精品解析：黑龙江省哈尔滨市松雷中学校2025-2026学年高一上学期5月期中考试数学试题

松雷中学2025-2026学年度上学期期中考试 高一数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人：于佳 校对人：孙刚 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，，则“”是“，”的（ ） A 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知扇形的圆心角为 ，面积为 24 ，则该扇形的弧长为（ ） A 6 B. C. 12 D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则，，之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、（多选题）（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）图象过定点 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的单调递增区间是 D 不等式对一切实数恒成立，则 10. 已知指数函数过点，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 方程的解仅为 D. 方程恰有两个解，则取值范围为 11. 已知函数的定义域为，的图像关于直线对称，且对任意的都有，则下列正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 2是的一个周期 D. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 用弧度制表示为______. 13. 已知幂函数的图象不经过原点，则实数_____________． 14. 已知函数，若函数，且函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是______ 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 求下列式子的值： （1）； （2）． 16. 已知集合，. （1）求，； （2）设集合，且，求实数的取值范围. 17. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）当时，求的最小值. 18. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 19. 已知，函数是奇函数，. （1）求实数的值； （2）若，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松雷中学2025-2026学年度上学期期中考试 高一数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人：于佳 校对人：孙刚 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据全称命题的否定得到命题的否定为， . 故选：C. 2. 已知，，则“”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则或， 所以由推不出，，故充分性不成立； 由，推得出，故必要性成立； 所以“”是“，”的必要不充分条件. 故选：C 3. 已知扇形的圆心角为 ，面积为 24 ，则该扇形的弧长为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用扇形面积及弧长公式列式求解. 【详解】设扇形半径为，由扇形的圆心角为 ，面积为 24 ，得，解得， 所以该扇形弧长为. 故选：C 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数定义域、具体函数定义域的求法即可得解. 【详解】由题意，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：B. 5. 若，，，则，，之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数性质和指数函数性质，借助中间量进行比大小. 【详解】因为，即； ，即； ，即， 所以. 故选：D 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和函数值的符号排除法判断即可. 【详解】因为函数的定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项BD， 当时，，所以选项A符合题意，选项C不符合题意. 故选：A 7. 已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，求解即得. 【详解】由题意，函数是上的增函数， 则，解得. 故选：B. 8. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为， 所以， 因为，， 所以， 当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 二、（多选题）（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象过定点 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的单调递增区间是 D. 不等式对一切实数恒成立，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据指数函数的定点可判断A；根据复合函数的定义域可判断B；根据指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数的单调性可判断C；根据二次函数恒成立问题及分类讨论思想可判断D． 【详解】解：A．令，可得，， 所以函数且的图象过定点，故A正确； B．的定义域为，则函数中，，解得：，故函数的定义域为，故B正确； C．函数的对称轴为：，开口向下，故函数在,上单调递增，在,上单调递减， 函数在上单调递减，所以还是的单调递增区间是，故C正确； D．当时，不等式对一切实数恒成立，当时， 则，解得，综上，故D错误； 故选：ABC． 10. 已知指数函数过点，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 方程的解仅为 D. 方程恰有两个解，则的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】待定系数法判断A；直接求解的解析式判断B；直接解方程判断C；直接讨论的值域范围判断D. 【详解】解：由题设，因为过点，解得，故A错误； 当时，， 所以在上单调递增，B正确； 当时，所以，解得， 当时，所以，解得，不符合题意， 所以方程的解仅为2，C正确； 当时，易知单调递增，所以，所以， 当时，由B知单调递增，，又，所以， 综上，方程恰有两个解，则的取值范围为，D错误， 故选：BC. 11. 已知函数定义域为，的图像关于直线对称，且对任意的都有，则下列正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 2是的一个周期 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抽象函数的奇偶性、对称性，结合条件，化简变形，再利用赋值法，可判断A,B，判断函数的周期性，结合条件，可判断CD. 【详解】因为函数的定义域为，的图像关于直线对称，所以关于轴对称，即，所以为偶函数，故A正确； 因为，令，可得，则，因为为偶函数，所以，故B不正确； 由，令，可得：，,2是不是的一个周期，C错误； 因为，，所以， 所以，则，即是以4为周期的周期函数； 所以，故D正确； 故选：AD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 用弧度制表示为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式，即可表示. 【详解】用弧度制表示为. 故答案为： 13. 已知幂函数的图象不经过原点，则实数_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再由幂函数图象性质，判断的值. 【详解】根据幂函数的定义可得，解得或， 当时，不经过原点，符合题意； 当时，过原点，不符合题意， 故． 故答案为： 14. 已知函数，若函数，且函数有6个零点，则非零实数m取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】由，可得或，画出函数的图象，由图象可知，有3个不等的实根，从而可得有3不等实根，进而可得，求解即可. 【详解】函数的图象如图，且，   令，则，可得或，， 当时，有3个不等的实根， 又函数有6个零点，所以方程有6个不等实根， 则有3不等实根，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 求下列式子的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用指数幂的运算法则，准确计算，即可求解； （2）根据题意，利用对数的运算法则与性质，准确计算，即可求解； 【小问1详解】 解：由指数幂的运算法则，可得： . 【小问2详解】 解：由对数的运算法则，可得： . 16. 已知集合，. （1）求，； （2）设集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据交集、补集、并集的定义求解即可； （2）由得，进而分、两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 依题意得：， 或， 所以. 而或，故或. 【小问2详解】 因为集合，且，所以. ①若，则，解得； ②若，则需使，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 17. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）当时，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给解析式及偶函数的性质计算可得； （2）根据偶函数定义求解即可； （3）根据的单调性，按的不同取值分类讨论即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的偶函数，当时，， 所以，则. 【小问2详解】 因为为偶函数，当时，， 当，有，则， 所以. 【小问3详解】 当时，，开口向上，对称轴，所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则； 当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增，则； 当时，在上单调递增，则； 综上可得. 18. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得与的关系，结合基本不等式计算即可得； （2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元； 【小问2详解】 由题意可得，对任意的恒成立， 则，即在恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ，又，故. 19. 已知，函数是奇函数，. （1）求实数的值； （2）若，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）5 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义，建立方程，结合对数运算，经过验根，可得答案； （2）利用复合函数单调性，求得函数在对应区间上的最小值，由题意化简不等式，可得答案. 【小问1详解】 因为函数是奇函数，所以， 即，即，解得， 因为，所以. 当时，，此时的定义域为， 关于原点对称，满足题意. 综上，. 【小问2详解】 由题意得，， 由（1）知，， 易得在上单调递增，故. ， 当时，，所以当时，， 所以， 解得，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $