专题24.10 平面向量的线性运算（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题24.10 平面向量的线性运算 教学目标 1. 理解向量的数乘； 2. 掌握向量的线性运算； 3. 会用向量的线性组合表示向量。 教学重难点 1.重点 （1）向量的数乘及其表示、运算； （2）单位向量、平行向量及其在向量表示中的应用； （3）平面向量的线性运算及其几何应用。 2.难点 （1）概念辨析； （2）平面向量的分解式； （3）平面向量的几何应用。 知识点1 实数与向量相乘 1. 实数与向量相乘的意义： 一般地，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 要点： 设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；-P也就是将的长度进行放缩，但方向相反. 2．向量数乘的定义 一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： （1）如果时，则： ①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向； （2）如果时，则：，的方向任意. 实数与向量相乘，叫做向量的数乘. 要点： （1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算； （4）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面； （5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3. 实数与向量的相乘的运算律： 设为实数，则： （1）（结合律）； （2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）； （3） （向量的数乘对于向量加法的分配律） 【即学即练】 1． 2．设n为正整数，为非零向量，那么下列说法不正确的是（　　） A．n表示n个相乘 B．-n表示n个-相加 C．n与是平行向量 D．-n与n互为相反向量 3．如果向量、、满足关系式，那么 ．（用向量、表示） 知识点2 平行向量定理 1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点： 任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，. 2.平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使. 要点： （1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定. （2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立. （3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行. （4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使. （5）A、B、C三点的共线若存在实数λ，使 . 【即学即练】 1．已知与单位向量的方向相反，且长度为4，那么表示为 ． 2．已知：是单位向量，且，若（是一个实数），则 3．若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（　　） A．||＝2 B．||＝4 C．＝4 D．＝ 知识点3 向量的线性运算 1．向量的线性运算定义： 向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点： （1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．向量的分解： 平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得. 要点： （1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底. 一组基底中，必不含有零向量． (2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解. (3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同． 3．用向量方法解决平面几何问题： （1）利用已知向量表示未知向量 用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． （2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 【即学即练】 1．作图题： （1）已知向量、，求作向． （2）已知两个不平行的向量，，求作向量． 2．如图，在中，点D是线段上的点，且，若，，那么 ．（用、的线性组合表示） 3．如图，在中，点G为的重心，连接并延长交于点D，过点G作交于点E，如果，那么用向量表示向量 ．    题型01 作图理解向量的数乘 【典例1】．已知非零向量，求作、、． 【变式1】．已知非零向量，求作，．    题型02 向量数乘的运算律 【典例1】．计算：     ； ；      ． 【变式1】．化简： ． 【变式2】．计算： ． 题型03 解向量数乘有关的方程 【典例1】．已知关系式，那么向量 ．（用，表示） 【变式1】．已知向量、、满足关系式，那么用向量、表示向量 ． 【变式2】．已知向量满足关系式，那么可用向量表示向量＝ ． 题型04 含单位向量的向量表示问题 【典例1】．已知向量与单位向量方向相反，且，那么 ．（用向量的式子表示） 【变式1】．已知与单位向量方向相反，且长度为5，那么 ．（用含向量式子表示） 【变式2】．若向量与单位向量的方向相反，且，则 （用表示） 【变式3】．如果向量与单位向量的方向相反，且，那么用向量表示向量为 ． 题型05 概念综合辨析Ⅰ（向量平行） 【典例1】．已知非零向量、和，下列条件中不能判定的是（    ） A．， B．， C． D． 【变式1】．已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知非零向量，下列条件中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．已知，下列说法中不正确的是（    ） A．与方向相反 B． C． D． 题型06 概念综合辨析Ⅱ 【典例1】．下列命题中正确的是（    ） A．若都是单位向量，则 B．若是相等向量，则它们的始点、终点都相同 C．若是相反向量，则 D．与是平行向量 【变式1】．已知、为非零向量，下列判断错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果为单位向量，且，那么 【变式2】．下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果和都是单位向量，那么 C． D．如果，那么 【变式3】．下列说法：①如果（是实数），那么；②若，，则；③单位向量都相等；④一个向量与零相乘，乘积为零；其中正确的是 ． 【变式4】．下列命题中，错误的是（    ） A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果（为实数），那么 D．如果或，那么 题型07 向量的概念或表示难点辨析 【典例1】．已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 题型08 向量数乘在几何平行问题中应用 【典例1】．如图，分别是的边延长线上的点，，，如果，那么向量 （用向量表示）． 【变式1】．已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么 ．（用含的式子表示） 题型09 作图—平面向量的线性运算 【典例1】．已知：如图，两个不平行的向量和，先化简，再求作：（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量） 【变式1】．如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量．）    题型10 平面向量的线性运算 【典例1】．如图，已知平行四边形，对角线与相交于点O．设，，试用、表示下列向量：    ，，，，，． 【变式1】．如图，在中，点是边的中点，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】．已知：如图，在中，是边的中点，与对角线相交于点．如果，，那么 （用含、的式子表示）． 【变式3】．在菱形中，，，那么 ． 题型11 平面向量有关的分向量或分解式 【典例1】．如图，在梯形中，，交于点O，，，． (1)填空：_________，_________（结果用表示）； (2)画出在方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【变式1】．如图，在△ABC中，点D在边上，且．如果，，那么关于、的分解式为 ． 【变式2】．如图，在梯形中，，且，过点作，分别交于点，若． (1)用表示和； (2)求作在方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 题型12 重心的性质在平面向量线性运算的应用 【典例1】．如图，点是的重心，连接，如果，，那么 ． 【变式1】．如图，已知中，中线、相交于点G，设，，那么向量用向量、表示为 ．    【变式2】．如图，已知为的重心，过点作的平行线交边和于点、，设、．用（为实数）的形式表示向量____________． 题型13 相似三角形在平面向量线性运算的应用 【典例1】．如图，在中，点E为中点，点D在边上，，，． (1)求的长； (2)设，用向量、表示向量，即______． 【变式1】．如图，与相交于点E，，点F在的延长线上，连接，如果平分，，． (1)求的长； (2)设，，用含、的式子表示． 一、单选题 1．下列判断错误的是（     ）． A． B．如果（为非零向量），那么 C．设为单位向量，那么 D．如果，那么或 2．下列关于向量的说法中，不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则或 3．矩形的对角线与相交于点，如果，，那么（ ） A． B． C． D． 4．如图，已知平行四边形ABCD中，，E为中点，求（    ） A． B． C． D． 5．已知非零向量和单位向量，那么下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知点D、E分别在的边、的延长线上，，，设，那么用向量表示为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．计算： ． 8．如果向量、、满足，那么 （用向量、表示）． 9．长度为的倍，且与是平行向量的向量是 ． 10．已知向量与单位向量的方向相反，||=3，那么向量用单位向量表示为 ． 11．如图，已知在中，点D是边AC上一点，且．设，，那么向量 ．（用的形式表示，其中x、y为实数） 12．如图，已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC．DE：BC＝2：3，设，试用向量表示向量，＝ ． 13．如图，正六边形，连接，如果，那么 ．    14．如图，在梯形中，，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AB、CD的中点，，设，那么 ．（用含向量的式子表示） 三、解答题 15．已知、．    (1)化简：． (2)求作，使． 16．如图，在中，点D在边上，，E是的中点． (1)求证：； (2)设，，用向量、表示向量． 17．如图，已知中，点、分别在边、上，，． (1)如果，求的长； (2)设，，用、表示． 18．如图，已知在中，点分别在边上，且，过点作交于点．    (1)求证：； (2)若，，，请用、表示、（直接写出答案）． 19．已知：如图，是的中线，点是重心，点、分别在边和上，四边形是平行四边形． (1)求证：； (2)设，，用向量，表示 ． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24.10 平面向量的线性运算 教学目标 1. 理解向量的数乘； 2. 掌握向量的线性运算； 3. 会用向量的线性组合表示向量。 教学重难点 1.重点 （1）向量的数乘及其表示、运算； （2）单位向量、平行向量及其在向量表示中的应用； （3）平面向量的线性运算及其几何应用。 2.难点 （1）概念辨析； （2）平面向量的分解式； （3）平面向量的几何应用。 知识点1 实数与向量相乘 1. 实数与向量相乘的意义： 一般地，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 要点： 设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；-P也就是将的长度进行放缩，但方向相反. 2．向量数乘的定义 一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： （1）如果时，则： ①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向； （2）如果时，则：，的方向任意. 实数与向量相乘，叫做向量的数乘. 要点： （1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算； （4）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面； （5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3. 实数与向量的相乘的运算律： 设为实数，则： （1）（结合律）； （2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）； （3） （向量的数乘对于向量加法的分配律） 【即学即练】 1． 【答案】 【分析】根据向量运算的法则先去括号，然后合并即可得出答案. 【详解】， 故答案为. 【点睛】本题考查向量的运算，熟练掌握去括号法则是解题关键. 2．设n为正整数，为非零向量，那么下列说法不正确的是（　　） A．n表示n个相乘 B．-n表示n个-相加 C．n与是平行向量 D．-n与n互为相反向量 【答案】A 【分析】根据单位向量、平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案． 【详解】根据向量的性质和意义，可知：A、n表示n个相加，错误； B、-n表示n个-相加，正确； C、n与是平行向量，正确； D、﹣n与n互为相反向量，正确； 故选A. 3．如果向量、、满足关系式，那么 ．（用向量、表示） 【答案】/ 【分析】此题考查的是平面向量，转化为关于的方程求解是解题的关键．把看成关于的方程即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点2 平行向量定理 1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点： 任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，. 2.平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使. 要点： （1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定. （2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立. （3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行. （4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使. （5）A、B、C三点的共线若存在实数λ，使 . 【即学即练】 1．已知与单位向量的方向相反，且长度为4，那么表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键． 根据向量的表示方法，可直接进行解答． 【详解】解：∵的长度为，向量是单位长度， ∴， ∵与单位向量的方向相反， ∴． 故答案为： ． 2．已知：是单位向量，且，若（是一个实数），则 【答案】/ 【分析】本题主要考查了线性向量，掌握向量的线性运算成为解题的关键． 根据向量的线性运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：． 3．若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（　　） A．||＝2 B．||＝4 C．＝4 D．＝ 【答案】C 【分析】根据已知条件可以得到：＝﹣4，由此对选项进行判断． 【详解】A、由＝2推知||＝2，故本选项不符合题意． B、由＝-4推知||＝4，故本选项不符合题意． C、依题意得：＝﹣4，故本选项符合题意． D、依题意得：＝-，故本选项不符合题意． 故选C． 【点睛】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向． 知识点3 向量的线性运算 1．向量的线性运算定义： 向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点： （1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．向量的分解： 平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得. 要点： （1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底. 一组基底中，必不含有零向量． (2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解. (3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同． 3．用向量方法解决平面几何问题： （1）利用已知向量表示未知向量 用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． （2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 【即学即练】 1．作图题： （1）已知向量、，求作向． （2）已知两个不平行的向量，，求作向量． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）先将向量化简，然后根据三角形法则即可求出答案； （2）先将向量化简，然后根据三角形法则即可求出答案. 【详解】解：（1）原式=， 如图，，，，则即为所求； （2）原式=， =， 如图，，，，则即为所求. 【点睛】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算及三角形法则解题的关键． 2．如图，在中，点D是线段上的点，且，若，，那么 ．（用、的线性组合表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了平面向量，三角形法则，解题的关键是掌握三角形法则． 利用三角形法则求解即可． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，点G为的重心，连接并延长交于点D，过点G作交于点E，如果，那么用向量表示向量 ．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形的重心、向量知识、相似三角形的判定和性质，根据题意得D是的中点，，即可求得和，结合平行得到，有，则即可． 【详解】解：∵点G为的重心， ∴D是的中点，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 题型01 作图理解向量的数乘 【典例1】．已知非零向量，求作、、． 【答案】见解析 【分析】与方向相同，长度是的3倍，据此作图即可； 与方向相反，长度是的2倍，据此作图即可； 与方向相反，长度是的倍，据此作图即可. 【详解】解：（1） （2） （3） 【点睛】本题考查了向量的作图，明确各向量与已知向量的方向及长度关系是作图的关键. 【变式1】．已知非零向量，求作，．    【答案】见解析 【分析】作向量，向量即可． 【详解】解：如图，向量和向量即为所作． 本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握向量基础知识，属于中考常考题型． 题型02 向量数乘的运算律 【典例1】．计算：     ； ；      ． 【答案】 【分析】（1）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可； （2）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可； （3）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 【点睛】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则，掌握运算定律是解决问题的关键． 【变式1】．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与向量相乘，根据其运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式2】．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了向量计算，根据实数与向量的运算进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 题型03 解向量数乘有关的方程 【典例1】．已知关系式，那么向量 ．（用，表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键．根据平面向量的运算法则求解即可． 【详解】∵ ∴ ． 故答案为：． 【变式1】．已知向量、、满足关系式，那么用向量、表示向量 ． 【答案】 【分析】利用解一元一次方程的解法步骤求解即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 化系数为1，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查平面向量的简单计算，借助一元一次方程的解法步骤求解是解答的关键． 【变式2】．已知向量满足关系式，那么可用向量表示向量＝ ． 【答案】 【分析】根据向量运算法则计算即可． 【详解】解：， +4＝4 ＝． 故答案是：． 【点睛】考查了平面向量，实数的运算定律同样应用于平面向量的计算． 题型04 含单位向量的向量表示问题 【典例1】．已知向量与单位向量方向相反，且，那么 ．（用向量的式子表示） 【答案】 【分析】根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案. 【详解】∵向量与单位向量方向相反，且 故答案为： 【点睛】此题考查了平面向量的知识. 此题难度不大，注意掌握单位向量与相反向量的定义. 【变式1】．已知与单位向量方向相反，且长度为5，那么 ．（用含向量式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，涉及相反向量，向量的模．根据长度为5，得到，再根据与单位向量方向相反即可求解． 【详解】解：∵与单位向量方向相反，且长度为5， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】．若向量与单位向量的方向相反，且，则 （用表示） 【答案】 【分析】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．根据向量的表示方法可直接进行解答． 【详解】解：∵向量与单位向量的方向相反，且， ∴． 故答案为：． 【变式3】．如果向量与单位向量的方向相反，且，那么用向量表示向量为 ． 【答案】 【分析】根据向量的表示方法可直接得出答案． 【详解】解：，向量是单位向量， ， 向量与单位向量的方向相反， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平面向量有关知识，难度较小，解题的关键是掌握单位向量的定义． 题型05 概念综合辨析Ⅰ（向量平行） 【典例1】．已知非零向量、和，下列条件中不能判定的是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】根据向量平行向量的定义“方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量”进行逐一判定即可． 【详解】A选项，由于，所以、的方向相反，由于，故、的方向相同，所以，不符题意； B选项，因为，所以和的方向相同，由于，所以、、的方向相同，所以，不符题意； C选项，因为，所以、的方向相反，故的，不符题意； D选项，因为，所以、的方向不能确定，故不能判定其位置关系，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查的是向量平行向量的定义，理解向量的定义是解决问题的关键． 【变式1】．已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面向量，等式的性质等知识点，熟练掌握平面向量的基本知识是解题的关键． 根据平行向量的性质即可解决问题． 【详解】解：，，且和的方向相反， ， ， 故选：． 【变式2】．已知非零向量，下列条件中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，解题关键是对向量性质的理解．根据向量的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、只能判定的模的数量关系，不能判定，符合题意； B、，能判定，不符合题意； C、，根据平行的传递性得到，不符合题意； D、，得到，平行的传递性得到，不符合题意； 故选A． 【变式3】．已知，下列说法中不正确的是（    ） A．与方向相反 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了向量的定义：既有大小，又有方向的量叫做向量，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴与方向相反，故正确； B．∵，∴或与共线，故不正确； C．∵，∴，故正确； D．∵，∴，故正确； 故选：B． 题型06 概念综合辨析Ⅱ 【典例1】．下列命题中正确的是（    ） A．若都是单位向量，则 B．若是相等向量，则它们的始点、终点都相同 C．若是相反向量，则 D．与是平行向量 【答案】D 【分析】本题考查平面向量，根据单位向量，平行向量、相等向量的定义即可判断． 【详解】解：A、单位向量不一定是相等向量，故A不符合题意． B. 若是相等向量，则它们的始点、终点可以不相同 C. 若是相反向量，方向相反，但长度不一定相等则不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； D. 与是平行向量，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】．已知、为非零向量，下列判断错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果为单位向量，且，那么 【答案】C 【分析】本题考查了平面向量，平面向量既有大小，又有方向．根据相等向量，平行向量，模，单位向量的定义一一判断即可． 【详解】解：A、如果，那么两向量是共线向量，则，故本选项正确，不符合题意； B、如果，那么两向量为共线向量，则，，故本选项正确，不符合题意； C、，只能说明两个向量的模相等，无法判定方向，故本选项错误，符合题意； D、根据向量模的定义知，，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】．下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果和都是单位向量，那么 C． D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，平面向量，解答本题的关键是掌握平面向量的基本概念和性质． 由平面向量的基本概念和性质，即可判断． 【详解】解：A、两向量的模相等，方向不一定相同，故A选项不符合题意； B、两单位向量的方向可能不同，故B选项不符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、如果，那么，正确，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式3】．下列说法：①如果（是实数），那么；②若，，则；③单位向量都相等；④一个向量与零相乘，乘积为零；其中正确的是 ． 【答案】① 【分析】本题考查了平行向量，单位向量，零向量等知识．熟练掌握平行向量，单位向量，零向量是解题的关键． 根据平行向量，单位向量，零向量的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，如果（是实数），那么，正确，故①符合要求； 当时，若，，则错误，故②不符合要求； 单位向量方向不同，单位向量不都相等，故③不符合要求； 一个向量与零相乘，乘积为零向量，故④不符合要求； 故答案为：①． 【变式4】．下列命题中，错误的是（    ） A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果（为实数），那么 D．如果或，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质， 根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A．如果或，那么，正确，故本选项不符合题意． B．如果、为实数，那么，正确，故本选项不符合题意． C． 如果（为实数），那么，错误，时，不成立，故本选项符合题意． D． 如果或，那么，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 题型07 向量的概念或表示难点辨析 【典例1】．已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． B、，计算正确，故本选项符合题意． C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】．已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了向量的有关概念，解题的关键是熟练掌握向量的有关概念．根据向量相等的基本概念，对选项逐个判断即可，向量相等是指向量的模相等而且方向相同． 【详解】解：A、与的方向不一定相同，无法推出，等式错误，不符合题意； B、，即，等式正确，符合题意； C、与的方向不一定相同，无法推出，等式错误，不符合题意； D、与的方向不一定相同，无法推出，等式错误，不符合题意； 故选：B． 题型08 向量数乘在几何平行问题中应用 【典例1】．如图，分别是的边延长线上的点，，，如果，那么向量 （用向量表示）． 【答案】 【分析】由，可得且相似比为1：2，故DE：BC=1：2，又因为和方向相同，故． 【详解】∵ ∴， ∴ 又∵ 故和相似比为1：2 则DE：BC=1：2 故 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质和向量．两角分别相等的两个三角形相似．数乘向量：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长． 【变式1】．已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，梯形中位线定理；由梯形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，点、分别是边、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 题型09 作图—平面向量的线性运算 【典例1】．已知：如图，两个不平行的向量和，先化简，再求作：（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量） 【答案】，作图见解析 【分析】本题考查了向量的减法运算，作和向量；掌握向量的运算法则是关键．按照整式加减的方法去括号，再合并即可；在平面内任取点O，作，利用三角形法则作，则． 【详解】解：原式 ． 作图如下：在平面内任取点O，作，作，则． 【变式1】．如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量．）    【答案】见解析 【分析】根据平面向量的加减运算法则解答；由平面向量的几何意义作图． 【详解】解： ． 作图：    ∴如图，为所求向量． 【点睛】本题主要考查了平面向量，注意：三角形法则在解题过程中的应用． 题型10 平面向量的线性运算 【典例1】．如图，已知平行四边形，对角线与相交于点O．设，，试用、表示下列向量：    ，，，，，． 【答案】 【分析】利用平行四边形对边平行且相等,对角线互相平分的性质来求解． 【详解】解： ；；；；；． 【点睛】本题主要考查向量的加减运算法则，熟练掌握向量的加减运算法则是解题关键． 【变式1】．如图，在中，点是边的中点，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了向量的线性运算，根据、、即可求解． 【详解】解：∵，点是边的中点， ∴ ∴ 故选：D 【变式2】．已知：如图，在中，是边的中点，与对角线相交于点．如果，，那么 （用含、的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系． 先求出的值，再根据求，即可得出答案． 【详解】解：在中，是边的中点， ， 又∵，， ， 故答案为：． 【变式3】．在菱形中，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，向量的有关计算，连接和，由菱形的性质得出，，，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，进而求出最后根据即可得出答案． 【详解】解：如下图：连接和， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 题型11 平面向量有关的分向量或分解式 【典例1】．如图，在梯形中，，交于点O，，，． (1)填空：_________，_________（结果用表示）； (2)画出在方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，平面向量，相似三角形的判定和性质，梯形等知识，解题的关键是掌握三角形法则解决问题． （1）利用三角形法则求出，，再利用相似三角形的性质求出，； （2）利用平行四边形法则画出图形． 【详解】（1）解：，， ，，， ， ， ， ， ，， 故答案为：，； （2）如图，过点C作交的延长线于点G，，即为所求． 【变式1】．如图，在△ABC中，点D在边上，且．如果，，那么关于、的分解式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，找到向量关系是解题的关键. 首先由向量的知识，得到和的值，即可得到的值. 【详解】解：∵在中，点D在边上，且． ∴， 又∵ ∴ 故答案为 【变式2】．如图，在梯形中，，且，过点作，分别交于点，若． (1)用表示和； (2)求作在方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）利用向量的表示方法， 由即可求出，利用平行线分线段成比例，求出，即可求出； （2）过点作交于点，交于点，则、即为所求． 【详解】（1）解： 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （2）解：如图所示，过点作交于点，交于点， 在、方向上的分向量如图所示，、即为所求； 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平面向量的线性计算，掌握平面向量的线性计算解题的关键． 题型12 重心的性质在平面向量线性运算的应用 【典例1】．如图，点是的重心，连接，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量与三角形重心的知识，掌握三角形法则与三角形重心的性质是解题的关键．延长交于点，由，，根据三角形法则，即可求得，再由点D是△ABC的重心，根据重心的性质，即可求出结果． 【详解】解：延长交于点， ∴， ∵点是的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， ∵点是的重心， ∴， 故答案为：． 【变式1】．如图，已知中，中线、相交于点G，设，，那么向量用向量、表示为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形法则等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据重心的性质可得，，利用三角形法则求出，进而可得结果． 【详解】解：∵中线、交于点G， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：． 【变式2】．如图，已知为的重心，过点作的平行线交边和于点、，设、．用（为实数）的形式表示向量____________． 【答案】 【分析】由于G是三角形的重心，根据平行线分线段成比例定理与三角形重心的性质，可得到，再根据平面向量加减运算可求得答案． 【详解】解：连接并延长交于点M， ∵ ∴ ∵点G是的重心， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故填：． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质和平面向量基本定理，掌握三角形重心的定义，熟练运用平面向量加减运算是解答本题的关键． 题型13 相似三角形在平面向量线性运算的应用 【典例1】．如图，在中，点E为中点，点D在边上，，，． (1)求的长； (2)设，用向量、表示向量，即______． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）运用，，证明，再把，代入，进行计算，即可作答． （2）求出，，再利用三角形法则求解． 本题考查相似三角形的判定与性质，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∵点E为中点，，． ∴ 则 解得． （2）解：由（1）得， ， ， ∵，， ，， 是的中点， ， ∴， 则． 故答案为：． 【变式1】．如图，与相交于点E，，点F在的延长线上，连接，如果平分，，． (1)求的长； (2)设，，用含、的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，三角形的相似判定和性质，角的平分线的定义，等腰三角形的判定，解答即可． （2）利用相似，和向量和计算即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的相似判定和性质，角的平分线的定义，等腰三角形的判定，向量的基本计算，熟练掌握三角形相似的判定和性质，向量的计算是解题的关键． 一、单选题 1．下列判断错误的是（     ）． A． B．如果（为非零向量），那么 C．设为单位向量，那么 D．如果，那么或 【答案】D 【分析】根据零向量，平行向量，单位向量等知识进行判定即可求解． 【详解】解：、与任何向量的乘积都是零向量，故原选项正确，不符合题意； 、方向相同或相反的非零向量叫平行向量，因为（为非零向量），所以，故原选项正确，不符合题意； 、单位向量的模为，所以设为单位向量，那么，故原选项正确，不符合题意； 、两个向量的模相等，则两个向量的长度相等，当方向不确定，故原选项错误，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要向量的概念及计算，理解并掌握零向量，平行向量，单位向量等知识是解题的关键． 2．下列关于向量的说法中，不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】本题考查了向量与实数的运算，向量既有方向性又有大小，解决本题的关键是根据向量的性质进行运算法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A选项：数与向量的乘积的模等于这个数与向量的模的乘积，，故A选项正确； B选项：数与向量和的乘积等于该数与各个向量乘积的和，，故B选项正确； C选项：，是与的方向相同或相反，，故C选项正确； D选项：向量既有大小，又有方向，若且，则或，故D选项错误． 故选： D． 3．矩形的对角线与相交于点，如果，，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，再根据即可得到结果． 【详解】解：如图所示： ∵ ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面向量，矩形的性质，本题侧重考查知识点的理解能力． 4．如图，已知平行四边形ABCD中，，E为中点，求（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的特点及加减法则即可求解． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，E为中点， ∴ 故选A． 【点睛】此题主要考查向量的表示，解题的关键是熟知平行四边形的特点及向量的加减法则． 5．已知非零向量和单位向量，那么下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的模只有大小，没有方向，向量既有长度也有方向对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A. 向量的模只有大小，没有方向，则不成立，故该选项不正确，不符合题意；     B. 单位向量与向量方向不一定相同，则，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. 单位向量与向量方向不一定相同，则，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了向量的运算，向量的问题一定要注意从方向与模两方面考虑． 6．已知点D、E分别在的边、的延长线上，，，设，那么用向量表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，从而推出，则，由，可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，向量的计算，证明，从而推出是解题的关键． 二、填空题 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了向量的线性运算；根据向量的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：. 8．如果向量、、满足，那么 （用向量、表示）． 【答案】 【分析】根据向量的线性法则解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了向量的计算法则，熟练掌握向量的线性计算法则是解题的关键． 9．长度为的倍，且与是平行向量的向量是 ． 【答案】或/或 【分析】根据向量的方向相同或相反，即可求解． 【详解】解：长度为的倍，且与是平行向量的向量是或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了平面向量，注意要分类讨论：平行向量的方向有相同方向和相反方向两种情况． 10．已知向量与单位向量的方向相反，||=3，那么向量用单位向量表示为 ． 【答案】-3 【分析】由向量与单位向量的方向相反，且长度为3，根据向量的定义，即可求得答案． 【详解】解：∵向量与单位向量的方向相反，||=3， ∴=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向． 11．如图，已知在中，点D是边AC上一点，且．设，，那么向量 ．（用的形式表示，其中x、y为实数） 【答案】 【分析】先求解，，再根据可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面向量的线性运算，熟练的掌握运算法则是解本题的关键． 12．如图，已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC．DE：BC＝2：3，设，试用向量表示向量，＝ ． 【答案】； 【分析】首先根据题意画出图形，然后由DE∥BC，可得△ADE∽△ACB，又由DE：BC=2：3，根据相似三角形的对应边成比例，可求得DA=CD，即可表示，继而求得答案． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB， ∴DA：CA=DE：BC=2：3， ∵CD=DA+CA， ∴DA=CD， ∵=， ∴=， ∴=； 故答案为：． 【点睛】本题考查向量的运算，熟练掌握相似三角形的性质和向量的运算是解决本题的关键． 13．如图，正六边形，连接，如果，那么 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了向量的线性计算，平行线的性质与判定，正多边形内角和定理，等边对等角等等，连接，先由正六边形的性质可得，，进而求出，则可证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：．    14．如图，在梯形中，，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AB、CD的中点，，设，那么 ．（用含向量的式子表示） 【答案】 【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例可求出BC，根据中位线的性质即可求出EF． 【详解】∵，AC、BD相交于点O， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点E、F分别是梯形腰AB、CD的中点， ∴EF是梯形的中位线， ∴，且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形和中位线的性质，熟练掌握知识是解题关键． 三、解答题 15．已知、．    (1)化简：． (2)求作，使． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了实数与向量相乘，向量的线性运算．熟练掌握向量的运算是解题的关键． （1）先计算实数与向量相乘，然后进行线性运算即可； （2）根据，作图即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， 如图，即为所求；    16．如图，在中，点D在边上，，E是的中点． (1)求证：； (2)设，，用向量、表示向量． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题目条件，证明，即可求证； （2）利用平面向量线性运算的三角形法则即可求解． 【详解】（1）∵E是的中点， ∴， ∴, 又, ∴， ∴ （2）∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平面向量的线性运算，解题关键是找出相似三角形． 17．如图，已知中，点、分别在边、上，，． (1)如果，求的长； (2)设，，用、表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明得到，再根据已知条件推出，得到，由此即可得到答案； （2）先求出，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，向量的线性运算，证明推出是解题的关键． 18．如图，已知在中，点分别在边上，且，过点作交于点．    (1)求证：； (2)若，，，请用、表示、（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，，即可得证； （2）根据得出，由（1）得出，求得，然后根据三角形法则即可得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，线性向量的计算，掌握以上知识是解题的关键． 19．已知：如图，是的中线，点是重心，点、分别在边和上，四边形是平行四边形． (1)求证：； (2)设，，用向量，表示 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由三角形重心的性质得到，由平行四边形的性质得到，，推出，得到，而，得到 ，由，推出 得到，因此，而，推出，得到，即可证明， （）由平面向量的运算法则，即可求解； 本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量， 关键是证明，掌握平面向量的运算法则． 【详解】（1）∵是的重心， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵G是的重心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， （2）∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$