期末总复习讲义 06 一元一次方程的应用 2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上册

该初中数学复习讲义通过分类梳理9大核心知识点构建一元一次方程应用的知识体系，用框架图呈现知识点递进关系，结合线段示意图列表法等梳理数量关系，通过表格归纳配套工程等问题的基本公式，突出寻找等量关系的重难点。 讲义亮点在于真实情境例题设计，如冬奥会奖牌问题培养数学眼光，通过画线段图列表分析提升几何直观和抽象能力，例题与变式训练结合满足分层需求，助力教师精准教学，提升学生模型意识和运算能力。

六年级数学期末总复习讲义 第6课 一元一次方程的应用 知识点梳理 知识点01——如何寻找数量关系式 知识点02——两个未知量怎么设未知数 知识点03——配套问题 知识点04——工程问题 知识点05——销售问题 知识点06——积分问题 知识点07——分段计费问题 知识点08——古代问题（盈余问题） 知识点09——最优方案选择问题 知识点01 如何寻找数量关系式 1. 根据题目中的关键词句列数量关系式； 如：“比什么多多少”，“几倍少几个”“一共……”等等. 2.画线段示意图帮助寻找数量关系式； 3.列表帮助寻找数量关系； 4.根据实际问题蕴藏的关系确定数量关系式； 如：行程问题中“路程=速度×时间”，销售问题中的“销售总额=单间×销售量”等等. 例题讲解 例1在2022年北京冬奥会上，中国队共获得了15枚奖牌，比1980年至2022年历届冬奥会获得的奖牌总数的多4枚.问：从1980年至2022年中国队获得的冬奥会奖牌总数是多少枚? 【分析】 本题根据文中“ ”可确定数量量关系是：“1980-2022年获得的奖牌总数的 +4 =2022年奖牌枚数15”. 【详解】设从1980年至2022年中国队获得的冬奥会奖牌总数是x枚. 根据题意，可以列出方程 x+4=15. 整理，得 x=11. 解得 x=77. 答：从1980年至2022年中国队获得的冬奥会奖牌总数是77枚. 例2沪宁高速公路全长约270 km,一辆轿车和一辆客车分别从上海和南京两地出发，沿沪宁高速公路相向而行.轿车先行54km后，客车再出发.轿车的速度为100 km/h,客车的速度为80 km/h.问：客车出发后多久两车相遇? 【分析】 根据题意，画出示意图. （2）通过线段示意图可以发现 “轿车行驶的第一段路程+轿车行驶的第二段路程十客车行驶的路程=两地相距路程”。 （“各部分量的和=总量”是一个基本的数量关系.） 设客车出发后xh两车相遇，这里的xh也是轿车第二段路程行驶的时间，那么轿车行驶的第二段路程可以用100x km表示，客车行驶的路程可以用80x km表示. 【详解】设客车出发后xh两车相遇.根据题意，可以列出方程54+100x+80x=270. 整理，得180x=216. 解得x=1.2. 答：客车出发后1.2h两车相遇. 例3用计算机处理一批数据，甲单独做需18h完成，乙单独做需12h完成.现在先由甲单独做8h,剩下的部分由甲、乙合做完成.甲、乙两人合做了多长时间? 【分析】这个问题中的等量关系： 全部工作量=甲单独做的工作量+甲、乙合做的工作量. 全部工作量虽然未知，但可以把它看作一个整体，记作1,那么甲单独做1h完成全部工作量的 ，乙单独做1h完成全部工作量的 ，设甲、乙两人合做了xh,可以列出表格分析数量关系： 【详解】设甲乙合做x小时， 由题意得 ×8+( + )x=1 解之，得 x=4 答：甲乙合做了4h. 知识点02 两个未知量怎么设未知数 遇到两个未知量通常设其中一个为x，另一个用含x的代数式来表示. 例题讲解 例4学校购置了一批电脑用于拓展课的教学，分配给参加拓展课的学生每组一台电脑.如果每6名学生为一组，那么恰好空出5台电脑；如果每4名学生为一组，那么电脑恰好分完.问：学校一共购置了多少台电脑?参加拓展课的学生有多少名? 【分析】 本题有两个未知量，参加拓展课的学生数和电脑数都是未知量， 因此可以设学校一共购置了x台电脑，根据每6名学生为一组的情况，参加拓展课的学生总数可以表示为6(x-5)名.根据每4名学生为一组的情况，参加拓展课的学生总数也可表示为4x名. 根据“表示同一个量的两个不同的式子相等”,这一基本的数量关系于是可得方程 . 【详解】 设学校一共购置了x台电脑， 由题意得： 6(x-5)=4x. 解这个方程， 解得x=15. 参加拓展课的学生有 4x=4×15=60(名). 答：学校一共购置了15台电脑，参加拓展课的学生有60名. 变式：（24-25六年级下·上海嘉定·期末）某商店进了两种不同的文具套装，其中类套装的进价为每套50元，类套装的进价为每套40元，总共进了40套，共花费1850元．问商店进了A类和B类文具套装各多少套？ 【答案】A类的文具套装25套，B类的文具套装15套 【分析】本题考查了一元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程组是解题的关键．设商店进了50元的文具套装x套，40元的文具套装套，根据题意得出，求解即可得出答案． 【详解】解：设商店进了A类的文具套装x套，B类的文具套装套， 由题意得：， 解得：， 答：A类的文具套装25套，B类的文具套装15套． 知识点03 配套问题 基本数量关系：配套问题中物品之间的倍数关系就是列方程所依据的数量关系. 常见形式：A种配件总数量×b=B种配件总数量×a. 例题讲解 例5（25-26七年级上·河南开封·期中）(请必须用方程做答) 某工厂生产某种罐头食品的外包装铁质罐头盒． (1)1个罐头盒由1个盒身和2个盒底构成，用1张铁皮可做35个盒身或60个盒底．现有260张铁皮，用多少张做盒身，多少张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套？ (2)该工厂接到生产一批罐头盒的任务，由甲车间单独完成需要15天，由乙车间单独完成需要30天，现在甲乙两个车间合作4天后，剩下的任务由甲车间单独完成，那么甲车间还需要多少天才能完成？ 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． （1）设用张做盒身，则用张做盒底，根据题意列出方程求解即可； （2）根据1个罐头盒由1个盒身和2个盒底构成找出等量关系——盒底数量=盒身数量×2，设未知数，列出方程，即可解答. 【详解】（1）解：设用张做盒身，则用张做盒底． 根据题意，得， 解得， 所以． 故用120张做盒身，140张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套． （2）解：甲车间还需要y天才能完成． 根据题意得：， 解得． 甲车间还需要9天才能完成． 变式1.（24-25六年级上·上海实验学校·期末）已知工厂共54人，每人每天可加工杯身80个或杯盖100个，已知一个杯身配一个杯盖，为了使每天生产的杯身与杯盖正好配套，需要安排 人生产杯身． 【答案】30 【分析】设需要安排x人生产杯身，则安排人生产杯盖，根据一个杯身配一个杯盖，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出需要安排30人生产杯身． 【详解】解：设需要安排x人生产杯身，则安排人生产杯盖， 依题意得：， 解得：． 故答案为：30． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 变式2：（24-25六年级上·上海崇明·期末）某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时能生产螺栓12个或螺帽18个，一个螺栓配两个螺帽，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 【答案】应分配12人生产螺栓，则16人生产螺帽 【分析】设应分配x人生产螺栓，则（28-x）人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套，根据数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：设应分配x人生产螺栓，则（28-x）人生产螺帽，由题意，得： ， 解得：x=12， ∴生产螺帽的有：28-12=16(人)． 答：应分配12人生产螺栓，则16人生产螺帽． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，配套问题的运用，解答时根据配套问题的数量关系建立方程是关键． 知识点04 工程问题 1.基本数量关系：工作量=工作效率×工作时间，工作时间==， 2.总工作量常看作整体“1”; 3.常见的等量关系式：工作总量“1”=部分工作量之和； 4.行程问题类同于工程问题：速度=工作效率，路程=工总量 例题讲解 例6 （24-25六年级上·上海杨浦·期末）某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的．已知甲队单独完成这项工程需40天，如果甲、乙两队先合作10天，接着甲队因故停工10天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)完成这项工程总共用了多少天？ (2)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 【答案】(1)30天； (2)分配给甲队万元，分配给乙队万元，理由见解答 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设完成这项工程总共用了x天，则甲队工作了天，乙队工作了x天，利用甲队完成的工程量乙队完成的工程量总工程量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）求出甲、乙两队的工程量，按完成工程的比例来分配即可． 【详解】（1）解∶甲队单独完成这项工程需40天，且甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的． 乙队单独完成这项工程需 (天)． 设完成这项工程总共用了x天，则甲队工作了天，乙队工作了x天， 根据题意得∶， 解得∶． 答∶完成这项工程总共用了30天； （2）分配给甲队万元，分配给乙队万元， 理由如下∶甲队完成的工程量为，乙队完成的工程量为． 该企业为了这项工程一共支付a万元的费用， 按照完成工程量的比例来分配，应该分配给甲队万元，乙队万元． 变式1：（24-25六年级上·上海嘉定·期末）甲、乙两个工程队安装排污管道，甲队单独安装需要4天完成，乙队单独安装需要8天完成．如果甲队先安装1天，剩下的管道由甲、乙两队合作完成，那么还需要几天才能安装完这些管道？设甲、乙两队合作x天完成安装，可列出方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程； 根据题意可得等量关系：甲的工作量+乙的工作量=总工作量，由等量关系可列出方程，解方程即可 【详解】解：根据题意得，， 故答案为： 变式2：（25-26七年级上·全国·课后作业）制造一批零件，按计划10天可以完成它的四分之一．如果工作10天后，工作效率提高了十分之一，那么完成这批零件的，一共需要多少天？ 【答案】30 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先求出计划每天完成的工作量，设一共需要天完成任务，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：∵制造一批零件，按计划10天可以完成它的四分之一， ∴计划每天完成， 设一共需要天完成任务， 由题意可得：， 解得：， ∴完成这批零件的，一共需要天． 知识点05 销售盈亏问题 1. 基本数量关系：利润=销售价-进价（成本），盈利率=×100%，盈利（利润）=成本×盈利率. 2. 打折问题：n折=标价的, 如8折=标价的%. 例题讲解 例7（24-25六年级下·上海闵行·期末）某商店经销一种商品，由于进货价降低了，使得利润率提高了十个百分点，那么这个商店原来经销这种商品所得利润率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设原进价为a元，这种商品原来的利润率为x，根据题意列方程得，，再解方程即可． 【详解】解：设原进价为a元，这种商品原来的利润率为x，根据题意列方程得， ， 解得． 故答案为： 变式1：（24-25六年级下·上海宝山·期末）某商店批进衬衫500件，每件进价为30元，准备加价出售，预计可盈利多少元？当这批衬衫售出后，决定将余下的按八折继续出售，这样，这批衬衫全部售出实际盈利多少元？ 【答案】加价出售，预计可盈利4500元；这批衬衫全部售出实际盈利4110元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先求出每件衬衫的售价为元，设加价出售，预计可盈利x元，依题意列出方程，解此方程求出x即可得出答案；当这批衬衫售出后，还余下件，设这批衬衫全部售出实际盈利y元，依题意列出方程，解此方程求出y即可得出答案； 【详解】解：每件衬衫进价为30元，加价出售， 则每件衬衫的售价为：（元） 设加价出售，预计可盈利x元， 依题意得：， 解得：， 答：加价出售，预计可盈利4500元． 当这批衬衫售出后，还余下（件）， 设这批衬衫全部售出实际盈利y元， 依题意得：， 解得：， 答：这批衬衫全部售出实际盈利4110元． 变式2：（25-26七年级上·全国·课后作业）某品牌电视的进价为1000元，售价为1400元，后由于出现了数字电视，商店准备打折出售，若盈利率为，则商店打几折？ 【答案】商店打了八折 【分析】本题考查了折扣问题． 设商店打了x折，利用销售价减进价等于利润列方程求解即可． 【详解】设商店打了x折， 根据题意得：， 解得：． 答：商店打了八折． 知识点06 积分问题 基本数量关系：胜场得分+平场得分+负场得分=每队的总积分 例题讲解 例8（23-24七年级上·全国·期末）表是某次篮球联赛积分的一部分 球队 比赛现场 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 备注：总积分=胜场积分+负场积分 (1)请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）； (2)某队的胜场总积分能否等于负场总积分的3倍？为什么？ (3)若某队的胜场总积分是负场总积分的n倍，n为正整数，试求n的值． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找准等量关系列出一元一次方程求解即可． （1）根据表格中胜场与负场的次数结合总积分即可求解； （2）设该队胜了m场，则负了场，根据胜场总积分等于负场总积分的3倍，即可得出关于m的一元一次方程解之即可得出m的值，结合m为整数即可得出结论； （3）设该队胜了a场，则负了场，根据胜场总积分等于负场总积分的n倍，结合n为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格中前进球队可知，胜场为10场，负场为4场，总积分为24分， 则有， 同理其他球队也满足，胜场负场总积分， ∴胜一场积2分，负一场积1分； （2）解：不能，理由如下： 设该队胜了m场，则负了场， 若某队的胜场总积分等于负场总积分的3倍， ∴， 解得， ∵m为整数， ∴某队的胜场总积分不能等于负场总积分的3倍； （3）解：设该队胜了a场，则负了场， 根据题意可得，， 解得， 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，分母为零，此时不存在n的值； 综上，n的值为2，5，12或26． 变式1：（25-26九年级上·江苏徐州·月考）在2025年江苏省城市足球联赛(“苏超”)中，13个地级市分别组建代表队，于5月10日正式开赛．比赛分为常规赛和淘汰赛两个阶段：第一阶段为常规赛，13支球队采用单循环赛制，前八名进入淘汰赛；第二阶段采用单回合淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军．那么本次联赛共进行了 场比赛． 【答案】85 【分析】本题主要考查的知识点是常规赛和淘汰赛赛制的比赛场次计算．先计算第一阶段常规赛的比赛场次，再根据第二阶段淘汰赛的比赛场次，最后将两阶段场次相加得到总场次． 【详解】解：设总比赛场次为场 第一阶段∶单循环赛制，每支球队都要与其他球队比赛一场；每支球队需比赛的场次为球队总数减(不与自己比赛)，支球队共比赛场，但每场比赛被重复计算两次，所以需除以得到实际场次． （场） 第二阶段∶淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军， 因此，总场次等于第一阶段循环赛场次加上第二阶段淘汰赛场次， （场）， 故答案为：． 变式2：（24-25七年级下·全国·单元测试）在一次数学竞赛中，共有20道选择题，答对一题得5分，答错一题扣3分，不答得0分．小红有2道题未答，设小红答对x道题． (1)用含x的式子表示小红的得分y； (2)小红的得分能达到95分吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程与一元一次不等式的应用，熟练掌握根据实际问题列方程和不等式的方法是解题的关键． （1）先确定答错的题数，再根据得分规则列出得分的表达式． （2）假设得分能达到95分，列出方程求解，根据需为整数判断是否能达到． 【详解】（1）解：总题数20，2道未答，答对道，答错道． ， ， ； （2）解：假设能达到，， ， ， ， 因为不是整数， 所以不能达到． 知识点07 分段计费问题 1. 基本数量关系：各段费用之和=总费用； 2. 注意事项：每一段的计费标准不同； 3. 常见类型： ①个人所得税按分段累进税制计算； ②用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准； ③出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等. 例题讲解 例9（25-26七年级上·陕西西安·期中）为了鼓励公民节约用水，某市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下： 计费档 户年用水量/ 单价/（元/） 第一档 不超过 第二档 超过但不超过 第三档 超过 (1)某户一年用水量是，则该户这一年的水费是______元； (2)某户一年用水量是：时，则该户这一年的水费是______元（用含的代数式表示）； (3)某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1)380 (2) (3)该户去年一年的用水量是 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）用户一年用水量是在第一档，根据题意计算即可； （2）用户一年用水量是在第二档，根据题意计算即可； （3）某户去年一年的水费是元是在第二档，根据题意计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 （元）． 故答案为：380． （2）由题意，得 ． 故答案为：． （3）当时，， ∴某户去年一年的水费是元是在第二档， ∴， 解得． 答：该户去年一年的用水量是． 变式训练1：（25-26七年级上·河南郑州·月考）为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费．小明家十月份的电费是64.6元，用电多少千瓦时？ 【答案】用电121千瓦时 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，用电100千瓦时，应该付电费元，付电费64.6元，超过52元，说明用电超过了100千瓦时；设用电x千瓦时，不超过100千瓦时部分，电费为52元，超过100千瓦时部分电费为元；根据题意，列方程：，解答即可． 【详解】解：用电100千瓦时，应该付电费元， 付电费64.6元，超过52元，说明用电超过了100千瓦时， 设小明家用电x千瓦时，由于小明家用电超过了100千瓦时，超过100千瓦时部分电费为元；根据题意，列方程为：， 解得：， 答：用电121千瓦时． 变式训练2：（25-26七年级上·江苏泰州·期中）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表，请回答下列问题： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.5元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.5元． (1)若小东乘坐滴滴快车，行车里程为15公里，行车时间为20分钟，则需付车费 元． (2)若小明乘坐滴滴快车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则小明应付车费多少元？（用含、的代数式表示，并化简．） (3)小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9公里与12公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差多少分钟？ 【答案】(1) (2)当时，车费为元；当 时，车费为元 (3)这两辆滴滴快车的行车时间相差 14 分钟 【分析】本题基于滴滴快车的计价规则，计算车费时需要分里程是否超过10公里考虑远途费． （1）根据车费由里程费、时长费、远途费三部分组成进行计算即可； （2）分和两种情况进行讨论用代数式表示并化简即可； （3）设小王行车时间为分，小张行车时间为分，根据他们的所付车费相同，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：（元）， 故答案为； （2）当时，小明应付车费：元 当时，小明应付车费： 元， 答：当时，车费为元；当 时，车费为元． （3）设小王行车时间为分，小张行车时间为分，依题意有 整理得 答：这两辆滴滴快车的行车时间相差分． 知识点08 古代问题 基本数量关系：总数量A+盈余=总数量B-不足 例题讲解 例10（24-25六年级上·上海杨浦·期末）《孙子算经》中记载了一个数学问题，其大意是：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则余两辆空车；若每2人共乘一车，则余9人步行，问：共有多少人，多少辆车？为解决此问题，设共有人，那么可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设共有人，由每3人共乘一车，则余两辆空车可知车辆数为辆，由每2人共乘一车，则余9人步行可知车辆数为辆，据此列出方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 变式训练1：（25-26七年级上·北京·期中）“我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩重闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有个人，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据每人分4个梨，多12个梨可知梨的数量为个，根据每人分6个梨，可知梨的数量为个，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 变式训练2：（25-26七年级上·重庆·期中）《九章算术》中关于“盈不足”问题：“今有人共买物，人出五，盈三；人出四，不足二．问人数几何？”大意是：现有一些人共同买一个物品，若每人出5元，则还剩3元；若每人出4元，则还差2元．若设买这个物品共有个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 根据物品价格不变，分别用两种出钱方式表示物品价格，然后列方程． 【详解】解：设共有个人，根据题意得， ∵每人出5元，盈3元， ∴物品价格为元； ∵每人出4元，不足2元， ∴物品价格为元； ∵物品价格不变， ∴， 故选：A． 知识点09 方案选择问题 用一元一次方程解最优方案问题的一般步骤： ①根据各种方案的数量关系列出代数式； ②若两种方案的数量相等则可列出方程； ③若两种方案数量不等，可通过比较大小进行最优方案的选择. 例题讲解 例11（24-25六年级上·上海松江·期末）某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是： ①套餐：用户先缴8元月租，然后每分钟本地通话费用0.2元； ②套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用0.3元． (1)设一个月内本地通话时间为分钟，这两种套餐用户每月需缴的费用是多少元？（用含的式子表示） (2)一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？ (3)若张阿姨一个月本地通话约120分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？请说明理由． 【答案】(1)套餐每月需缴的费用：（元）；套餐每月需缴的费用：（元） (2)80分钟 (3)选择哪种套餐更合算 【分析】此题主要考查列代数式和求值，解一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出关系式． （1）根据两种通话套餐业务的计费方式表示即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）将分 别代入和求解后比较即可． 【详解】（1）解：套餐每月需缴的费用：（元）， 套餐每月需缴的费用：（元）； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：一个月内本地通话80分钟，两种套餐费用相同； （3）解：当时，套餐每月需缴的费用为：（元）， 当时，B套餐每月需缴的费用为：（元）， ∵， ∴选择哪种套餐更合算． 变式训练1：（23-24六年级上·上海杨浦·期末）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： ①如果一次购物少于200元，则不予优惠； ②如果一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠； ③如果一次购物超过500元，其中500元给予九折优惠，超过500元的部分给予八折优惠；小明两次去该超市购物；分别付款252元和554元，现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他可比小明少付多少元？（请通过计算说明） 【答案】28元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．先根据题意分析清楚小明所付的252元和554元的实际价值是多少，然后再分别代入对应的优惠方案中求得其实际价值后再计算小亮所要购物的实际价值是多少，代入对应优惠方案中即可求解． 【详解】解：∵，， ∴小明付款252元所购的实际价值为元， ∵， ∴可设小明付款554元所购的实际价值设为x元，根据题意得： ， 解得：， ∴小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，实际价值为（元）， 即所付款数为（元）， 元， 答：他可比小明少付28元． 变式训练2：（14-15七年级上·江苏苏州·期末）又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． (1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ (2)你能确定两班各有多少名学生吗？ (3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 【答案】(1)有，可以节约740元钱 (2)1班有58人，2班有45人 (3)购买151张，总票价为5285元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准确等量关系，要注意考虑全面，购票最省钱的办法就是团体购票． （1）最节约的办法就是团体购票，节省的钱团体票价； （2）分有两种情况：若1班和2班人数都在51～100之间；若1班人数是51～100，2班人数是1～50；分别计算，即可求解； （3）先计算出148人的团体票价，再计算出151人的团体票价，即可求解． 【详解】（1）解：有．可以节约（元）． （2）解：设1班有x人，则2班有人，根据题意，有两种情况： 若1班和2班人数都在51～100之间， （不符合题意，舍去）； 若1班人数是51～100，2班是1～50， ， 解得：， 则， 答：1班有58人，2班有45人； （3）解：若3班也去，则三个班团体购票最合理，三个班的总人数有148人，总票价元． 若买151张票，总票价为元， ∵， ∴最合理的方法是购买151张，总票价为5285元． 课后练习 一、单选题 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键． 【详解】解：设绳长为x尺，列方程为， 故选A． 2．（2024·四川广元·二模）元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱，问：梨果多少价几何？”此题的题意是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个．问买梨、果各几个，各付多少钱？设付梨钱文，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程应用题，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．根据题意找到等量关系即可求解． 【详解】解：设付梨钱文，根据题意列出的方程是， 故选：B． 3．（24-25七年级上·广东佛山·期末）商场将某种商品按原价的9折出售，仍可获利10元．已知这种商品的进价为120元，设原价为元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设这种商品的原价是x元，根据售价成本利润列方程求解即可． 【详解】解：设原价为元， 由题意得，， 故选：． 4．（2021·浙江杭州·中考真题）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次，设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可直接列出方程进行排除选项即可． 【详解】解：由题意得： ； 故选D． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 5．（24-25七年级上·陕西安康·期末）某商场购进一批服装，每件服装销售的标价为400元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，打折后每件服装仍能获利．若设该服装每件的进价是x元，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设该服装每件的进价是x元，根据利润售价进价，列出方程即可．解题的关键是根据等量关系列出方程． 【详解】解：设该服装每件的进价是x元，根据题意得： ， 故选：B． 6．（25-26七年级上·广东佛山·开学考试）三人合买一台洗衣机，甲付钱的等于乙付钱的，也等于丙付钱的，已知丙比甲多付了元，这台洗衣机的单价是（   ）元． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题与一元一次方程应用的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 设甲付钱的、乙付钱的、丙付钱的为，根据条件表示出甲、乙、丙各自付的钱，再利用丙比甲多付元求出，最后计算总价，然后即可求解． 【详解】∵ 甲付钱的等于乙付钱的，也等于丙付钱的， ∴ 设（其中、、分别为甲、乙、丙付的钱）， 则，，， ∵ 丙比甲多付元， ∴ ， 即， ， ∴ ， 洗衣机的总价为， 代入， ∴这台洗衣机的总价元； 故选：C． 7．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）有一列数，其中任意三个相邻数的和是，其中，， ，可得x的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】此题考查了解一元一次方程． 由任意三个相邻数之和都是，可知、、、…相等，、、、…相等，、、、…相等，可以得出，，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：由任意三个相邻数之和都是可知： ， ， ， … ， 可以推出：，，， 所以，， 则， 解得：， 故选：A． 8．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期中）如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，2，，4，，6，，8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算出的值为（   ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意是解题关键．这八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．再列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，如图． 因为横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，且这八个数分别为，2，，4，，6，，8， 又因为， 所以横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都为， 所以，，， 所以，，． 所以当时，，此时； 当时，，此时． 综上可知的值为或． 故选A． 二、填空题 9．（23-24六年级上·山东威海·期末）某次数学竞赛共有25道题，做对一道得4分，做错一道或者不做扣2分．某同学得分为88分．设他做对道题，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据得分为88分列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·重庆·开学考试）某城市对煤气费的规定是：用煤气不超过60立方米，每立方米收费0.8元；若超过60立方米，则超出的部分每立方米收费1.2元．已知小明家4月份气费平均每立方米0.88元，则他家4月份应缴气费 元． 【答案】66 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数乘法的应用，理解题意是解题关键．由题意可知，小明家4月份用煤气超过60立方米，设小明家4月份用煤气立方米，根据燃气费的两种计算方式列方程，求出小明家4月份用煤气立方米，即可求解． 【详解】解：因为，小明家4月份气费平均每立方米0.88元， 所以，小明家4月份用煤气超过60立方米， 设小明家4月份用煤气立方米， 则， 解得：，即小明家4月份用煤气立方米， 所以他家4月份应缴气费元， 故答案为：66． 11．（24-25七年级下·全国·假期作业）一条小河经过三镇，两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度为每小时千米，两镇之间有木船摆渡，两地之间的距离为千米，木船在静水中的速度为每小时千米，水流速度为千米每小时．某人从镇上汽船顺流而下到镇，接着乘木船又顺流而下到镇．全程共用小时，那么两镇间的距离是 ． 【答案】千米 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设到地的距离为千米，则地到地的距离为千米，根据路程速度时间列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设到地的距离为千米，则地到地的距离为千米， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以，从地到地的距离为千米， 故答案为：千米． 12．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）一套仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器（刚好用完，无浪费），恰好配成这种仪器 套． 【答案】160 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设用作A部件，则用作B部件，根据一套仪器由1个A部件和3个B部件构成，得到部件的数量是部件的3倍，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设用作A部件，则用作B部件， 由题意，得：， 解得：， ∴， 故恰好配成这种仪器160套； 故答案为：160． 13．（21-22七年级上·全国·课后作业）小明与小美家相距1.8千米．有一天，小明与小美同时从各自家里出发，向对方家走去，小明家的狗和小明一起出发，小狗先跑去和小美相遇，又立刻回头跑向小明，又立刻跑向小美……一直在小明与小美之间跑动．已知小明速度为50米/分，小美速度为40米/分，小明家的狗速度为150米分，则小明与小美相遇时，小狗一共跑了 米． 【答案】3000 【分析】设经过x分钟两人相遇，根据两人的速度之和×时间=小明和小美家的距离，即可得出一元一次方程，解之即可求得两人相遇时间，再利用路程=速度×时间，即可求出小狗跑的距离． 【详解】设经过x分钟两人相遇， 依题意，得：（50+40）x=1800， 解得：x=20， 所以小狗跑的距离为150×20=3000（米） 故答案为：3000． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 14．（12-13七年级下·广东江门·期中）学习情境·阅读理解  阅读下列材料：设，则，则由，即．所以．根据上述提供的方法把r列两个数化成分数 ， ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用．掌握题干中给定的无限循环小数化为分数的方法是解题的关键． 分别根据题中给定方法解答即可． 【详解】解：设，则：， 则由②－①得：， ∴，即； 设，则：， 则由②－①得：， ∴，即． 故答案为：，． 三、解答题 15．（21-22七年级上·全国·课后作业）一个两位数个位上的数是1，十位上的数是x．把1与x对调，新两位数比原两位数小18，x应是哪个方程的解？你能想出x是几吗？ 【答案】方程为： 【分析】根据个位上的数是1，十位上的数是x，再用把个位上的数与十位上的数对调得到的数比原数小18列出方程，解出即可． 【详解】解：根据题意列方程得： 解得：x＝3， 答：x是方程的解，是3． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，此题的关键表示出这个数，据题意列出方程解决问题． 16．（23-24八年级上·河北张家口·期中）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地面：    (1)观察图形，填写下表: 图形 （1） （2） （3） （n） 黑色瓷砖的块数 4 7 黑白两种瓷砖的总块数 15 25 (2)白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由． 【答案】(1)10，35；， (2)能，第503个图形 【分析】（1）结合图形，以及结合第一个图形、第二个图形、第三个图形的黑色瓷砖，黑白两种瓷砖的总块数，得出 第n个图形中需要黑色瓷砖块，黑白两种瓷砖的总块数为块，即可作答； （2）根据白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多2015块列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：依题意， 第一个图形有黑色瓷砖块，黑白两种瓷砖的总块数为块； 第二个图形有黑色瓷砖块，黑白两种瓷砖的总块数为块； 第三个图形有黑色瓷砖块，黑白两种瓷砖的总块数为块； 第n个图形中需要黑色瓷砖块，黑白两种瓷砖的总块数为块； 图形 （1） （2） （3） （n） 黑色瓷砖的块数 4 7 10 黑白两种瓷砖的总块数 15 25 35 （2）解：能，第503个图形，理由如下： 根据题意可得：， 解得：， 答：第503个图形． 17．（22-23七年级上·四川资阳·期中）为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市每户居民用水收费价格表为：价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)若该户居民2月份用水，则应交水费_____元； (2)若该户居民3月份用水，则应交水费_____元； (3)若该户居民4月缴了32元水费，则该户居民4月用水_____； (4)若该户居民5月份用水，则5月份应交多少水费（用含x的式子表示）． 【答案】(1)20 (2)44 (3) (4)或元 【分析】本题主要考查根据实际问题列出代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出不同情况下的代数式是解题关键． （1）根据题意，的用水应该分两部分进行缴费，按照题意分别算出最后相加即可； （2）根据题意，的用水应该分三部分进行缴费，按照题意分别算出最后相加即可； （3）根据题意可得该户居民4月用水超出，设该户居民4月用水，根据题意，列出方程，即可求解； （4）根据题意，分两种情况：按照相应的收费标准列出代数式即可． 【详解】（1）解：该户居民2月份用水，则应交水费∶ 元； 故答案为：20 （2）解：该户居民3月份用水，则应交水费∶ 元； 故答案为：44 （3）解：∵用水，则应交水费∶元元， ∴该户居民4月用水超出， 设该户居民4月用水，根据题意得： ， 解得：， 即该户居民4月用水； 故答案为：； （4）解：该户居民5月份用水， 当时，则5月份应交元； 当时，则5月份应交元； 综上所述，5月份应交水费元或元． 18．（24-25七年级上·广东湛江·期末）列一元一次方程解应用题： 某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？ 【答案】(1)名工人 (2)应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人”进行列式，得，可解得答案； （2）设名工人生产桌子，由“张桌子配把椅子”进行列式，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：设调入名工人， 根据题意得：， 解得：， 答：调入名工人； （2）解：由（1）知，调入名工人后，车间有工人（人）， 设名工人生产桌子，则名工人生产椅子， ∵每天组装的桌椅刚好配套， ∴， 解得：， ∴， 答：应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人． 19．（24-25七年级上·全国·期末）某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 【答案】(1)30天 (2)60天 (3)先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分析题意，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设甲、乙两个工程队一起合作，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设共需y天才能完成此项工程，根据“合作15天后，剩下的部分由乙工程队单独做”列方程解答即可； （3）分别计算甲、乙单独完成所需费用，甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做，求出这种方案的费用，做比较解答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队一起合作天就可以完成此项工程， 则， 解得， 答：甲、乙两个工程队一起合作30天就可以完成此项工程． （2）解：设共需y天才能完成此项工程， 则． 解得． 答：共需60天才能完成此项工程． （3）解：甲完成工程所需费用为（万元）， 乙完成工程所需费用为（万元）． 甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做， 由题意得． 解得． 所需费用为：万元． 答：先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元． 20．（2022七年级上·浙江·专题练习）丹尼斯经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润20元；乙种商品每件进价50元，售价80元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠 (1)甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 ； (2)丹尼斯同时购进甲、乙两种商品共50件，总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“春节”期间，该商场对所有商品进行如下的优患促销活动： 按上述优惠条件，若小丽一次性购买乙种商品实际付款504元，求小丽购买商品的原价是多少？ 【答案】(1)40，60%； (2)购进甲种商品40件； (3)小丽购买商品的原价是560元或640元 【分析】（1）根据进价＝售价利润，利润率＝利润÷进价，列式计算即可； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可； （3）设小丽购买商品的原价是y元，分两种情况讨论，①小丽购买商品的原价超过450元，但不超过600元，②小丽购买商品的原价超过600元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：甲种商品每件进价为； 乙种商品的利润率为， 故答案为：40，60%； （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意得：， 解得：， 答：购进甲种商品40件； （3）解：设小丽购买商品的原价是y元， ①若小丽购买商品的原价超过450元，但不超过600元， 由题意得：，解得：， ②若小丽购买商品的原价超过600元， 由题意得：， 解得：， 答：小丽购买商品的原价是560元或640元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，正确列出一元一次方程． 21．（24-25六年级上·上海闵行·期末）某汽车企业第一季度销售x万辆新能源汽车，第二季度销售的新能源汽车比第一季度的倍少1万辆，第三季度销售的新能源汽车比第一季度的2倍多6万辆． (1)求该汽车企业前三季度一共销售的新能源汽车的数量（用含有x的代数式表示）； (2)如果该汽车企业第三季度比第二季度多销售万辆新能源汽车，求该企业前三季度销售的新能源汽车数量． 【答案】(1)万辆 (2)万辆 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意得出第二、第三季度销售的新能源汽车数量，再将前三季度的数量相加即可； （2）根据第三季度比第二季度多销售万辆新能源汽车，列出方程求出的值，再代入（1）中的代数式即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，第二季度销售的新能源汽车数量为万辆，第三季度销售的新能源汽车数量为万辆， 前三季度一共销售的新能源汽车的数量为万辆． 答：该汽车企业前三季度一共销售的新能源汽车的数量为万辆． （2）解：由题意得，， 解得：， 代入，则， 答：该企业前三季度销售的新能源汽车数量为万辆． 22．（23-24六年级上·上海徐汇·期末）甲、乙、丙三人同时从A城出发去往B城，丙先步行，甲骑车带乙到D处，乙下车向B城步行，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，再带丙到B城，结果三人同时到B城，已知乙、丙的步行速度都为5公里/小时，甲骑车速度为15公里/小时，A、B两城相距120公里，问乙步行了多少公里？ 【答案】40公里 【分析】本题考查了方程的应用，比的应用，理解题意正确列出方程是解题的关键；设甲骑车带乙到D处所行驶的时间为t小时，此时甲乙行驶了公里，则乙应步行的距离为公里，到达B城需要的时间可以求得；由速度关系得丙行驶了公里，甲丙间相距公里，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，由相遇关系得丙行驶的路程为公里，丙一共行驶的路程为公里，剩下的路程为甲丙骑车的路程，可求得此时骑车行驶的时间，利用三人同时到达终点建立方程即可求解． 【详解】解：设甲骑车带乙到D处所行驶的时间为t小时，此时甲乙行驶了公里， 则乙应步行的距离为公里，到达B城需要的时间为小时；由于甲丙的速度比为，t小时丙行驶了公里，甲丙间相距公里，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，由相遇时甲丙路程的比等于速度的比知，甲行驶的路程是丙行驶的路程的3倍，则丙行驶的路程为公里， 所以丙从出发到C点一共行驶的路程为公里，行驶的时间为小时，剩下的路程为甲丙骑车的路程公里，需要的时间为小时； 由于三人同时到达终点B城，则， 解得：， 则乙步行的路程为（公里）； 答：乙步行的路程为40公里． 23．（24-25六年级上·上海普陀·期末）一辆客车和一辆轿车先后沿相同道路从上海出发去南京，客车先行后轿车出发，客车的速度为，轿车的速度为．问：轿车出发多久后追上客车？ 【答案】轿车出发小时后追上客车 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设轿车出发x小时后追上客车，根据客车先行后轿车出发，列出方程求解即可． 【详解】解：设轿车出发x小时后追上客车， 根据题意：， 解得：， 答：轿车出发小时后追上客车． 24．（21-22七年级上·江西宜春·期末）如图1，点P是线段AB或线段AB延长线上的一点，则图中共有3条线段AP、BP、AB，若其中有一条线段的长是另一条线段长的两倍，则点P是线段AB的“倍分点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“倍分点”；（填“是”或“不是”） (2)深入研究：平面内，已知线段AB长为18cm，点P从A点出发，运动的时间为t秒． ①如图2，点P从A点出发，以每秒4cm的速度在线段AB上运动时，求t为何值时，点P是线段AB的“倍分点”？ ②如图2，若点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿射线AB方向运动，同时点Q从B点出发沿射线AB方向以每秒1cm的速度也运动了t秒，请直接写出点P是线段AQ的“倍分点”时t的值． 【答案】(1)是 (2)①或3或；②、秒、3.6秒、18秒、10.8秒、54秒 【分析】（1）根据“倍分点”的含义进行判断即可； （2）①由题意得： 再分三种情况；当时， 当时， 当时， 再列方程求解即可；②当与相遇时，则 再分两种情况讨论：当时， 当时， 再列方程求解即可. 【详解】（1）解：如图，为的中点， 所以 所以是的“倍分点”， 故答案：是； （2）①由题意得： 当时，此时， 解得 当时， 解得： 当时， 解得： 综上：当s或s或s时，点P是线段AB的“倍分点”. ②当与相遇时， 解得： 当时， 当时， 解得： 当时， 解得： 当时， 解得： 当时， 当时， 解得： 当时， 解得： 当时， 解得： 综上：当s或s或s或s或s或s，点P是线段AQ的“倍分点”. 【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差运算，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论，理解新定义的含义是解本题的关键. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级数学期末总复习讲义 第6课 一元一次方程的应用 知识点梳理 知识点01——如何寻找数量关系式 知识点02——两个未知量怎么设未知数 知识点03——配套问题 知识点04——工程问题 知识点05——销售问题 知识点06——积分问题 知识点07——分段计费问题 知识点08——古代问题（盈余问题） 知识点09——最优方案选择问题 知识点01 如何寻找数量关系式 1.根据题目中的关键词句列数量关系式； 如：“比什么多多少”，“几倍少几个”“一共……”等等. 2.画线段示意图帮助寻找数量关系式； 3.列表法寻找数量关系； 4.根据实际问题蕴藏的关系确定数量关系式； 如：行程问题中“路程=速度×时间”，销售问题中的“销售总额=单间×销售量”等等. 例题讲解 例1（24-25六年级上·沪教版·新教材）在2022年北京冬奥会上，中国队共获得了15枚奖牌，比1980年至2022年历届冬奥会获得的奖牌总数的多4枚.问：从1980年至2022年中国队获得的冬奥会奖牌总数是多少枚? 【分析】 本题根据文中“ ”可确定数量量关系是：“1980-2022年获得的奖牌总数的 +4 =2022年奖牌枚数15”. 【详解】设从1980年至2022年中国队获得的冬奥会奖牌总数是x枚. 根据题意，可以列出方程 x+4=15. 整理，得 x=11. 解得 x=77. 答：从1980年至2022年中国队获得的冬奥会奖牌总数是77枚. 例2沪宁高速公路全长约270 km,一辆轿车和一辆客车分别从上海和南京两地出发，沿沪宁高速公路相向而行.轿车先行54km后，客车再出发.轿车的速度为100 km/h,客车的速度为80 km/h.问：客车出发后多久两车相遇? 【分析】 根据题意，画出示意图. （2）通过线段示意图可以发现 “轿车行驶的第一段路程+轿车行驶的第二段路程十客车行驶的路程=两地相距路程”。 （“各部分量的和=总量”是一个基本的数量关系.） 设客车出发后xh两车相遇，这里的xh也是轿车第二段路程行驶的时间，那么轿车行驶的第二段路程可以用100x km表示，客车行驶的路程可以用80x km表示. 【详解】设客车出发后xh两车相遇.根据题意，可以列出方程54+100x+80x=270. 整理，得180x=216. 解得x=1.2. 答：客车出发后1.2h两车相遇. 例3用计算机处理一批数据，甲单独做需18h完成，乙单独做需12h完成.现在先由甲单独做8h,剩下的部分由甲、乙合做完成.甲、乙两人合做了多长时间? 【分析】这个问题中的等量关系： 全部工作量=甲单独做的工作量+甲、乙合做的工作量. 全部工作量虽然未知，但可以把它看作一个整体，记作1,那么甲单独做1h完成全部工作量的 ，乙单独做1h完成全部工作量的 ，设甲、乙两人合做了xh,可以列出表格分析数量关系： 【详解】设甲乙合做x小时， 由题意得 ×8+( + )x=1 解之，得 x=4 答：甲乙合做了4h. 知识点02 两个未知量怎么设未知数 遇到两个未知量通常设其中一个为x，另一个用含x的代数式来表示. 例题讲解 例4学校购置了一批电脑用于拓展课的教学，分配给参加拓展课的学生每组一台电脑.如果每6名学生为一组，那么恰好空出5台电脑；如果每4名学生为一组，那么电脑恰好分完.问：学校一共购置了多少台电脑?参加拓展课的学生有多少名? 【分析】 本题有两个未知量，参加拓展课的学生数和电脑数都是未知量， 因此可以设学校一共购置了x台电脑，根据每6名学生为一组的情况，参加拓展课的学生总数可以表示为6(x-5)名.根据每4名学生为一组的情况，参加拓展课的学生总数也可表示为4x名. 根据“表示同一个量的两个不同的式子相等”,这一基本的数量关系于是可得方程 . 【详解】 设学校一共购置了x台电脑， 由题意得： 6(x-5)=4x. 解这个方程， 解得x=15. 参加拓展课的学生有 4x=4×15=60(名). 答：学校一共购置了15台电脑，参加拓展课的学生有60名. 变式：（24-25六年级下·上海嘉定·期末）某商店进了两种不同的文具套装，其中类套装的进价为每套50元，类套装的进价为每套40元，总共进了40套，共花费1850元．问商店进了A类和B类文具套装各多少套？ 【答案】A类的文具套装25套，B类的文具套装15套 【分析】本题考查了一元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程组是解题的关键．设商店进了50元的文具套装x套，40元的文具套装套，根据题意得出，求解即可得出答案． 【详解】解：设商店进了A类的文具套装x套，B类的文具套装套， 由题意得：， 解得：， 答：A类的文具套装25套，B类的文具套装15套． 知识点03 配套问题 基本数量关系：配套问题中物品之间的倍数关系就是列方程所依据的数量关系. 常见形式：A种配件总数量×b=B种配件总数量×a. 例题讲解 例5（25-26七年级上·河南开封·期中）(请必须用方程做答) 某工厂生产某种罐头食品的外包装铁质罐头盒． (1)1个罐头盒由1个盒身和2个盒底构成，用1张铁皮可做35个盒身或60个盒底．现有260张铁皮，用多少张做盒身，多少张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套？ (2)该工厂接到生产一批罐头盒的任务，由甲车间单独完成需要15天，由乙车间单独完成需要30天，现在甲乙两个车间合作4天后，剩下的任务由甲车间单独完成，那么甲车间还需要多少天才能完成？ 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． （1）设用张做盒身，则用张做盒底，根据题意列出方程求解即可； （2）根据1个罐头盒由1个盒身和2个盒底构成找出等量关系——盒底数量=盒身数量×2，设未知数，列出方程，即可解答. 【详解】（1）解：设用张做盒身，则用张做盒底． 根据题意，得， 解得， 所以． 故用120张做盒身，140张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套． （2）解：甲车间还需要y天才能完成． 根据题意得：， 解得． 甲车间还需要9天才能完成． 变式1.（24-25六年级上·上海实验学校·期末）已知工厂共54人，每人每天可加工杯身80个或杯盖100个，已知一个杯身配一个杯盖，为了使每天生产的杯身与杯盖正好配套，需要安排 人生产杯身． 变式2：（24-25六年级上·上海崇明·期末）某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时能生产螺栓12个或螺帽18个，一个螺栓配两个螺帽，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 知识点04 工程问题 1.基本数量关系：工作量=工作效率×工作时间，工作时间==， 2.总工作量常看作整体“1”; 3.常见的等量关系式：工作总量“1”=部分工作量之和； 4.行程问题类同于工程问题：速度=工作效率，路程=工总量 例题讲解 例6 （24-25六年级上·上海杨浦·期末）某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的．已知甲队单独完成这项工程需40天，如果甲、乙两队先合作10天，接着甲队因故停工10天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)完成这项工程总共用了多少天？ (2)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 【答案】(1)30天； (2)分配给甲队万元，分配给乙队万元，理由见解答 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设完成这项工程总共用了x天，则甲队工作了天，乙队工作了x天，利用甲队完成的工程量乙队完成的工程量总工程量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）求出甲、乙两队的工程量，按完成工程的比例来分配即可． 【详解】（1）解∶甲队单独完成这项工程需40天，且甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的． 乙队单独完成这项工程需 (天)． 设完成这项工程总共用了x天，则甲队工作了天，乙队工作了x天， 根据题意得∶， 解得∶． 答∶完成这项工程总共用了30天； （2）分配给甲队万元，分配给乙队万元， 理由如下∶甲队完成的工程量为，乙队完成的工程量为． 该企业为了这项工程一共支付a万元的费用， 按照完成工程量的比例来分配，应该分配给甲队万元，乙队万元． 变式1：（24-25六年级上·上海嘉定·期末）甲、乙两个工程队安装排污管道，甲队单独安装需要4天完成，乙队单独安装需要8天完成．如果甲队先安装1天，剩下的管道由甲、乙两队合作完成，那么还需要几天才能安装完这些管道？设甲、乙两队合作x天完成安装，可列出方程： ． 变式2：（25-26七年级上·全国·课后作业）制造一批零件，按计划10天可以完成它的四分之一．如果工作10天后，工作效率提高了十分之一，那么完成这批零件的，一共需要多少天？ 知识点05 销售盈亏问题 1. 基本数量关系：利润=销售价-进价（成本），盈利率=×100%，盈利（利润）=成本×盈利率. 2. 打折问题：n折=标价的, 如8折=标价的%. 例题讲解 例7（24-25六年级下·上海闵行·期末）某商店经销一种商品，由于进货价降低了，使得利润率提高了十个百分点，那么这个商店原来经销这种商品所得利润率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设原进价为a元，这种商品原来的利润率为x，根据题意列方程得，，再解方程即可． 【详解】解：设原进价为a元，这种商品原来的利润率为x，根据题意列方程得， ， 解得． 故答案为： 变式1：（24-25六年级下·上海宝山·期末）某商店批进衬衫500件，每件进价为30元，准备加价出售，预计可盈利多少元？当这批衬衫售出后，决定将余下的按八折继续出售，这样，这批衬衫全部售出实际盈利多少元？ 变式2：（25-26七年级上·全国·课后作业）某品牌电视的进价为1000元，售价为1400元，后由于出现了数字电视，商店准备打折出售，若盈利率为，则商店打几折？ 知识点06 积分问题 基本数量关系：胜场得分+平场得分+负场得分=每队的总积分 例题讲解 例8（23-24七年级上·全国·期末）表是某次篮球联赛积分的一部分 球队 比赛现场 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 备注：总积分=胜场积分+负场积分 (1)请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）； (2)某队的胜场总积分能否等于负场总积分的3倍？为什么？ (3)若某队的胜场总积分是负场总积分的n倍，n为正整数，试求n的值． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找准等量关系列出一元一次方程求解即可． （1）根据表格中胜场与负场的次数结合总积分即可求解； （2）设该队胜了m场，则负了场，根据胜场总积分等于负场总积分的3倍，即可得出关于m的一元一次方程解之即可得出m的值，结合m为整数即可得出结论； （3）设该队胜了a场，则负了场，根据胜场总积分等于负场总积分的n倍，结合n为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格中前进球队可知，胜场为10场，负场为4场，总积分为24分， 则有， 同理其他球队也满足，胜场负场总积分， ∴胜一场积2分，负一场积1分； （2）解：不能，理由如下： 设该队胜了m场，则负了场， 若某队的胜场总积分等于负场总积分的3倍， ∴， 解得， ∵m为整数， ∴某队的胜场总积分不能等于负场总积分的3倍； （3）解：设该队胜了a场，则负了场， 根据题意可得，， 解得， 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，分母为零，此时不存在n的值； 综上，n的值为2，5，12或26． 变式1：（25-26九年级上·江苏徐州·月考）在2025年江苏省城市足球联赛(“苏超”)中，13个地级市分别组建代表队，于5月10日正式开赛．比赛分为常规赛和淘汰赛两个阶段：第一阶段为常规赛，13支球队采用单循环赛制，前八名进入淘汰赛；第二阶段采用单回合淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军．那么本次联赛共进行了 场比赛． 变式2：（24-25七年级下·全国·单元测试）在一次数学竞赛中，共有20道选择题，答对一题得5分，答错一题扣3分，不答得0分．小红有2道题未答，设小红答对x道题． (1)用含x的式子表示小红的得分y； (2)小红的得分能达到95分吗？为什么？ 知识点07 分段计费问题 1. 基本数量关系：各段费用之和=总费用； 2. 注意事项：每一段的计费标准不同； 3. 常见类型： ①个人所得税按分段累进税制计算； ②用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准； ③出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等. 例题讲解 例9（25-26七年级上·陕西西安·期中）为了鼓励公民节约用水，某市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下： 计费档 户年用水量/ 单价/（元/） 第一档 不超过 第二档 超过但不超过 第三档 超过 (1)某户一年用水量是，则该户这一年的水费是______元； (2)某户一年用水量是：时，则该户这一年的水费是______元（用含的代数式表示）； (3)某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1)380 (2) (3)该户去年一年的用水量是 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）用户一年用水量是在第一档，根据题意计算即可； （2）用户一年用水量是在第二档，根据题意计算即可； （3）某户去年一年的水费是元是在第二档，根据题意计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 （元）． 故答案为：380． （2）由题意，得 ． 故答案为：． （3）当时，， ∴某户去年一年的水费是元是在第二档， ∴， 解得． 答：该户去年一年的用水量是． 变式训练1：（25-26七年级上·河南郑州·月考）为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费．小明家十月份的电费是64.6元，用电多少千瓦时？ 变式训练2：（25-26七年级上·江苏泰州·期中）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表，请回答下列问题： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.5元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.5元． (1)若小东乘坐滴滴快车，行车里程为15公里，行车时间为20分钟，则需付车费 元． (2)若小明乘坐滴滴快车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则小明应付车费多少元？（用含、的代数式表示，并化简．） (3)小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9公里与12公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差多少分钟？ 知识点08 古代问题 基本数量关系：总数量A+盈余=总数量B-不足 例题讲解 例10（24-25六年级上·上海杨浦·期末）《孙子算经》中记载了一个数学问题，其大意是：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则余两辆空车；若每2人共乘一车，则余9人步行，问：共有多少人，多少辆车？为解决此问题，设共有人，那么可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设共有人，由每3人共乘一车，则余两辆空车可知车辆数为辆，由每2人共乘一车，则余9人步行可知车辆数为辆，据此列出方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 变式训练1：（25-26七年级上·北京·期中）“我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩重闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有个人，则可列方程 ． 变式训练2：（25-26七年级上·重庆·期中）《九章算术》中关于“盈不足”问题：“今有人共买物，人出五，盈三；人出四，不足二．问人数几何？”大意是：现有一些人共同买一个物品，若每人出5元，则还剩3元；若每人出4元，则还差2元．若设买这个物品共有个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 知识点09 方案选择问题 用一元一次方程解最优方案问题的一般步骤： ①根据各种方案的数量关系列出代数式； ②若两种方案的数量相等则可列出方程； ③若两种方案数量不等，可通过比较大小进行最优方案的选择. 例题讲解 例11（24-25六年级上·上海松江·期末）某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是： ①套餐：用户先缴8元月租，然后每分钟本地通话费用0.2元； ②套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用0.3元． (1)设一个月内本地通话时间为分钟，这两种套餐用户每月需缴的费用是多少元？（用含的式子表示） (2)一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？ (3)若张阿姨一个月本地通话约120分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？请说明理由． 【答案】(1)套餐每月需缴的费用：（元）；套餐每月需缴的费用：（元） (2)80分钟 (3)选择哪种套餐更合算 【分析】此题主要考查列代数式和求值，解一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出关系式． （1）根据两种通话套餐业务的计费方式表示即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）将分 别代入和求解后比较即可． 【详解】（1）解：套餐每月需缴的费用：（元）， 套餐每月需缴的费用：（元）； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：一个月内本地通话80分钟，两种套餐费用相同； （3）解：当时，套餐每月需缴的费用为：（元）， 当时，B套餐每月需缴的费用为：（元）， ∵， ∴选择哪种套餐更合算． 变式训练1：（23-24六年级上·上海杨浦·期末）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： ①如果一次购物少于200元，则不予优惠； ②如果一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠； ③如果一次购物超过500元，其中500元给予九折优惠，超过500元的部分给予八折优惠；小明两次去该超市购物；分别付款252元和554元，现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他可比小明少付多少元？（请通过计算说明） 变式训练2：（14-15七年级上·江苏苏州·期末）又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． (1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ (2)你能确定两班各有多少名学生吗？ (3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 课后练习 一、单选题 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川广元·二模）元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱，问：梨果多少价几何？”此题的题意是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个．问买梨、果各几个，各付多少钱？设付梨钱文，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·广东佛山·期末）商场将某种商品按原价的9折出售，仍可获利10元．已知这种商品的进价为120元，设原价为元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2021·浙江杭州·中考真题）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次，设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为（），则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·陕西安康·期末）某商场购进一批服装，每件服装销售的标价为400元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，打折后每件服装仍能获利．若设该服装每件的进价是x元，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·广东佛山·开学考试）三人合买一台洗衣机，甲付钱的等于乙付钱的，也等于丙付钱的，已知丙比甲多付了元，这台洗衣机的单价是（   ）元． A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）有一列数，其中任意三个相邻数的和是，其中，， ，可得x的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期中）如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，2，，4，，6，，8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算出的值为（   ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 二、填空题 9．（23-24六年级上·山东威海·期末）某次数学竞赛共有25道题，做对一道得4分，做错一道或者不做扣2分．某同学得分为88分．设他做对道题，可列方程为 ． 10．（24-25七年级上·重庆·开学考试）某城市对煤气费的规定是：用煤气不超过60立方米，每立方米收费0.8元；若超过60立方米，则超出的部分每立方米收费1.2元．已知小明家4月份气费平均每立方米0.88元，则他家4月份应缴气费 元． 11．（24-25七年级下·全国·假期作业）一条小河经过三镇，两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度为每小时千米，两镇之间有木船摆渡，两地之间的距离为千米，木船在静水中的速度为每小时千米，水流速度为千米每小时．某人从镇上汽船顺流而下到镇，接着乘木船又顺流而下到镇．全程共用小时，那么两镇间的距离是 ． 12．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）一套仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器（刚好用完，无浪费），恰好配成这种仪器 套． 13．（21-22七年级上·全国·课后作业）小明与小美家相距1.8千米．有一天，小明与小美同时从各自家里出发，向对方家走去，小明家的狗和小明一起出发，小狗先跑去和小美相遇，又立刻回头跑向小明，又立刻跑向小美……一直在小明与小美之间跑动．已知小明速度为50米/分，小美速度为40米/分，小明家的狗速度为150米分，则小明与小美相遇时，小狗一共跑了 米． 14．（12-13七年级下·广东江门·期中）学习情境·阅读理解  阅读下列材料：设，则，则由，即．所以．根据上述提供的方法把r列两个数化成分数 ， ． 三、解答题 15．（21-22七年级上·全国·课后作业）一个两位数个位上的数是1，十位上的数是x．把1与x对调，新两位数比原两位数小18，x应是哪个方程的解？你能想出x是几吗？ 16．（23-24八年级上·河北张家口·期中）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地面：    (1)观察图形，填写下表: 图形 （1） （2） （3） （n） 黑色瓷砖的块数 4 7 黑白两种瓷砖的总块数 15 25 (2)白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由． 图形 （1） （2） （3） （n） 黑色瓷砖的块数 4 7 10 黑白两种瓷砖的总块数 15 25 35 17．（22-23七年级上·四川资阳·期中）为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市每户居民用水收费价格表为：价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)若该户居民2月份用水，则应交水费_____元； (2)若该户居民3月份用水，则应交水费_____元； (3)若该户居民4月缴了32元水费，则该户居民4月用水_____； (4)若该户居民5月份用水，则5月份应交多少水费（用含x的式子表示）． 18．（24-25七年级上·广东湛江·期末）列一元一次方程解应用题： 某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？ 19．（24-25七年级上·全国·期末）某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 20．（2022七年级上·浙江·专题练习）丹尼斯经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润20元；乙种商品每件进价50元，售价80元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠 (1)甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 ； (2)丹尼斯同时购进甲、乙两种商品共50件，总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“春节”期间，该商场对所有商品进行如下的优患促销活动： 按上述优惠条件，若小丽一次性购买乙种商品实际付款504元，求小丽购买商品的原价是多少？ 21．（24-25六年级上·上海闵行·期末）某汽车企业第一季度销售x万辆新能源汽车，第二季度销售的新能源汽车比第一季度的倍少1万辆，第三季度销售的新能源汽车比第一季度的2倍多6万辆． (1)求该汽车企业前三季度一共销售的新能源汽车的数量（用含有x的代数式表示）； (2)如果该汽车企业第三季度比第二季度多销售万辆新能源汽车，求该企业前三季度销售的新能源汽车数量． 22． （23-24六年级上·上海徐汇·期末）甲、乙、丙三人同时从A城出发去往B城，丙先步行，甲骑车带乙到D处，乙下车向B城步行，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，再带丙到B城，结果三人同时到B城，已知乙、丙的步行速度都为5公里/小时，甲骑车速度为15公里/小时，A、B两城相距120公里，问乙步行了多少公里？ 23． （24-25六年级上·上海普陀·期末）一辆客车和一辆轿车先后沿相同道路从上海出发去南京，客车先行后轿车出发，客车的速度为，轿车的速度为．问：轿车出发多久后追上客车？ 24．（21-22七年级上·江西宜春·期末）如图1，点P是线段AB或线段AB延长线上的一点，则图中共有3条线段AP、BP、AB，若其中有一条线段的长是另一条线段长的两倍，则点P是线段AB的“倍分点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“倍分点”；（填“是”或“不是”） (2)深入研究：平面内，已知线段AB长为18cm，点P从A点出发，运动的时间为t秒． ①如图2，点P从A点出发，以每秒4cm的速度在线段AB上运动时，求t为何值时，点P是线段AB的“倍分点”？ ②如图2，若点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿射线AB方向运动，同时点Q从B点出发沿射线AB方向以每秒1cm的速度也运动了t秒，请直接写出点P是线段AQ的“倍分点”时t的值． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $