3.3 数量之间的关系 课件 2025-2026学年冀教版七年级上册数学

第三章 代数式 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 情景导入 3.3 数量之间的关系 Administrator (A) - 设计逻辑： 情景导入：利用日历作为情景，激发学生对数字规律的好奇心。 获取新知：引导学生观察数字的排列，探索可能存在的规律。 例题讲解：通过例题，教授学生如何用代数式表示发现的规律。 随堂演练：让学生通过练习，加深对规律探索方法的理解和应用。 课堂小结：总结探索规律的方法和步骤，帮助学生掌握探索规律的技巧。 教学提示： 在情景导入时，让学生观察日历，鼓励他们提出自己的发现。 在获取新知环节，指导学生如何观察和分析数字的排列规律。 在例题讲解时，选择具有代表性的题目，引导学生发现并用代数式表达规律。 在随堂演练环节，设计不同难度的练习，让学生实践探索规律的方法。 在课堂小结时，引导学生总结探索规律的步骤，强调观察、猜想、验证的重要性。 这是2020年12月的日历，你能发现日历中的数字有什么规律吗? 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 情景导入 Administrator (A) - 设计逻辑： 观察发现：让学生观察日历中的数字，发现排列上的规律。 代数式表示：教授如何用代数式来表示日历中数字的规律。 教学提示： 在观察发现环节，鼓励学生细致观察，发现数字的排列顺序和间隔。 在代数式表示环节，指导学生如何将观察到的规律用代数式表达出来。 用代数式表示数的变化规律 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1.请找出同一直线上相邻数之间的关系: （1）横行三个相邻数的关系； （2）竖列三个相邻数的关系. 获取新知 一起探究 后者比前者多1. 用代数式表示为： a-1,a,a+1 下者比上者多7. 用代数式表示为： b-7,b,b+7 Administrator (A) - 设计逻辑： 关系探究：引导学生探究日历中同一直线上相邻数之间的关系。 代数式归纳：归纳这些关系，并用代数式进行表示。 教学提示： 在关系探究环节，让学生尝试找出不同行、列和对角线上数字的关系。 在代数式归纳环节，指导学生如何用简洁的代数式来表示这些关系。 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (3) 左上右下对角线上三个相邻数; （4）左下右上对角线上三个相邻数. 左上者比右下者多8. 用代数式表示为： c-8,c,c+8 右上者比左下者多6. 用代数式表示为： d-6,d,d+6 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 日历中相邻三数之间有什么相等关系？ 同一直线上无论位置怎样的相邻三个数， 首尾两数之和= 2×中间数. 问题1 Administrator (A) - 设计逻辑： 规律发现：让学生发现日历中相邻三个数之间的相等关系。 代数式总结：总结这个规律，并用代数式进行表达。 教学提示： 在规律发现环节，鼓励学生观察并发现数字间的相等关系。 在代数式总结环节，指导学生如何用代数式来准确表达这个规律。 a-1,a,a+1 （1)水平相邻的三个数 （2)竖直相邻的三个数 b-7,a,b+7 （3)斜下相邻的三个数 c-8,c,c+8 （4)斜上相邻的三个数 d-6,d,d+6 (a-1)+a+(a+1)=2a. (b-7)+b+(b+7)=2b. (c-8)+c+(c+8)=2c. (d-6)+d+(d+6)=2d. 用代数式表示为： 总 结 dell (d) - 通过观察来探索规律，通过对具体对象的观察，发现一般规律，是下面用代数式表示方框中9个数的和的关键. 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 日历中3×3方框内九数之和与方框中正中间的数有何等量关系？ 2+3+4+9+10+11+16+17+18=90=9×10. 九数之和=9 × 中间数 Administrator (A) - 设计逻辑： 规律探究：引导学生探究日历中方框内九个数的和与中间数的关系。 规律验证：通过实例验证这个规律，并推广到其他方框。 教学提示： 在规律探究环节，让学生尝试找出方框内数字的求和规律。 在规律验证环节，指导学生如何验证自己的发现，并思考规律的普适性。 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 这个关系在其它方框中成立吗? 8+9+10+15+16+17+22+23+24=144=9×16. 成立! 探索规律的一般步骤： 猜 想 规 律 表 示 规 律 验 证 规 律 具 体 问 题 观察、比较 成立 得出结论 不成立 头 回 新 重 索 探 归 纳 Administrator (A) - 设计逻辑： 步骤介绍：介绍探索规律的一般步骤，包括观察、比较、猜想、验证和表示规律。 方法归纳：归纳这些步骤，帮助学生形成系统探索规律的方法。 教学提示： 在步骤介绍环节，让学生了解探索规律的全过程。 在方法归纳环节，指导学生如何在实际问题中应用这些步骤。 问题2 观察下面各式的规律： m1=1×3，m2=3×5=，m3=5×7，m4=7×9，… 请写出用含n的代数式表示mn的关系式. 解：观察每个等式规律： m1=(2-1)(2+1)=22-1；m2=(4-1)(4+1)=42-1；m3=(6-1)(6+1)=62-1；…… 用n表示自然数，则规律是：mn=（2n-1）(2n+1)=(2n)2-1. 一起探究 Administrator (A) - 设计逻辑： 等式观察：让学生观察给定的等式，发现其中的规律。 公式推导：引导学生推导出一个通用的公式来表达这些等式。 教学提示： 在等式观察环节，鼓励学生细致分析等式的特征。 在公式推导环节，指导学生如何从特例中归纳出通用的公式。 用代数式表示数的变化规律 用代数式表示数的变化规律： 1.数字为整数，考虑相邻两数的和、差、积、商、符号等方面是否存在规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律; 2.数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系； 3.若表示数字变化规律的是等式（或表格），可将每个等式对应写好，然后比较每一行每一列数字之间的关系，从而找出规律. Administrator (A) - 设计逻辑： 规律表示：教授如何用代数式来表示数字的变化规律。 方法指导：提供不同情况下观察和表示规律的方法。 教学提示： 在规律表示环节，指导学生如何根据不同情况选择合适的代数式。 在方法指导环节，教授学生如何观察数字的变化，找出规律。 用代数式表示图形的变化规律 活动一 用小棒按下图的方式搭三角形. 三角形 个数 1 2 3 4 5 … n 小棒 根数 … 填写下表: 一起探究 Administrator (A) - 设计逻辑： 图形构建：通过三角形小棒的图形，引导学生探索数量关系。 规律发现：让学生填写表格，发现小棒根数与三角形个数的关系。 教学提示： 在图形构建环节，让学生动手操作，直观感受图形与数量的关系。 在规律发现环节，指导学生如何从表格数据中找出规律。 3 +2 +2 +2 +2 +2 1+2 三角形个数 火柴棒根数 1 2 3 4 5 … … n 3=1+2 5=1+2+2 7=1+2+2+2 9=1+2+2+2+2 11=1+2+2+2+2+2 2n+1=1+2+2+2+2+ +2 活动二 图3-2-3是由点组成的n行n列的方阵，设其总点数为P.图3-2-4是由每条边上n个点围成的空心方阵，设其总点数为Q． 1.观察图3-2-3图3-2-4的方阵，请分别用含n的代数式表示他们的总点数P,Q. 2. 图3-2-4, 由三种图示方法得到空心方阵的总点数分别为4n-4,4（n-1），2n+2（n-2）.请你谈谈是如何得到的.你还有其他的想法吗？ Administrator (A) - 设计逻辑： 方阵分析：分析实心方阵和空心方阵的点数问题。 方法比较：比较不同方法求解方阵点数的优势和特点。 教学提示： 在方阵分析环节，让学生了解不同类型方阵的构成。 在方法比较环节，指导学生如何根据不同方法的特点选择合适的求解方式。 1.图3-2-3方阵为n行n列的实心方阵，总点数为P=n×n= 图3-2-4方阵为由每条边上n个点围成的空心方阵，总点数等于n×n实心方阵的点数减去（n-2）×（n-2）实心方阵的点数的差，所以Q = 2.方法1： 如图（1）每边n个点，4个边共4n个点，减去重复计算的4个点，方阵的总点数为4n-4. 列代数式表示空心方阵的点数，引导学生归纳概括不同方法的要点，体会形式不同的代数式表达的同一个量.采用了分类法. 方法2：如图（2）将点阵分成不重叠的4组，每组有(n-1)个点，方阵的总点数为4（n-1）. 方法3：如图（3）将点阵分成不重叠的4组，其中两组各有n个点，另两组各有(n-2）个点，方阵的总点数为2n＋2（n-2）． 活动三 如图，已知大正方形的边长为1，连接对边中点将大正方形分为4个边长相等的小正方形，并将其中的3个小正方形涂上阴影，得到如图（1）所示的图形；连接图（1）中空白正方形的对边中点又得到4个边长相等的小正方形，再将其中的3个小正方形涂上阴影，得到如图（2）所示的图形......按照这样的方式继续分割下去，设阴影部分的面积为S. (1)在图（1）中，空白正方形的边长为 ，S= . (2)在图（2）中，空白正方形的边长为 ，S= . (3)在第n各图形中，S= .（用含n的代数式表示） 用代数式表示图形的变化规律 用代数式表示图形的变化规律： 1.通过列表，将每个图形所研究的量利用表格的反映出来，然后根据数字变化获取规律； 2.直接观察出图形之间的位置变化或数量变化，获取规律. Administrator (A) - 设计逻辑： 规律探索：引导学生探索图形的变化规律。 代数式表示：教授如何用代数式来表示这些规律。 教学提示： 在规律探索环节，鼓励学生观察图形的构成，发现变化趋势。 在代数式表示环节，指导学生如何将观察到的规律用代数式表达。 1.一组按规律排列的数： ，请你推断第7个数是________；第n（n为正整数）个数是_____________. 随堂演练 2.观察下列等式: 32-12=4×2； 42-22=4×3； 52-32=4×4； （1）第4个等式为 ； （2）第n（n为正整数）个等式为___ _______________ . 62-42=4×5 (n+2)2-n2=4(n+1) Administrator (A) - 设计逻辑： 等式特征分析：分析给定等式的特征，引导学生发现规律。 公式归纳：归纳发现的规律，并用公式表达。 教学提示： 在等式特征分析环节，让学生尝试找出等式间的共同点。 在公式归纳环节，指导学生如何将发现的规律用公式简洁表达。 3.如图，第一排有 1 个三角形；第二排有 3 个三角形；第三排有 5 个三角形；第四排有 个三角形；第n 排有 个三角形. 7 (2n+1) Administrator (A) - 设计逻辑： 图形排列观察：观察三角形的排列方式，发现规律。 规律表示：用代数式表示三角形排列的规律。 教学提示： 在图形排列观察环节，让学生直观感受图形的排列规律。 在规律表示环节，指导学生如何用代数式来表达这个规律。 4.如图，按下列方式用火柴棒搭建正方形： 1个正方形用4根火柴棒；2个正方形用 根火柴棒；3个正方形用 根火柴棒；10个正方形用 根火柴棒；n 个正方形用 根火柴棒. 7 (3n+1) … 10 31 Administrator (A) - 设计逻辑： 图形构建：通过正方形火柴棒的图形，引导学生探索数量关系。 规律发现：让学生发现火柴棒根数与正方形个数的关系。 教学提示： 在图形构建环节，让学生动手操作，直观感受图形与数量的关系。 在规律发现环节，指导学生如何从实际操作中找出规律。 5.若按下图方式摆放桌子和椅子： （1）一张桌子可坐6人，2张桌子可坐 人； （2）按照上图方式继续排列桌子，完成下表： … 桌子张数 3 4 5 6 … n 可坐人数 … 4n+2 14 18 22 26 10 Administrator (A) - 设计逻辑： 排列方式分析：分析不同排列方式下桌子和椅子的数量关系。 规律表示：用代数式表示桌子张数和可坐人数的关系。 教学提示： 在排列方式分析环节，让学生了解不同排列方式的特点。 在规律表示环节，指导学生如何用代数式来表达这些关系。 6.若按下图方式摆放桌子和椅子： （1）一张桌子可坐6人，2张桌子可坐 人； （2）按照上图方式继续排列桌子，完成下表： 桌子张数 3 4 5 6 … n 可坐人数 … 4+2n 10 12 14 16 8 … 用代数式表示规律 用代数式表示数的变化规律 用代数式表示图形的变化规律 课堂小结 Administrator (A) - 设计逻辑： 规律总结：总结如何用代数式来表示数和图形的变化规律。 方法指导：提供具体的方法和步骤，帮助学生掌握表示规律的技巧。 教学提示： 在规律总结环节，让学生了解不同类型的规律如何用代数式表达。 在方法指导环节，教授学生如何根据不同规律选择合适的代数式。 $