24.7向量的线性运算（基础篇）练习2025-2026学年沪教版（上海）数学九年级第一学期

24.7向量的线性运算 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 向量线性运算的定义：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算（或线性组合）。例如（其中、为实数）就是向量、的线性运算结果。 线性运算的运算顺序：在进行向量的线性运算时，先进行数乘运算，再进行加减运算，运算律遵循加法交换律、结合律以及数乘的结合律和分配律，与实数的四则运算顺序类似。 型 习 练 题 一、单选题 1．已知，下列判断正确的是（   ） A．与的方向相同 B． C．与不平行 D． 【答案】A 【分析】本题考查了向量的定义：既有大小，又有方向的量叫作向量．根据向量数乘的定义， 表示 与 平行且方向相同（因标量3为正），同时大小关系为 ．据此判断各选项． 【详解】解：∵ ，且 ，∴ 与 方向相同，故选项A正确； ∵ ，∴ （假设 ），故选项B错误； ∵ ，∴ 与 平行，故选项C错误； ∵ （除非 ），故选项D错误， 故选：A． 2．已知，则下列判断错误的是（    ） A． B． C．与的方向相反 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查向量的线性运算，熟练掌握向量的线性运算是解题的关键；因此此题可根据向量的线性运算进行排除选项即可． 【详解】解：∵， 选项A：与 是标量倍数关系， ∴，正确； 选项B：，正确； 选项C：当时，与方向相反；但当时，零向量无方向， ∴方向相反的说法错误； 选项D：，正确； 故选C． 3．已知、是非零向量，如果，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查向量的线性计算，根据题意和向量的线性计算方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 4．下列说法中正确的是（   ） A．如果或，那么 B．如果与均是单位向量，那么 C．若、为非零实数，为非零向量，则． D． 【答案】C 【分析】本题考查向量的基本性质，包括数乘向量的分配律、单位向量的定义等．需根据初中向量知识判断各选项的正确性． 【详解】解：∵选项A： 中的“0”为标量，而左边为向量，等式不成立，故A错误； ∵ 选项B：单位向量模长相等但方向不一定相同，故B错误； ∵ 选项C：数乘向量满足分配律，即 恒成立，故C正确； ∵ 选项D：左边为方向的单位向量，但右边 未定义为其方向单位向量，故D错误． 故选C 5．已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了向量的性质,长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】解：A、是与同向的单位向量，但题干中的单位向量方向不确定，不一定与同向，故错误； B、符合向量的长度及方向，正确； C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误； D、等式左边是与同向的单位向量，右边是与同向的单位向量，由于和的方向不一定相同，故等式不一定成立，故错误． 故选：B． 6．若，且与方向相反，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的模与方向关系是解题的关键．根据平面向量的线性表示方法求解即可． 【详解】解：，且与方向相反， ， 故选：C． 二、填空题 7．如图，点E、F分别是平行四边形的边、的中点，连接，如果，，那么用、的线性组合表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查向量的线性运算及平行四边形的性质、三角形中位线，熟练掌握向量的线性运算及平行四边形的性质、三角形中位线是解题的关键；由题意易得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E、F分别是平行四边形的边、的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为． 8．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了向量的运算． 根据向量的数乘和加减法运算法则，先进行分配律运算，再合并同类向量． 【详解】 故答案为：． 9．已知是线段的中点，设，那么 （用向量表示） 【答案】 【分析】本题考查向量方向、向量加法法则及线段中点性质，解题关键是正确判断向量之间的方向和长度关系． 由C是中点，与同向且得，再结合向量加法可得结果． 【详解】解：∵C是中点， ∴  ，   又． ∴． 故答案为：． 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查向量的线性运算，需要运用分配律和合并同类向量的方法进行简化． 【详解】解： ， ； 故答案为． 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查向量的线性运算，需运用向量的数乘和加法法则，通过分配律展开后合并同类项即可 【详解】解： 故答案为： 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查向量的线性运算，掌握向量的数乘和加法运算法则是解题的关键．先通过乘法分配律去括号，再合并即可． 【详解】解： ． 故答案为 ． 13．已知，若， ，则 （用含向量和向量的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形向量关系．根据三角形向量关系，向量等于向量与向量的和的相反向量，即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 14．如图，已知中，，，，． (1)求线段AE的长； (2)设，．请写出向量关于、的分解式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面向量，相似三角形的性质与判定；解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意得，得出，即即可求解． （2）由题意得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，， ， 由（1）得， ∴， ． 15．如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量） 【答案】；见解析 【分析】此题考查了平面向量的运算．注意去括号时的符号变化，注意画图时的三角形法则的应用．直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．利用三角形法则即可画出所求向量． 【详解】解： ， 如图，即为所求作的向量． 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.7向量的线性运算 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 向量线性运算的定义：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算（或线性组合）。例如（其中、为实数）就是向量、的线性运算结果。 线性运算的运算顺序：在进行向量的线性运算时，先进行数乘运算，再进行加减运算，运算律遵循加法交换律、结合律以及数乘的结合律和分配律，与实数的四则运算顺序类似。 型 习 练 题 一、单选题 1．已知，下列判断正确的是（   ） A．与的方向相同 B． C．与不平行 D． 2．已知，则下列判断错误的是（    ） A． B． C．与的方向相反 D． 3．已知、是非零向量，如果，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法中正确的是（   ） A．如果或，那么 B．如果与均是单位向量，那么 C．若、为非零实数，为非零向量，则． D． 5．已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若，且与方向相反，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，点E、F分别是平行四边形的边、的中点，连接，如果，，那么用、的线性组合表示为 ． 8．计算： ． 9．已知是线段的中点，设，那么 （用向量表示） 10．计算： ． 11．计算： ． 12．计算： ． 13．已知，若， ，则 （用含向量和向量的代数式表示） 三、解答题 14．如图，已知中，，，，． (1)求线段AE的长； (2)设，．请写出向量关于、的分解式． 15．如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量） 学科网（北京）股份有限公司 $