精品解析：上海市嘉定区2025-2026学年高三上学期一模数学试卷

2025学年第一学期高三年级第一次质量调研 数学试卷 考生注意： 1. 本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2. 作答前，考生在答题纸正面填写姓名、学校、班级，粘贴考生本人条形码. 3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在草稿纸、试卷上作答一律不得分. 4. 用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合集合的并集运算求解即可, 【详解】因为集合，， 所以. 故答案为：. 2. 已知直线 经过点、，则 的倾斜角为 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式求斜率，即可得直线的倾斜角. 【详解】设直线 的倾斜角为， 因为直线 经过点、，则直线 的斜率， 则，可得， 所以直线 的倾斜角为. 故答案为：. 3. 已知复数（ 为虚数单位），则_____. 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得，即可得模长. 【详解】因为复数， 所以. 故答案为：1. 4. 双曲线的离心率为____________. 【答案】 【解析】 【详解】∵由题可知 ∴ ∴离心率 故答案为：. 5. 已知空间向量，，，且，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用向量的垂直得出，，，再将平方即可求解. 【详解】，，，，，， ， ， . 故答案为：. 6. 在的二项展开式中，各项系数的和是_____. 【答案】 【解析】 【分析】令 即可得出答案. 【详解】令 ，则，则各项系数的和为. 故答案为： 7. 圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为 ，这个圆锥的侧面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】借助扇形弧长公可计算出圆锥母线长，结合扇形面积公式即可得圆锥侧面积. 【详解】设圆锥母线长为l，扇形圆心角为 ，则，故， 则. 故答案为：. 8. 两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可. 【详解】记事件“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”， 由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得， ， 所以. 故答案为：. 9. 已知数列满足，且，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】观察递推式为分式的形式，通过取倒数将其转化为线性递推关系，构造等差数列可求得数列的通项公式，进而求解． 【详解】对的两边取倒数得， 所以，所以数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为， 所以数列的通项公式为，所以． 故答案为：． 10. 已知向量，，， 为直线上的一个动点，当取最小值时，向量的坐标为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意设，根据数量积的坐标表示计算，即可求解. 【详解】因为 为直线 上的一个动点，所以与共线，设， 所以 ， 所以当 时，取最小值，此时. 故答案为： 11. 已知，且，则实数 的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求函数的定义域，并判断的奇偶性和单调性，结合函数性质解不等式即可. 【详解】令，等价于，可得，解得 ， 可知函数的定义域为， 因为，即， 可知函数为奇函数， 且， 因为在内单调递增，则在内单调递减， 且在定义域内单调递增，可知函数在内单调递减， 若，则， 可得，解得， 所以实数 的取值范围是. 故答案为：. 12. 、、、、是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的，和中至少有一个大于，则满足要求的排列的总数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先判断出 的位置，然后对第二位进行分类讨论，同时注意数字 的位置，结合对称性可求解出满足要求的排列的总数. 【详解】因为没有比 大的数，所以 只能排在第一位或者第五位， 当 排在第一位时，若 排在第二位，此时排列可以是，，，，共 种情况； 当 排在第一位时，若 排在第二位，此时没有比 大的数，故 只能排在第五位， 此时排列可以是，，共 种情况； 当 排在第一位时，若 排在第二位，此时没有比 大的数，故 只能排在第五位， 此时排列可以是，共 种情况； 当 排在第一位时，若 排在第二位，此时没有比 大的数，故 只能排在第五位， 此时排列可以是，共 种情况； 由上可知，当 排在第一位时，共有种情况， 同理可得，当 排在第五位时，也有 种情况满足条件， 综上所述，共有 种排列满足条件， 故答案为： . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 如果，那么下列不等式中成立的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质比较大小逐一判断即可. 【详解】对于A：由得，错误； 对于B：由，则有，即，正确； 对于C：由得，则根据不等式的性质有，即， 由可得，错误； 对于D：由得，则，即，错误. 故选：B 14. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式和诱导公式化简，最后由正弦函数性质即可求解. 【详解】， 所以函数 为奇函数，最小正周期. 故选：C 15. 若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出 的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得， 在同一直角坐标系内作出函数的图象， 则 分别是函数， 的图象与直线交点的纵坐标， 设 点的横坐标为， 点的横坐标为，观察图象得当时，， 当时，，当时，， 所以ABD是可能的，C不可能. 16. 数列的前 项和为，且对任意正整数 ，总存在正整数 ，使得，则下列命题中正确的是（ ） A. 对任意正整数 ，总存在正整数 ，使得 B. 数列一定是等差数列 C. 存在公比为正整数的等比数列满足条件 D. 对任意正整数 ，总存在正整数 、 ，使得 【答案】D 【解析】 【分析】可根据数列的性质，对每一选项进行分析判断即可. 【详解】选项A：取数列 ，易知不存在正整数 ，使得，故该选项错误； 选项B：取数列，则，满足对任意正整数 ，总存在正整数 ，使得，但数列不是等差数列，故该选项错误； 选项C：设等比数列的公比为，首项为，则， 当时，，，则不恒为0，不符合题意； 当正整数时，，， 若，则， 由于正整数，则， 即…*， 由于单调递增，且在 与 之间不存在其他正整数，则*式不成立； 故C错误； 选项D：当正整数时，由题意，存在正整数 使得， 且存在正整数 使得，则符合题意； 当时，存在正整数 使得，取，则符合题意； 故D正确. 故选：D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. A校抽取66名高一年级学生测量身高，因某种原因原始数据遗失.已知该样本是按照分层随机抽样的方法抽取的，其中男生34名，身高平均数为173cm；女生32名，身高平均数为161cm.该66名学生身高的方差为60，其频率分布直方图如下： （1）求该66名学生中身高在（单位：cm）内的人数； （2）试用已知数据估计A校高一年级全体学生身高的平均数；（结果精确到0.1cm） （3）若一组数据落在（是平均数， 是标准差）内的频率不小于92%，则称这组数据满足“常态”.试判断这66个身高数据是否满足“常态”，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）满足，理由： 由（2）知，所以约为， 数据落在内的频率为， 因为，所以数据落在内的频率不小于， 所以这66个身高数据满足“常态”. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，求出身高在的频率，再求出频数即可得到答案； （2）求出66名学生的身高平均数，用样本估计总体即可得到结果； （3）根据题目数据求出约为，再根据频率分布直方图求出数据落在的频率，根据即可进行判断. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，身高在的频率为， ，所以该66名学生中身高在（单位：cm）内的人数为 人. 【小问2详解】 这66名高一年级学生身高平均数为， 因为该样本是按照分层随机抽样的方法抽取的，所以估计 校高一年级全体学生身高的平均数为. 【小问3详解】 略 18. 如图，在四面体 中， ，从顶点 作平面 的垂线，垂足 恰好落在 的中线 上. （1）如果 ，直线 与平面 所成的角为，求直线 与平面 所成角的大小； （2）证明：平面 平面 【答案】（1） （2）由 ， ， ， 平面 ,故 平面 ， 而 平面 ，则平面 平面 【解析】 【分析】利用几何法找到线面成角，利用线面垂直证明面面垂直. 【小问1详解】 连接 ，如图. 由题可知， 平面 ，平面 ,则 ， 且 即为直线 与平面 所成角， 即.由 ， 为 边的中线， 可得 .而 ，可得，. 而 即为直线 与平面 所成角，且 , 则，可得直线 与平面 所成角为. 【小问2详解】 略 19. 已知. （1）若 ，求函数的单调区间. （2）若在上存在零点，求实数 的最大值. 【答案】（1） 单调增区间为，单调减区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用导数研究函数的单调区间即可； （2）问题化为与在上有交点，应用导数研究 的单调性并求出值域，即可得范围. 【小问1详解】 由题设，则， 当或，即在上单调递增， 当，即在上单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为； 【小问2详解】 在上，令， 所以在上有解， 即与在上有交点， 由且， 所以，， 所以 在上单调递增，在上单调递减， 当 或，有，且， 所以，故最大的 为. 20. 如图，在平面直角坐标系中， 为原点，已知抛物线的焦点为 ，点 的坐标为. （1）若点 在 上，且，求点 的坐标； （2）若 是 上的任意一点，求的最小值； （3）过点 的动直线与抛物线 交于 、 两点，过点 、 分别作 的切线，切线交点为 ，求证：点 的轨迹是一条直线. 【答案】（1）或； （2）； （3）证明：由题设，直线 的斜率一定存在，设，， 而 ，则过 的切线斜率为，对应切线为，即， 同理过 的切线为，即， 联立，可得，整理得， 由题意，则，， 联立，得，且， 所以 ，则，， 显然点 在直线，即上，得证. 【解析】 【分析】（1）令，应用两点距离公式求参数值，即可得点的坐标； （2）若 垂直抛物线 的准线于 ，结合抛物线的定义得，数形结合确定其最小值； （3）设，，应用导数几何意义求过的切线，进而得到，，联立直线 与抛物线并应用韦达定理得，，即可证. 【小问1详解】 由题设，令，则，即， 所以，故或； 【小问2详解】 若 垂直抛物线 的准线于 ，由抛物线的定义知， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 又抛物线 的准线时，最小为， 所以的最小值为； 【小问3详解】 略 21. 图1为转角过道的地面平面示意图.该过道由两条直道连接形成转角，由水平平坦的地面与垂直于地面的墙面共同围成，两端延伸至足够远处，且高度充足.其中， 、 构成地面上过道的一侧边界， ；地面上过道的另一侧边界，则分别与 、 平行，且交于点 .过道两侧平行墙面之间的距离均为3米. （1）如图2，在地面有一圆，该圆与 、 均相切，且过点 .求此圆的半径； （2）如图3，有一根长度为 米的无粗细木棒 紧贴地面，端点 沿 移动，另一端点 沿 移动.当木棒 触碰到点 时， （弧度），求 关于 的函数关系及 的最小值； （3）如图4，某长方体家具的底面为长方形 ，其宽为1米，长为10米（因过道高度足够，无需考虑家具高度）.现将底面 紧贴地面移动，判断该家具能否顺利通过此转角过道，并说明理由. 【答案】（1） （2）， （3）不能通过，理由如下： 设底面长方形顶点 、 分别在边界 、 上移动， 设 ，延长 交 于 ，交 于 ， 则， 由， 设， 若家具可以通过转角，则对于 ， ， 但 ，所以家具不能通过该转角. 【解析】 【分析】（1）连接 ，设圆心为 ，过 作 ， ，由几何性质建立半径 的方程，解方程可得结果； （2）过点 作 ，交过道另一侧边界于点 ，过点 作 ，交过道另一侧于点 ，由图形关系可得 与 的函数关系，并利用导数和函数的对称性求得 的最小值； （3）设 ，延长 交 于 ，交 于 ，由 ，得到 的表达式，验证 可得结论. 【小问1详解】 连接 ，设圆心为 ，过 作 ， ， 由 ， ， ，可得 ， 从而，， 所以，解得. 【小问2详解】 如图，过点 作 ，交过道另一侧边界于点 ，过点 作 ，交过道另一侧于点 ， 则，， 所以， 令 ， ， 当 时， ， ， 所以 ， 所以 ，当且仅当时取等号，故在 上严格单调递减， 并且 ，所以关于对称， 所以 ，即时， 的最小值为12米. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高三年级第一次质量调研 数学试卷 考生注意： 1. 本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2. 作答前，考生在答题纸正面填写姓名、学校、班级，粘贴考生本人条形码. 3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在草稿纸、试卷上作答一律不得分. 4. 用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，，则 _____. 2. 已知直线 经过点、，则 的倾斜角为 _____. 3. 已知复数（ 为虚数单位），则_____. 4. 双曲线的离心率为____________. 5. 已知空间向量，，，且，则 _____. 6. 在的二项展开式中，各项系数的和是_____. 7. 圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为 ，这个圆锥的侧面积是__________． 8. 两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是______. 9. 已知数列满足，且，则 _____. 10. 已知向量，，， 为直线上的一个动点，当取最小值时，向量的坐标为_____. 11. 已知，且，则实数 的取值范围是_____. 12. 、、、、是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的，和中至少有一个大于，则满足要求的排列的总数为_____. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 如果，那么下列不等式中成立的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 14. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数 15. 若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 16. 数列的前 项和为，且对任意正整数 ，总存在正整数 ，使得，则下列命题中正确的是（ ） A. 对任意正整数 ，总存在正整数 ，使得 B. 数列一定是等差数列 C. 存在公比为正整数的等比数列满足条件 D. 对任意正整数 ，总存在正整数 、 ，使得 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. A校抽取66名高一年级学生测量身高，因某种原因原始数据遗失.已知该样本是按照分层随机抽样的方法抽取的，其中男生34名，身高平均数为173cm；女生32名，身高平均数为161cm.该66名学生身高的方差为60，其频率分布直方图如下： （1）求该66名学生中身高在（单位：cm）内的人数； （2）试用已知数据估计A校高一年级全体学生身高的平均数；（结果精确到0.1cm） （3）若一组数据落在（是平均数， 是标准差）内的频率不小于92%，则称这组数据满足“常态”.试判断这66个身高数据是否满足“常态”，并说明理由. 18. 如图，在四面体 中， ，从顶点 作平面 的垂线，垂足 恰好落在 的中线 上. （1）如果 ，直线 与平面 所成的角为，求直线 与平面 所成角的大小； （2）证明：平面 平面 19. 已知. （1）若 ，求函数的单调区间. （2）若在上存在零点，求实数 的最大值. 20. 如图，在平面直角坐标系中， 为原点，已知抛物线的焦点为 ，点 的坐标为. （1）若点 在 上，且，求点 的坐标； （2）若 是 上的任意一点，求的最小值； （3）过点 的动直线与抛物线 交于 、 两点，过点 、 分别作 的切线，切线交点为 ，求证：点 的轨迹是一条直线. 21. 图1为转角过道的地面平面示意图.该过道由两条直道连接形成转角，由水平平坦的地面与垂直于地面的墙面共同围成，两端延伸至足够远处，且高度充足.其中， 、 构成地面上过道的一侧边界， ；地面上过道的另一侧边界，则分别与 、 平行，且交于点 .过道两侧平行墙面之间的距离均为3米. （1）如图2，在地面有一圆，该圆与 、 均相切，且过点 .求此圆的半径； （2）如图3，有一根长度为 米的无粗细木棒 紧贴地面，端点 沿 移动，另一端点 沿 移动.当木棒 触碰到点 时， （弧度），求 关于 的函数关系及 的最小值； （3）如图4，某长方体家具的底面为长方形 ，其宽为1米，长为10米（因过道高度足够，无需考虑家具高度）.现将底面 紧贴地面移动，判断该家具能否顺利通过此转角过道，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $