精品解析：广西壮族自治区柳州市成都七中网校联考 2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025~2026学年度（上）半期学业监测 八年级数学 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 实数16的算术平方根是（ ） A. 256 B. 4 C. D. 2. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（ ） A. 6，8，10 B. 5，12，11 C. 7，8，9 D. 2，3，5 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各对数是二元一次方程的解的是（） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 函数y＝中自变量x的取值范围是_____． 10. 比较大小：___5（选填“”、“ ”、“ ” ）． 11. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，且点到轴的距离为3，到轴的距离为2，则点的坐标为__________． 12. 若点与都在直线上，则与的大小关系为__________． 13. 如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线交于点，若，则的长为_______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：． （2）解二元一次方程组：． 15. 已知的立方根是3，的算术平方根是2，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 16. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． （1）作出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标； （2）求的面积． 17. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边有两个取水点，村庄修建了道路和，其中．由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点在同一条直线上），并修建道路．经测量：百米，百米，百米． （1）判断是否为从村庄到河边的最近道路，并说明理由； （2）求原来的路线的长． 18. 如图1，直线分别与轴，轴交于两点，已知点，． （1）求出点的坐标； （2）经过点的直线将分成面积比为的两部分，求该直线的函数关系式； （3）如图2，直线平移后分别交轴，轴于点，，过点作平行于轴的直线，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，则___________． 20. 若关于的二元一次方程组的解满足方程，则的值为___________． 21. 如图，在矩形中，，是边上一点（不与点重合），连接，将沿直线翻折，点与点重合．若点关于直线的对称点恰好落在边上，连接，则的长为___________． 22. 如图，直线与轴，轴分别交于两点． 第一步：将沿着所在直线进行对称，得到； 第二步：将沿着较长直角边所在直线进行对称，得到； 第三步：将沿着较短直角边，所在直线进行对称，得到； 第四步：将，沿着斜边，所在直线进行对称，得到； …… 按照以上规律，进行对称后，则可得到点的坐标为____________，点的坐标为____________． 23. 如图，在中，．其中分别是 边上的动点，在运动过程中始终保持，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接．已知，且为中点，连接，则周长的最小值为____________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图所示，数轴上点所表示的数为1，点是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，点表示的数记为，点表示的数记为，令． （1）分别求出和的值； （2）求的值； （3）若，求的值． 25. 定义：我们将形如的函数称为一次函数的“伴随函数”，例如：是一次函数的“伴随函数”． （1）如图1，若一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，其中．求此一次函数的“伴随函数”表达式； （2）若（1）中“伴随函数”的图象交轴于点，取线段中点，过点作直线轴，在直线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标并说明理由； （3）在线段上取一点，使得的值最小．将点向右平移一个单位长度得到点，连接，在直线上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标并说明理由． 26. 已知，是等腰直角三角形，其中，是边上一点． （1）如图1，若，且满足，求的长度； （2）如图2，为延长线上一点，连接，过点作于点，点作于点，当点为中点时，连接，若，求的长（用含的式子表示）； （3）如图3，当点为中点时，连接并延长至点，使得．是以为直角顶点的等腰直角三角形，将绕点旋转，已知，当为直角三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度（上）半期学业监测 八年级数学 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 实数16的算术平方根是（ ） A. 256 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根是指非负实数的非负平方根求解即可． 【详解】解：实数16的算术平方根是，即， 故选：B． 2. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数、算术平方根等知识点，掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键． 根据算术平方根和无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是有理数，不符合题意； B．是分数，是有理数，不符合题意； C．是开方开不尽的数，是无理数，符合题意； D．是有限小数，是有理数，不符合题意． 故选：C． 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（ ） A. 6，8，10 B. 5，12，11 C. 7，8，9 D. 2，3，5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】A．，是勾股数； B．，不是勾股数； C．，不是勾股数； D． ，不是勾股数； 故选：A． 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含完全平方因数），直接判断各选项即可． 【详解】解：A． ，不是最简二次根式，不符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C． 是最简二次根式，符合题意； D． ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，合并同类项，逐项计算，进而求解即可． 【详解】A．，原计算错误，不符合题意； B．，计算正确，符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．与不是同类项，无法计算，不符合题意； 故选：B． 6. 下列各对数是二元一次方程的解的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解．熟练掌握二元一次方程的解的定义，是解题的关键．根据二元一次方程解的定义，将各选项代入方程检验即可． 【详解】对于每个选项，计算的值： A：， ∵， ∴满足方程． B：， ∵， ∴不满足． C：， ∵， ∴不满足． D：， ∵， ∴不满足． ∴只有选项A的一对数是方程的解． 故选：A． 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，牢记“关于x轴对称，横不变纵变反”是解题关键．根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，直接计算即可． 【详解】解：∵点关于x轴对称， ∴横坐标不变，为；纵坐标变为相反数，为． ∴对称点的坐标为． 故选：D． 8. 若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，一次函数的图象，一次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 先根据题意得出，进而可得出结论． 【详解】解：正比例函数经过第二、四象限， ， ，， 函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 函数y＝中自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≥ 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可列不等式求解． 【详解】根据题意得：3x﹣2≥0，解得：x． 故答案为x． 【点睛】本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 10. 比较大小：___5（选填“”、“ ”、“ ” ）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解． 【详解】解：∵，， 而24＜25， ∴＜5． 故答案为：＜． 【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题． 11. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，且点到轴的距离为3，到轴的距离为2，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握点坐标的特征是解题关键．先判断出点的横坐标为正数，纵坐标为负数，再根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，据此解答即可得． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点在第四象限， ∴点的横坐标为正数，纵坐标为负数， ∵点到轴的距离为3，到轴的距离为2， ∴点的横坐标为2，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 12. 若点与都在直线上，则与的大小关系为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，当一次函数，时，y随着x的增大而减小；直线，，比较两点横坐标的大小，即可得出与的大小关系. 【详解】解：∵直线，， ∴y随着x的增大而减小， ∵， ∴. 故答案为：. 13. 如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线交于点，若，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线、角平分的性质和等腰直角三角形的性质，过点D作，垂足为E，则为等腰直角三角形，求得，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到即可． 【详解】解：过点D作，垂足为E， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 由题意得，平分，且，， ∴， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：． （2）解二元一次方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组，掌握二次根式混合运算法则和加减消元法是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则即可求解； （2）根据解二元一次方程组的方法即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 15. 已知的立方根是3，的算术平方根是2，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义、代数式求值等知识点，熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义，无理数的估算分别求得的值，然后求解即可； （2）由（1）可知，再代入求值，再根据平方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵的立方根是3，的算术平方根是2，是的整数部分且， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴的平方根为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． （1）作出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）即为所求； （2）7 【解析】 【分析】本题考查的是作图—轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （2）利用长方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 17. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边有两个取水点，村庄修建了道路和，其中．由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点在同一条直线上），并修建道路．经测量：百米，百米，百米． （1）判断是否为从村庄到河边的最近道路，并说明理由； （2）求原来的路线的长． 【答案】（1） 解：是，理由如下： ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是从村庄到河边的最近道路； （2）原来的路线的长为百米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练中午知识点是解题的关键． （1）先由勾股定理证明，再根据点到直线的距离最短求解即可； （2），继而表示出，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴，即百米， 所以，原来的路线的长为百米． 18. 如图1，直线分别与轴，轴交于两点，已知点，． （1）求出点的坐标； （2）经过点的直线将分成面积比为的两部分，求该直线的函数关系式； （3）如图2，直线平移后分别交轴，轴于点，，过点作平行于轴的直线，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）分别令和即可求出点的坐标； （2）首先求出，，当直线与交于点E时，分两种情况讨论：和，分别求解即可； （3）首先由平移设直线的解析式为，表示出，，然后分情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 ∵直线分别与轴，轴交于两点， ∴当时， ∴ 当时，，解得 ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， 设经过点的直线的表达式为 ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 如图所示，当直线与交于点E时， 设 ∵经过点的直线将分成面积比为的两部分， ∴当时， ∴，即 ∴ ∴ ∴将代入得， 解得 ∴； 当时， ∴，即 ∴ ∴ ∴将代入得， 解得 ∴； ∵， ∵ ∴经过点的直线不能和相交 综上所述，经过点的直线的函数关系式为或； 【小问3详解】 ∵直线的解析式为 ∴由平移得，设直线的解析式为 ∴当时， ∴ 当时，，解得 ∴ ①当点是直角顶点时，， 当点在原点上方时，如图4所示， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴，即 解得 ∴ ∴ ∴； 当点在原点下方时，如图5所示， 同理可证， ∴，即 解得 ∴ ∴ ∴； 当P是直角顶点时， 当点在原点上方时，过点P作轴于点H，如图6 同理可证， ∴， ∴； 当点在原点下方时，过点P作轴于点H，如图7 同理可证， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和三角形面积公式等知识，解题的关键是正确分类讨论． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、代数式求值等知识点，掌握几个非负数的和为零，则每个非负数都为零是解题的关键． 先根据非负数的性质求得a、b、c的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴． 故答案为3． 20. 若关于的二元一次方程组的解满足方程，则的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组得解，掌握加减消元法是关键． 先解二元一次方程组，用含k的代数式表示x和y，再代入方程求解k的值． 【详解】解：， 得，， ∴， 得，， ∴， 代入得，， 解得，， 故答案为：1． 21. 如图，在矩形中，，是边上一点（不与点重合），连接，将沿直线翻折，点与点重合．若点关于直线的对称点恰好落在边上，连接，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理．当点F恰好落在边上时，先求出，可得，设，则，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：当点F恰好落在边上时，由折叠及对称的性质可得， 由矩形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得，即， 故答案为：． 22. 如图，直线与轴，轴分别交于两点． 第一步：将沿着所在直线进行对称，得到； 第二步：将沿着较长直角边所在直线进行对称，得到； 第三步：将沿着较短直角边，所在直线进行对称，得到； 第四步：将，沿着斜边，所在直线进行对称，得到； …… 按照以上规律，进行对称后，则可得到点的坐标为____________，点的坐标为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，点坐标规律的探究，掌握相关知识并找出点的坐标规律是解题的关键． 先求得，轴，得到点的坐标为，同理得到前几个点的坐标，找到规律，根据规律求解即可． 【详解】解：对于， 当时，，当时，， ， ， 由题意得， 是等边三角形，， ，即轴， 点的坐标为，同理，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 综上可知，当为偶数时，点的坐标为， 点的坐标为， 当时， ， 点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：，． 23. 如图，在中，．其中分别是 边上的动点，在运动过程中始终保持，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接．已知，且为中点，连接，则周长的最小值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，轴对称，勾股定理，熟练掌握“一线三等角”和“将军饮马”模型是解题的关键．根据题目中给出的和，且顶点在同一条直线上，作辅助线构造，通过角度转化找出动点E与成60度角的射线上移动，再通过轴对称发现当三点共线时，的周长最小，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，在线段上取一点H，使得，连接， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 结合题意可知动点E在与成60度角的射线上移动， 如图，作点G关于直线对称的点P，连接，延长，过点P作的垂线，交于点Q， 由轴对称可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 由勾股定理得， 根据图形可知， ∴当C、E、P三点共线时，值最小，此时，同时，的周长最小，为， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图所示，数轴上点所表示的数为1，点是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，点表示的数记为，点表示的数记为，令． （1）分别求出和的值； （2）求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）39 （3）7 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，完全平方公式的运用，分母有理化，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）利用网格的性质，勾股定理求出，再结合数轴得出结果即可； （2）根据完全平方公式进行化简求值即可； （3）先利用分母有理化求出t的值，化简得到，再整体代入求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵点A表示的数为1， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 定义：我们将形如的函数称为一次函数的“伴随函数”，例如：是一次函数的“伴随函数”． （1）如图1，若一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，其中．求此一次函数的“伴随函数”表达式； （2）若（1）中“伴随函数”的图象交轴于点，取线段中点，过点作直线轴，在直线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标并说明理由； （3）在线段上取一点，使得的值最小．将点向右平移一个单位长度得到点，连接，在直线上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标并说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 （3）存在，或或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题进行分类讨论是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求出一次函数表达式，再写出其“伴随函数”的表达式即可； （2）设直线l交x轴于点H，交于点K，根据中点坐标公式求出点N的坐标，证明后，根据的性质求出一个坐标，再根据轴对称的性质求另一种情况即可； （3）在x轴下方作，交y轴于点F，作于点T，连接，当A、P、T共线时，的最小值为的长，可得的最小值为的长，利用直角三角形的性质结合勾股定理可求得点P的坐标为，求出直线的解析式为，可得，分两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为， ∴此一次函数的“伴随函数”表达式为； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 设直线l交x轴于点H，交于点K， 令，则， ∴，即， ∵，取线段中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 作点M关于x轴的对称点，如图， 此时，， ∴， ∴； 综上，点M坐标为或； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 在x轴下方作，交y轴于点F，作于点T，连接， ∴，即， 当A、P、T共线时，的最小值为的长， ∵， ∴的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵将点向右平移一个单位长度得到点， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴， ∵， ∴， 当即时， ∴，解得， ∴， ∴点Q的坐标为或； 当即时， ∴，解得或（舍）， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或或． 26. 已知，是等腰直角三角形，其中，是边上一点． （1）如图1，若，且满足，求的长度； （2）如图2，为延长线上一点，连接，过点作于点，点作于点，当点为中点时，连接，若，求的长（用含的式子表示）； （3）如图3，当点为中点时，连接并延长至点，使得．是以为直角顶点的等腰直角三角形，将绕点旋转，已知，当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或或或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质与判定，勾股定理，30度角直角三角形的性质，二次根式的混合运算等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想解决问题． （1）过点C作，垂足为E，根据等腰直角三角形的性质得出长，再根据含30度角的直角三角形的性质求出长，最后根据求解即可； （2）延长，交于点H，分别证明，及是等腰直角三角形，进而求解即可； （3）分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：过点C作，垂足为E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长，交于点H， ∵于点，于点，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 解：∵，D为的中点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，作，垂足为I， 当点M在上方时，如图， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点M在下方时，如图， 同理可得， ∴， ∴， ∴； 当时，作，垂足为I，作，垂足为E， 当点M在上方时，如图，作的垂直平分线，交于点G，取的中点J，连接， ∴， ∴同理，是等腰直角三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得，即， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∴； 当点M在下方时，如图，作于点E，作的垂直平分线，交于点G， 同理，， ∴， ∴， ∴； 当， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 综上，的值为或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $