a且x＜4，再由不等式组的解集为x＜4，由“同小取较小”的原则，求得a取值范围即可． 【解答】解：解不等式组得， ∵不等式组的解集为x＜4， ∴a≥4． 故选：D． 6．（2025春•碑林区校级月考）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（　　） A．m＞4 B．m≥4 C．m＜4 D．m≤4 【分析】根据求不等式组解集的规律得出答案即可． 【解答】解：， 由①得，x≥2， 由②得，x， ∵关于x的不等式组无解， ∴， 解得：m≤4， 故选：D． 7．（2025春•西乡县期末）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出不等式组的解集，定边界，定方向在数轴上表示出解集，判断即可． 【解答】解：解不等式组得：， 在数轴上表示如图： 故选：D． 8．（2024春•雁塔区校级月考）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【解答】解：， 解得， 不等式组的解集是﹣1≤x＜1， 故选：B． 9．（2025•雁塔区校级一模）解不等式组：． 【分析】根据不等式组的解法解不等式组即可． 【解答】解：由不等式2﹣3（x﹣1）≥2x得：x≤1， 由不等式x﹣1得：x＜4， ∴原不等式组的解集为x≤1． 10．（2024•碑林区校级模拟）解不等式组． 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解． 【解答】解：， 解不等式①得x＞2， 解不等式②得x≤5． 故原不等式组的解集是2＜x≤5． 11．（2025•龙泉市一模）体质指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的标准：，其中w为体重（单位：kg），h为身高（单位：m），成年人的BMI正常范围是18.5﹣23.9kg/m2．有一位成年人体重为78kg，根据公式计算得出他的BMI值为26kg/m2，属于超重范围．若想要BMI值不超过22kg/m2，他至少应减重 　12　 kg． 【分析】利用待定系数法求得h值，再利用已知条件列出不等式解答即可得出结论． 【解答】解：∵体重为78kg，根据公式计算得出他的BMI值为26kg/m2， ∴26， ∴h2＝3， 设这位成年人的体重为xkg， ∵他的体重为值不超过22kg/m2， ∴22， ∴， ∴x≤66． ∴想要BMI值不超过22kg/m2，他的体重最多不超过66kg， ∴他至少应减重78﹣66＝12（kg）． 故答案为：12． 12．（2025•资阳）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包．购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元． （1）问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？ （2）该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？ 【分析】（1）设购买一份A款材料包需x元，购买一份B款材料包需y元，根据“购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A款材料包m份，则购买B款材料包（50﹣m）份，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过830元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设购买一份A款材料包需x元，购买一份B款材料包需y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购买一份A款材料包需16元，购买一份B款材料包需18元； （2）设购买A款材料包m份，则购买B款材料包（50﹣m）份， 根据题意得：16m+18（50﹣m）≤830， 解得：m≥35， ∴m的最小值为35． 答：至少购买A款材料包35份． 13．（2025•哈尔滨）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯．若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需用64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需用52元． （1）求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； （2）晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【分析】（1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据“购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需用64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需用52元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m盏甲型节能灯，则购买（50﹣m）盏乙型节能灯，利用总价＝单价×数量，结合总费用不超过360元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：1盏甲型节能灯的售价是6元，1盏乙型节能灯的售价是8元； （2）设购买m盏甲型节能灯，则购买（50﹣m）盏乙型节能灯， 根据题意得：6m+8（50﹣m）≤360， 解得：m≥20， ∴m的最小值为20． 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 14．（2025•湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料．已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等． （1）求A种材料和B种材料的单价； （2）若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？ 【分析】（1）设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x﹣3）元，根据购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50﹣m）件，根据总费用不超过360元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x﹣3）元， 由题意得：4x＝6（x﹣3）， 解得：x＝9， ∴x﹣3＝6， 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； （2）设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50﹣m）件， 由题意得：9m+6（50﹣m）≤360， 解得：m≤20， 答：最多能购买A种材料20件． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题七 不等式及不等式组 【题型一】由实际问题抽象出一元一次不等式 【例1】（2025•长春一模）去年某市空气质量优良的天数与全年天数（365天）之比达到60%，如果明年（365天）这样的比值要超过80%，那么明年空气质量优良的天数比去年至少要增加多少天？若设明年空气质量优良的天数比去年增加x天，根据题意，可列不等式为 　80%　 ． 【分析】利用明年该市空气质量优良的天数与全年天数（365天）之比＝明年该市空气质量优良的天数÷365，结合该比值要超过80%，即可列出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【解答】解：根据题意得：80%． 故答案为：80%． 【变式1】（2024•庆云县模拟）“x的2倍与y的和是正数”用不等式可表示为 　 　 ． 【变式2】（2024•丽水一模）“x与5的差大于x的3倍”用不等式表示为 ． 【变式3】（2024•二道区校级模拟）某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生成绩总成绩．该校李红同学期中数学考了85分，她希望自己学期总成绩不低于90分，她在期末考试中数学至少应得多少分？设她在期末应考x分，可列不等式为　 　 ． 【题型二】解一元一次不等式组 【例1】（2025•哈尔滨）不等式组的解集是　2＜x＜7　 ． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可． 【解答】解：由2x+1＞5得，x＞2， 由x﹣4＜3得，x＜7， 所以不等式组的解集为2＜x＜7． 故答案为：2＜x＜7． 【例2】（2025•宁夏）不等式组的解集是 x＜2　 ． 【分析】先解一元一次不等式，再得出解集． 【解答】解：， 由①得：x＜2， 由②得：x≤5， ∴x＜2， 故答案为：x＜2． 【变式1】（2025•汉台区二模）不等式组的解集为（　　） A．x＞﹣2 B．﹣2＜x＜1 C．x＞1 D．1＜x＜2 【变式2】（2025春•咸阳期中）不等式组，的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025•金台区模拟）不等式组的解集是（　　） A．x≥﹣3 B．x＜1 C．﹣3≤x＜1 D．﹣3＜x≤1 【题型三】在数轴上表示不等式的解集 【例1】（2025•商南县三模）不等式x＞2的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据不等式组解集在数轴上的表示方法就可得到． 【解答】解：x＞2的解集表示在数轴上2右边的数构成的集合，在数轴上表示为： 故选：D． 【变式1】（2025•陕西校级一模）在数轴上表示不等式3x﹣2＞7的解，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025春•长安区校级月考）关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（　　） A．x＞2 B．﹣1＜x≤2 C．﹣1≤x＜2 D．x＞﹣1 【题型四】一元一次不等式组的整数解 【例1】（2025•黑龙江）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是　﹣2≤a＜﹣1　 ． 【分析】根据所给不等式组恰有3个整数解，得出关于a的不等式，据此可解决问题． 【解答】解：由2x﹣3≤0得，x． 由x﹣a＞0得，x＞a． 因为此不等式组恰有3个整数解， 则这3个整数解为1，0，﹣1， 所以﹣2≤a＜﹣1． 故答案为：﹣2≤a＜﹣1． 【变式1】（2025•内江）对于x、y定义了一种新运算G，规定G（x，y）＝x+3y．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　 　 ． 【变式2】（2025•大庆）不等式组的整数解有 　 　 个． 【变式3】（2025•重庆）求不等式组：的所有整数解． 【题型五】一元一次不等式的应用 【例1】（2025•西城区二模）小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时． 甲停车场收费标准是： 停车时长t（单位：小时） 0＜t≤1 1＜t≤3 3＜t≤6 6＜t≤9 9＜t≤12 12＜t≤24 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是：每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是 　15　 元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为 　7　 小时． 【分析】（1）由题意可知，停车时长t＝8小时20分，满足6＜t≤9，即可得出结论； （2）根据当停车时长超过6小时且不超过9小时，小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，列出一元一次不等式，解不等式，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出， ∴停车时长t＝8小时20分，满足6＜t≤9， ∴小林需交的停车费是15元， 故答案为：15； （2）由题意可知，当停车时长超过9小时后，乙停车场比甲停车场更贵， 当停车时长超过6小时且不超过9小时，小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠， 则2t＜15， 解得：t＜7.5， ∵乙停车场收费标准是：每小时2元（不足1小时按1小时收费）， ∴t的最大值为7， 故答案为：7． 【例2】（2025•孝义市一模）为进一步激发家电市场活力，某市总工会携手家电商场共同举办“政企双补”家电以旧换新活动．活动期间，该工会会员小李购买一台原价为4200元的冰箱，除享受政府600元的以旧换新补贴外，还获得一定金额的厂商补贴，若小李实际支付金额不低于2970元，则厂家给予的补贴最多不超过原价的　15　 %． 【分析】设厂家给予的补贴是原价的x%，利用小李实际支付金额＝冰箱的原价﹣600﹣厂家给予的补贴，结合小李实际支付金额不低于2970元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：设厂家给予的补贴是原价的x%， 根据题意得：4200﹣600﹣4200•x%≥2970， 解得：x≤15， ∴厂家给予的补贴最多不超过原价的15%． 故答案为：15． 【变式1】（2025•渝中区校级模拟）定义：对于任意一个四位自然数m，若m满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“巳巳如意数”；将m的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到一个新数m′，令，则F（7656）＝　11　 ；将m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新数m″，令．若42G（m）﹣17F（m）被143除余110，且m″的千位数字大于百位数字，则满足条件的m的最大值为　 　 ． 【变式2】（2025•介休市一模）一部电梯的额定限载量为1000千克．工人师傅利用手推车将一批货物搬运到电梯里，然后从楼底运到楼顶，已知工人师傅的体重为60千克，手推车的质量为20千克，货物每箱的质量为50千克，则工人师傅每次最多只能搬运重物 　 　 箱． 【变式3】（2025•顺义区二模）为了进行艺术宣传，20名画师合作完成100幅户外宣传板的绘画工作．每幅宣传板上的4个绘画内容和每个内容的绘画时长如表： 内容 一个花瓶 一张桌子 一位人物 一把椅子 时长/分 3 7 15 7 20名画师同时开始工作，每位画师只负责一个内容的绘画工作．每幅作品的同一个内容只能由一名画师完成，绘画不同内容的画师可以同时在一张户外宣传板上进行绘画． （1）若2名画师负责绘画花瓶，则绘画人物的画师最多为　 　 人； （2）在（1）的条件下，绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数相同，完成这两项内容的画师总人数小于绘画人物的画师人数．完成这100幅户外宣传板的绘画工作，最少需要　 　 分钟． 【课后练习】 1．（2025春•汉阴县校级期末）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 2．（2022春•韩城市期末）如图，数轴上表示的解集是（　　） A．﹣3＜x≤2 B．﹣3≤x＜2 C．x＞﹣3 D．x≤2 3．（2025春•宝鸡期中）如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（　　） A． B． C． D． 4．（2025春•莲湖区期末）若两个不等式的解集在同一条数轴上的表示如图所示，则由这两个不等式所组成的不等式组的解集为（　　） A．﹣2≤x＜1 B．﹣2＜x≤1 C．x≤﹣2 D．x＞1 5．（2023春•临潼区期末）不等式组的解集为x＜4，则a满足的条件是（　　） A．a＜4 B．a＝4 C．a≤4 D．a≥4 6．（2025春•碑林区校级月考）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（　　） A．m＞4 B．m≥4 C．m＜4 D．m≤4 7．（2025春•西乡县期末）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 8．（2024春•雁塔区校级月考）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 9．（2025•雁塔区校级一模）解不等式组：． 10．（2024•碑林区校级模拟）解不等式组． 11．（2025•龙泉市一模）体质指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的标准：，其中w为体重（单位：kg），h为身高（单位：m），成年人的BMI正常范围是18.5﹣23.9kg/m2．有一位成年人体重为78kg，根据公式计算得出他的BMI值为26kg/m2，属于超重范围．若想要BMI值不超过22kg/m2，他至少应减重 　 　 kg． 12．（2025•资阳）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包．购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元． （1）问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？ （2）该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？ 13．（2025•哈尔滨）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯．若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需用64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需用52元． （1）求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； （2）晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 14．（2025•湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料．已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等． （1）求A种材料和B种材料的单价； （2）若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $