精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2025-2026学年高三上学期第三次月考数学试题

2025-2026学年度第一学期第三次月考高三（数学）试卷 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：（本题共8小题，每题5分，共计40分） 1. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的子集运算结合充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，，成立； 当时，由集合元素的互异性可知， 又，所以的取值可以是. 因此由不能推出. 所以是充分不必要条件. 故选：B. 2. 已知随机变量，且，则的值为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.35 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性求概率即可. 【详解】由题设，且，则， 由正态分布曲线关于对称，则. 故选：B 3. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断． 【详解】选项A，若，则与可以相交，也可以平行，不一定垂直，A错； 选项B，若，则直线的方向向量分别是平面的法向量两平面垂直， 即为它们的法向量垂直，则，B正确； 选项C，若，且，则或，C错； 选项D，若，则可能有，也可能相交，D错. 故选：B． 4. 已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可； 【详解】因为， ， 所以， 故选：A. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到函数平移后的解析式，再由其图象关于直线对称，列出等式，进而可求出结果. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象， 因为平移后的函数图象关于直线对称，所以， 则，又，所以的最小值是2. 故选：B. 6. 在三棱锥中，为等边三角形，，，则三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题给条件可知三棱锥各边长，，，以及的中心及相关线段长度，设三棱锥的外接球的球心为，，构造方程解出h，得出外接球半径r，进而求出球的体积. 【详解】，，． ， 在底面的射影为的中心， 设的中点为，则，， ， 设三棱锥的外接球球心为， ，在延长线上， 设，则， ，解得， 外接球的半径． 外接球体积． 故选：． 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，再利用导数可得函数单调性，利用函数单调性即可得解. 【详解】令，则， 故在上单调递增，故， 则，故， ，故， 故有，即. 故选：D. 8. 已知函数，则方程实数根的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】先通过换元将方程等价转化为四个方程，，，的根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得. 【详解】令，则.当时，则，得或. 当时，则，得或. 再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根： ——①，——②，——③，——④. 再由，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，图象如下： 对方程①，因为， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对方程——②，因为. 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对于方程——③， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或. 所以方程共有4个根. 对于——④，由函数的图象可知方程有唯一的根. 综上所述，方程的根共有个根. 故选：D. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 关于复数（是虚数单位）的结论中正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. 在复平面所对应的点位于第四象限 D. 若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的概念可得A不正确；根据复数的乘法运算可得B正确；根据复数的几何意义可得C正确；D正确. 【详解】的虚部为，故A不正确； ，故B正确； 在复平面所对应的点为位于第四象限，故C正确； 若， 则复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以，故D正确. 故选：BCD 10. 在中，内角所对的边分别为，如下判断正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若满足条件的有两个，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可判断A的正误，根据正弦定理边角转化后可判断B的正误，根据诱导公式可判断C的正误，根据三角形解的个数可得，计算后可判断D的正误. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得， 故，因为， 故或，故或， 故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，设为外接圆的半径， 因为，故，故即，故B正确； 对于C，若为锐角三角形，故， 故，故即，故C正确； 对于D，因为满足条件的有两个， 所以即，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知正方体的棱长为，为的中点，点满足，则（ ） A. 存在点使得 B. 若为的中点，则三棱锥体积为定值 C. 当时，平面截正方体所得截面的面积为 D. 与平面所成的角等于 【答案】BC 【解析】 【分析】假设，由线面垂直的判定与性质可知，显然不成立，知A错误；根据线面平行关系可知，得B正确；作出截面矩形，可求得C正确；将问题转化为与平面所成角求解，利用体积桥可求得到平面的距离，由此可得D错误. 【详解】对于A，假设存在点，使得， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，，显然与不垂直， 假设错误，即不存在点，使得，A错误； 对于B，分别为中点，， 平面，平面，平面， ，， 为定值，点到平面的距离为定值，为定值， 即三棱锥的距离为定值，B正确； 对于C，延长交于点， ，，，即为中点，与重合； 取中点，连接， ，四点共面，又， 平面即为平面， 则平面截正方体所得截面为， 截面面积，C正确； 对于D，，与平面所成角即为与平面所成角， 设点到平面的距离为，与平面所成角为， ，，， ，解得：， ，则，D错误. 故选：BC. 【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的动点问题，B选项判断三棱锥体积是否为定值的基本求解思路是根据线面平行关系，利用体积桥将所求三棱锥体积转化为顶点确定的三棱锥体积问题. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 在数列中，，则通项公式___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法求数列的通项公式，同时右边求和时需要利用裂项相消法求和. 【详解】因为，即 则， ， 所以 ， 即， 又因为，所以， 故答案为： 13. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，且圆台的表面积为，则该圆台的高为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆台母线长，再利用圆台的侧面展开图扇环的内弧长、外弧长与圆台两个底面周长分别相等，得到圆台两个底面半径与母线长的关系，再利用圆台的表面积公式列出方程，解得，再结合圆台的结构特点，利用勾股定理解出圆台的高即可. 【详解】设，圆台高为，上下底面半径分别为：. 则，，解得，则， 所以圆台的表面积为：， 解得，故圆台的高为：. 故答案为：. 14. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 【答案】## 【解析】 【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列满足，. （1）证明：为等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意有，进而得，利用等比数列的定义即可得证； （2）由（1）得，利用分组求和方法即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以， 又因为，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列； 【小问2详解】 （2）由（1）可知，即， 所以. 16. 某工厂甲乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了500件进行检测，检测结果（“合格”或“优良”）如下表： 生产线 检测结果 合计 合格 优良 甲生产线 20 180 200 乙生产线 60 240 300 合计 80 420 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？ （2）用样本估计总体，频率估计概率.现等可能地从这两条生产线中抽取一条生产线，然后从该生产线随机抽取1件产品. （i）求抽出的产品是优良品的概率； （ii）已知抽出的产品是优良品，求它是从甲生产线抽出的概率. 附：； 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）有关联 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）（i）设事件“被选出的是甲生产线”，事件“取出的产品是优良品”，由全概率公式计算可得； （ii）由条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 提出零假设：产品检测结果与生产线没有关联， 由， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即产品检测结果与生产线有关联，此推断犯错的概率不大于. 【小问2详解】 设事件“被选出的是甲生产线”，事件“取出的产品是优良品”， （ⅰ）依题意，， ， 由全概率公式得：. （ⅱ）取出的产品是优良品，则它是从甲生产线取出的概率为： ． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，是边长为2的正三角形，是的中点，，直线与平面所成的角为. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得面； （2）取中点，连接、，证得平面，建立直角坐标系，根据直线与平面所成的角为，求得，再求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：连接交于点，连接， 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以， 因为平面，平面，所以面. 【小问2详解】 取中点，连接、，因为，所以， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 因为是正三角形，是的中点，所以， 建立空间直角坐标系，如图所示， 设， 则，，，，，， 所以，，， 又平面的一个法向量， 所以， 因为，解得， 设平面的一个法向量，则， 取，可得，所以， 又平面的一个法向量，所以， 设二面角的平面角为， 由图知为钝角，则， 即二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，是E上一点． （1）求的方程； （2）过F的直线交于两点，求（为坐标原点）的面积的最大值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）由（1）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合三角形面积求出函数关系，进而求出最大值. 【小问1详解】 因为是E上一点，代入椭圆方程解得， 又，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）得半焦距，点，显然的斜率不为零， 设直线的方程为，， 由消去，得，显然， 则，， 所以， 则的面积， 令，函数在上单调递增，当时，取得最小值4， 则当时，取得最小值4，， 所以的面积的最大值为. 19. 已知函数. （1）讨论单调性； （2）当时，求证：. 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，应用分类讨论研究导数的符号确定区间单调性； （2）问题化为证明，构造并利用导函数研究不等式恒成立，即可证. 【小问1详解】 由的定义域为， ， 若，则，内单调递增， 若，当时，在内单调递减， 当时，，在内单调递增. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，由，得， 设，则， 设，则，则即在内单调递增， ∵，， ∴存在，使得，即，即，， 当时，，在内单调递减， 当时，，在内单调递增， ∴， ∵当，即时，，上式取不到等号， ∴时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第三次月考高三（数学）试卷 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：（本题共8小题，每题5分，共计40分） 1. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知随机变量，且，则的值为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.35 3. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 在三棱锥中，为等边三角形，，，则三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则方程实数根的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 关于复数（是虚数单位）的结论中正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. 在复平面所对应的点位于第四象限 D. 若，则的最大值为 10. 在中，内角所对的边分别为，如下判断正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若满足条件的有两个，则的取值范围为 11. 已知正方体的棱长为，为的中点，点满足，则（ ） A. 存点使得 B. 若为的中点，则三棱锥体积为定值 C. 当时，平面截正方体所得截面面积为 D. 与平面所成的角等于 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 在数列中，，则通项公式___________． 13. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，且圆台的表面积为，则该圆台的高为______. 14. 有5个相同球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列满足，. （1）证明：等比数列； （2）求数列的前项和. 16. 某工厂甲乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了500件进行检测，检测结果（“合格”或“优良”）如下表： 生产线 检测结果 合计 合格 优良 甲生产线 20 180 200 乙生产线 60 240 300 合计 80 420 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？ （2）用样本估计总体，频率估计概率.现等可能地从这两条生产线中抽取一条生产线，然后从该生产线随机抽取1件产品. （i）求抽出的产品是优良品的概率； （ii）已知抽出的产品是优良品，求它是从甲生产线抽出的概率. 附：； 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，是边长为2的正三角形，是的中点，，直线与平面所成的角为. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，是E上一点． （1）求的方程； （2）过F的直线交于两点，求（为坐标原点）的面积的最大值． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $