精品解析：湖南省A佳教育联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题

2025年11月A佳教育高二期中联考 数学 （本试卷共19题，考试用时120分钟，全卷满分150分） 注意事项： 1.答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，将答题卡上交． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合为不小于1的正整数，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 详解】，，. 故选：D. 2. 若复数满足，则（ ） A. i B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘除进行计算即可. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：A． 3. 已知直线过点，，则直线倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由斜率公式求得斜率，再由倾斜角和斜率关系即可求解. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 所以倾斜角的取值范围为. 故选：B． 4. 已知直线，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的性质，结合充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】由， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 5. 如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的加法运算可得，两边平方并化简可得，从而可得异面直线与所成角的大小. 【详解】由空间向量得，两边平方得， 整理得，所以，则，故异面直线与所成角为． 故选：C. 6. 与圆及圆都内切的圆的圆心在（ ） A. 双曲线上 B. 直线上 C. 圆上 D. 椭圆上 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义确定正确答案. 【详解】圆的标准方程为， 圆心为，半径为． ，圆心为，半径为． 设所求圆的圆心为，半径为， 则，，， 所以圆心的轨迹是以分别为左、右焦点的椭圆． 故选：D． 7. 双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到，结合双曲线定义得到，，再根据内切圆半径和三角形面积公式得到，，求出双曲线的方程. 【详解】在中，直线的斜率为2，故⊥， 则，故， 又，所以，， 由勾股定理得，所以． 又内切圆半径为， 由三角形等面积法可得， 解得，故，，故双曲线的方程为. 故选：A． 8. 已知点集分别表示曲线，则的公共点的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】分情况讨论，同一坐标系内作出曲线的图象，数形结合，判断公共点个数. 【详解】曲线，曲线是双曲线一部分和圆的一部分构成的图象，理由如下： 当，时，曲线方程可化为，为双曲线的一部分； 当，时，曲线方程可化为，即，无解； 当，时，曲线方程可化为，为圆的一部分，半径为； 当，时，曲线方程可化为，为双曲线的一部分. 曲线，曲线是由四条线段构成的图象，理由如下： 当，时，曲线方程可化为； 当，时，曲线方程可化为； 当，时，曲线方程可化为； 当，时，曲线方程可化. 如图：同一坐标系内画出， 因为点到直线的距离为：， 所以（，）与线段（，）相切，有1个公共点. 故在第一、三、四象限各1个交点，共3个交点． 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 平面ABC的一个法向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由两点间的距离公式验算即可；对于B，终点坐标减区起点坐标验算即可；对于C，验算是否等于0即可判断；对于D，直接验证所给向量与是否垂直即可. 【详解】对于A，，故A不正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，， 所以，于是有，故C正确； 对于D，因为，， ，， 所以是平面的一个法向量，故D正确， 故选：BCD． 10. 函数，则下列结论正确的为（ ） A. 函数的单调增区间为 B. 函数的图象关于对称 C. 函数的图象关于对称 D. 若，则函数的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】由求解可判断A，通过代入验证可判断BC，由，可得，再结合正弦函数性质可判断D. 【详解】选项A：由，，可得，， 即函数的单调增区间为，故A正确； 选项B：，则函数的图象关于直线对称，关于不对称，故B错误，故C正确； 选项D：由，可得，则， 则． 即若，则函数的值域为，故D错误． 故选：AC． 11. 如图，在棱长为1的正方体中，在线段上，且，动点满足：，下列说法正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的余弦值的最大值为 B. 存在，使四点共面 C. 存在，使 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系,选项，易得平面的一个法向量为，再由求解；选项B，若四点共面，则存在实数，使成立求解；选项C，由求解；选项D，由，利用向量的模公式求解. 【详解】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系： 选项，则， 所以， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， ， 因为，所以， 所以，故选项A错误； 选项B，若四点共面，则存在实数，使， 即，所以，解得， 所以当时，四点共面，故选项B正确； 选项C，因为， 若，则，解得，故C选项正确； 选项D，因为， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故选项正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点，垂直于轴的直线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的点斜式方程可得. 【详解】因过点，垂直于轴的直线的斜率为0. 所以过点，垂直于轴的直线方程为, 即．如图： 故答案为：． 13. 若直线与圆只有一个公共点，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】将问题转化为“圆心到直线的距离等于半径”，由此可求解出的值. 【详解】由圆，得，圆心，半径为， 因为直线与圆只有一个公共点， 所以到直线的距离等于，即，解得或． 故答案为：或． 14. 已知A，B为双曲线上关于原点对称的两点（异于顶点），点在双曲线上且满足直线AC，AB的斜率之积为，设直线BC与轴的交点为，若，则双曲线的离心率为______． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用点差法得到，结合，可得.再设，利用和三点共线，可得的关系，进而求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设，，则. 由， 所以. 又，，所以. 又，所以． 设，由，得． 又三点共线，故． 代入，得，故． 离心率. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，点的轨迹为． （1）求的方程； （2）以为直径的圆与的一条渐近线相交于M，N两点，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由双曲线定义可知轨迹，求出得解即可； （2）由题意求出点到轴的距离，利用三角形面积公式得解. 【小问1详解】 因为， 由双曲线定义得，点的轨迹是以，为焦点，且的双曲线， 所以， 故的方程为． 【小问2详解】 由题意得，的渐近线方程为， 以为直径，则为直角，且， 从而得到点到轴的距离为， 所以四边形的面积． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为，． （1）求角； （2）若，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得到的值，再由可得角； （2）由正弦定理得到，结合可得和，设边上的高为，由可得. 【小问1详解】 由，得． ． ，． 又，，，． 【小问2详解】 ，，． 由，解得． 设边上的高为，，. 17. 如图，在四边形中，，且与间的距离为6，O为的中点，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求等腰梯形的外接圆的方程； （2）已知直线：，过直线上的动点作圆的两条切线交圆于M，N，求当四边形的面积取得最小值时，直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆心在轴上先设出圆心，再设出圆的方程，并由点和在圆上，将点的坐标代入圆的方程可得结果； （2）先由圆的切线的性质分析得到要使四边形的面积最小，则圆心到直线的距离最小，将过圆心的直线的垂线方程和直线的方程联立，得到点坐标，最后由为四点所在圆和圆的公共弦，联立两圆方程可得直线的方程. 【小问1详解】 由已知可得圆心在轴上，设圆心，半径为，则圆的方程为． 由，，代入圆的方程得，解得． 故圆的方程为． 【小问2详解】 四边形的面积． 要使四边形的面积最小，则圆心到直线的距离最小． 过圆心作直线的垂线，垂线的方程为．联立，解得． 则四边形的面积最小时，． 因为四点共圆，直径为，其方程为． 联立，得直线的方程为． 故所求的直线的方程为． 18. 如图，在正四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，是棱PA的中点． （1）证明：平面BDE； （2）设该四棱锥外接球的体积为，当取最小值时，求： （ⅰ）四棱锥的体积； （ⅱ）平面BDE与平面PCD夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）通过构造中位线的方法证得平面BDE. （2）（ⅰ）利用基本不等式研究四棱锥外接球半径的最小值，根据锥体体积计算方法求得四棱锥的体积. （ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面BDE与平面PCD夹角的余弦值． 【小问1详解】 连接交于点，连接． 因为底面是正方形，所以为的中点． 又因为是棱的中点，所以． 又面，面，所以平面． 【小问2详解】 （ⅰ）连接，设，四棱锥外接球的半径为． 因为是正四棱锥，所以球心在直线上． 所以． 所以， 当且仅当时取“”． 此时，． （ⅱ）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系． 由（ⅰ）可知，所以， 所以，， 所以面，所以面的法向量可以是． 又因为，，所以，． 设平面的法向量为，则且． 由，，， 得，．所以，即， 令，得，． 设平面与平面的夹角为， 所以． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 19. 已知椭圆C：，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于A，B两点． （ⅰ）若，记线段AB的中点为，求的坐标； （ⅱ）若点在第一象限，直线交椭圆于另一点，设分别是的内切圆半径，求的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求出，进而可求出椭圆的标准方程. （2）（i）分两种情况讨论，当线斜率不存在时和当线斜率存在时，分别求出，根据其值为0求出点的坐标；（ii）设直线的方程可化为，联立该直线与椭圆方程组，结合韦达定理，化简的表达式，然后利用基本不等式的性质求出最大值即可. 【小问1详解】 由，得． 由离心率，得． 则．所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）得点坐标，易得过点的所有直线与椭圆一定有两个不同的交点， 因为，所以. ①直线斜率不存在时，在椭圆方程中令，得， 不妨设，所以； ②直线斜率存在时，设直线的斜率为，则其方程为. 设，联立，消去得， 则有，所以 解得. 当时，， 所以点的坐标是； 同理当时，点的坐标是. （ii）设直线的方程可化为，联立， 消去得，则有， 所以，又，所以，则． 同理设，则． 所以 ． 当且仅当，即，时取等号． 故的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年11月A佳教育高二期中联考 数学 （本试卷共19题，考试用时120分钟，全卷满分150分） 注意事项： 1.答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，将答题卡上交． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合为不小于1的正整数，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. i B. 1 C. D. 3. 已知直线过点，，则直线倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（ ） A. B. C. D. 6. 与圆及圆都内切的圆的圆心在（ ） A. 双曲线上 B. 直线上 C. 圆上 D. 椭圆上 7. 双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点集分别表示曲线，则的公共点的个数为（ ） A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 平面ABC的一个法向量是 10. 函数，则下列结论正确的为（ ） A. 函数的单调增区间为 B. 函数图象关于对称 C. 函数的图象关于对称 D. 若，则函数的值域为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，在线段上，且，动点满足：，下列说法正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的余弦值的最大值为 B. 存在，使四点共面 C. 存在，使 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点，垂直于轴的直线方程为______． 13. 若直线与圆只有一个公共点，则______． 14. 已知A，B为双曲线上关于原点对称的两点（异于顶点），点在双曲线上且满足直线AC，AB的斜率之积为，设直线BC与轴的交点为，若，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，点的轨迹为． （1）求的方程； （2）以为直径的圆与的一条渐近线相交于M，N两点，求四边形的面积． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为，． （1）求角； （2）若，求边上的高． 17. 如图，在四边形中，，且与间的距离为6，O为的中点，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求等腰梯形的外接圆的方程； （2）已知直线：，过直线上的动点作圆的两条切线交圆于M，N，求当四边形的面积取得最小值时，直线的方程． 18. 如图，在正四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，是棱PA的中点． （1）证明：平面BDE； （2）设该四棱锥外接球的体积为，当取最小值时，求： （ⅰ）四棱锥的体积； （ⅱ）平面BDE与平面PCD夹角的余弦值． 19. 已知椭圆C：，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过直线与椭圆交于A，B两点． （ⅰ）若，记线段AB的中点为，求的坐标； （ⅱ）若点在第一象限，直线交椭圆于另一点，设分别是的内切圆半径，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $