3.3数量之间的关系（课件）2025-2026学年冀教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“用代数式表示数量关系中的规律”，通过自然数列、偶数列等5个典型数列实例导入，衔接代数式基础，以数阵围数、图形点数等情境搭建从特殊到一般的学习支架。 其亮点是以“特殊到一般”思想为主线，结合数阵9数求和、空心方阵点数等探究，培养数学眼光（抽象能力）、思维（推理意识）与语言（模型意识）。采用情境探究法，小结用流程图归纳方法，助力学生提升规律探究能力，为教师提供结构化教学资源。

3.3 数量之间的关系 第三章 代数式 考试中经常考查学生对数学考试技巧的掌握程度，特别是最大化的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。学习最短路径不仅需要记忆公式，更需要掌握构造的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解平面直角坐标系的本质有助于更好地熟练。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是识图的能力。 1.会用代数式表示数与图形中的规律.会从不同角度分析和解决 问题，体会同一量可以用不同代数式来表示； 2.能发现特例中的变与不变，发现共性，寻找一般规律解决问 题，体会从特殊到一般、转化、数形结合等数学思想方法. 学习目标 仔细观察，按你发现的规律填空： (1) 1,2,3,4, ， ，...， （第n个数）； (2) 2,4,6,8, ， ，...， （第n个数）； (3)2,4,8,16, ， ，...， （第n个数）； (4)1,4,9,16, ， ，...， （第n个数）； (5)1,2,3,6,10， ， ，...， （第n个数）. 5 6 n 10 12 2n 32 64 2n 25 36 n2 15 21 像这种有明显规律的问题，我们如何用代数式表示？ 新课导入 考试中经常考查学生对数学考试技巧的掌握程度，特别是最大化的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。学习最短路径不仅需要记忆公式，更需要掌握构造的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解平面直角坐标系的本质有助于更好地熟练。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是识图的能力。 情境1.这是一个由1~120 的连续整数排成的“数阵”如果用方框围住9个数，那么这9个数的和随方框位置的变化而变化. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... 115 116 117 118 119 120 (1)如果设方框左上角的数为a，用含a的代数式表示这9个数的和; (2)当a为时，求这9个数的和. (3)如果设方框正中间的数为m，用含m的代数式表示这9个数的和; 探究一.利用代数式表示规律问题中的数量关系. 活动1.分析下列情境中的规律，并用代数式表示. 思考：在这个数阵中，前后、上下两数分别有什么规律？ 前后相差1，上下相差6. 新知探究 情境1.这是一个由1~120 的连续整数排成的“数阵”如果用方框围住9个数，那么这9个数的和随方框位置的变化而变化. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... 115 116 117 118 119 120 (1)如果设方框左上角的数为a，用含a的代数式表示这9个数的和; 解:(1)其他8个数分别为 这9个数的和. 探究一.利用代数式表示规律问题中的数量关系. 活动1.分析下列情境中的规律，并用代数式表示. 考试中经常考查学生对数学考试技巧的掌握程度，特别是最大化的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。学习最短路径不仅需要记忆公式，更需要掌握构造的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解平面直角坐标系的本质有助于更好地熟练。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是识图的能力。 情境1.这是一个由1~120 的连续整数排成的“数阵”如果用方框围住9个数，那么这9个数的和随方框位置的变化而变化. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... 115 116 117 118 119 120 (2)当a为时，分别求这9个数的和. 探究一.利用代数式表示规律问题中的数量关系. 活动1.分析下列情境中的规律，并用代数式表示. 解：由(1)可知， 当a为时，这9个数的和为= 当a为时，这9个数的和为= 当a为时，这9个数的和为= 情境1.这是一个由1~120 的连续整数排成的“数阵”如果用方框围住9个数，那么这9个数的和随方框位置的变化而变化. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... 115 116 117 118 119 120 (3)如果设方框正中间的数为m，用含m的代数式表示这9个数的和; 探究一.利用代数式表示规律问题中的数量关系. 活动1.分析下列情境中的规律，并用代数式表示. 解：设方框正中间的数为m,则其他8个数分别 为 所以S为 .即. 新知探究 考试中经常考查学生对数学考试技巧的掌握程度，特别是最大化的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。学习最短路径不仅需要记忆公式，更需要掌握构造的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解平面直角坐标系的本质有助于更好地熟练。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是识图的能力。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... 115 116 117 118 119 120 思考：如果将方框由左向右平行移动一列，那么9个数的和会有怎样的变化? 如果方框由上向下平行移动一行，那么9个数的和又有怎样的变化? 将方框由左向右平行移动一列,和增加9； 方框由上向下平行移动一行,和增加54. 情境1.这是一个由1~120 的连续整数排成的“数阵”如果用方框围住9个数，那么这9个数的和随方框位置的变化而变化. 情境2.图1是由点组成的n行n列的方阵，图2是由每条边上n个点围成的空心方阵. 图1 图2 1.图1中方阵的总点数为多少？ 2.图2中方阵的总点数是多少？你还有其他的计算方法吗？ n2 考试中经常考查学生对数学考试技巧的掌握程度，特别是最大化的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。学习最短路径不仅需要记忆公式，更需要掌握构造的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解平面直角坐标系的本质有助于更好地熟练。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是识图的能力。 如图，由三种图示方法得到空心方阵的总点数分别为.同桌讨论是如何得到的.还有什么其他的想法？ ：空心方阵4边都是n个点因此是4n，边与边之间共用了1个点，因此减4. ：空心方阵4边按n-1个点来算； ：空心方阵上下两都是n个点因此是2n，左右两边是个点，因此 数字方面的变化规律 (1)若数字为整数的一列数,可考虑相邻两数的和、差、积、商等 方面是否存在规律,也可以是奇、偶、平方等方面的规律. (2)若是数字方面的等式(或表格),可将每个等式对应写好,然后比 较每一行、每一列数字之间的关系,从而找出规律. (3)若数字为分数,可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系. 归纳 考试中经常考查学生对数学考试技巧的掌握程度，特别是最大化的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。学习最短路径不仅需要记忆公式，更需要掌握构造的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解平面直角坐标系的本质有助于更好地熟练。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是识图的能力。 情境3.完成教材P115中“做一做”填空，并思考下列问题. 思考：如果没有（1）（2）问，直接问（3），大家觉得自己容易做的出来吗？由此思考为什么教材“做一做”中要先问（1）（2），然后再问（3）？ （1）：；（2）；（3）. 特殊到一般的思想： 通过对某些个体的认识与研究，发现特点，掌握规律，逐渐形成对这类事物的总体认识， 归纳 考试中经常考查学生对数学考试技巧的掌握程度，特别是最大化的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。学习最短路径不仅需要记忆公式，更需要掌握构造的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解平面直角坐标系的本质有助于更好地熟练。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是识图的能力。 1.一组按规律排列的数： 请你推断 第7个数是________；第n（n为正整数）个数是_____________. 巩固练习 2.如图所示，用火柴摆图形 填写下表： 三角形的数量/个 1 2 3 4 5 ... n 火柴的数量/根 3 5 7 9 11 2n+1 考试中经常考查学生对数学考试技巧的掌握程度，特别是最大化的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。学习最短路径不仅需要记忆公式，更需要掌握构造的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解平面直角坐标系的本质有助于更好地熟练。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是识图的能力。 用代数式表示图形的变化规律： 1.通过列表，将每个图形所研究的量利用表格的反映出来，然后根据数字变化获取规律； 2.直接观察出图形之间的位置变化或数量变化，获取规律. 归纳 1.如图所示的图形都是由同样大小的“星星”按一定的规律组成的,其中第一个图形有4个“星星”,第二个图形有7个“星星”,第三个图形有10个“星星”,……,则第8个图形中星星的个数是 (　    )   A.20　    B.23　    C.25　    D.26 C 随堂小练 基础 考试中经常考查学生对数学考试技巧的掌握程度，特别是最大化的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。学习最短路径不仅需要记忆公式，更需要掌握构造的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解平面直角坐标系的本质有助于更好地熟练。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是识图的能力。 2.观察下列等式: 32-12=4×2； 42-22=4×3； 52-32=4×4； （1）第4个等式为 ； （2）第n（n为正整数）个等式为__________________. 62-42=4×5 (n+2)2-n2=4(n+1) 3.如图，第一排有 1 个三角形；第二排有 3 个三角形； 第三排有 5 个三角形；第四排有 个三角形； 第n排有 个三角形. 7 (2n+1) 考试中经常考查学生对数学考试技巧的掌握程度，特别是最大化的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。学习最短路径不仅需要记忆公式，更需要掌握构造的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解平面直角坐标系的本质有助于更好地熟练。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是识图的能力。 4.如图，按下列方式用火柴棒搭建正方形： 1个正方形用4根火柴棒；2个正方形用 根火柴棒； 3个正方形用 根火柴棒；10个正方形用 根 火柴棒；n 个正方形用 根火柴棒. 7 (3n+1) … 10 31 本节课探究了代数式的哪些问题？ 在探寻用代数式表达规律的过程，你经历了什么？积累了哪些活动经验？ 3.接下来会研究代数式的什么内容？ 课堂小结 考试中经常考查学生对数学考试技巧的掌握程度，特别是最大化的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。学习最短路径不仅需要记忆公式，更需要掌握构造的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解平面直角坐标系的本质有助于更好地熟练。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是识图的能力。 特殊到一般的思想： 通过对某些个体的认识与研究，发现特点，掌握规律，逐渐形成对这类事物的总体认识， $