3.3数量之间的关系 课件 2025-2026学年 冀教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“代数式的概念、表示及应用”，通过“苹果采摘机器人识别范围”“杂交水稻产量计算”等现实情境导入，从具体数量关系（如5t、n/2）逐步过渡到抽象代数式，以问题链为学习支架衔接小学算术与初中代数。 其亮点是以真实情境驱动探究，如“苹果采摘效率”“圆柱装水高度”等实例培养数学眼光，通过归纳代数式概念、解释2(a+3)意义发展抽象能力与符号意识，规范书写指导强化数学语言表达。助力学生提升应用意识，为教师提供结构化活动设计，便于高效教学。

3.3 数量之间的关系 掌握组合体体积的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解旋转变换的本质有助于更好地掌握。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决三角形角平分线相关问题时，证明是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解最短路径的本质有助于更好地补充。 教学目标 1.借助现实情境了解代数式的概念，能用代数式表示简单问题中的 数量关系； 2.能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，发展符号感； 3.能应用代数式相关知识解决实际问题. 能理解代数式表示的意义，能从不同的角度给代数式赋予实际意义. 正确列出代数式表示现实社会中的数量关系. 教学重点 教学难点 活动一：创设情境，提出问题 掌握组合体体积的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解旋转变换的本质有助于更好地掌握。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决三角形角平分线相关问题时，证明是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解最短路径的本质有助于更好地补充。 环节1.“慧眼”识苹果 某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成5 m2 范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，根据这些数据回答下列问题： （1）该机器人10 s 能识别多大范围内的苹果？60 s 呢？t s 呢?(t +1) s 呢？ （2）该机器人识别n m2范围内的苹果需要多少秒？ 活动二：自主探究，形成新知 环节2.“慧手”摘苹果 苹果采摘机器人的一个机械手平均每8 s可以采摘一个成熟苹果，该机器人搭载了m个机械手（m>1）. （1）该机器人工作1 h可以采摘多少个苹果？ （2）已知工人平均每5 s可以采摘一个苹果，若机器人与工人同时工作1 h，机器人可比工人多采摘多少个苹果？ 掌握组合体体积的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解旋转变换的本质有助于更好地掌握。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决三角形角平分线相关问题时，证明是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解最短路径的本质有助于更好地补充。 环节3.苹果“慧”入库 1.苹果采摘完毕后，需在果园铺设一条长2 km的苹果运送管道，经过 d 天完成，用式子表示这支工程队平均每天铺设的管道长度； 2.原计划d 天可以铺设完的管道，由于天气原因停工3天，之后又按原有的工作效率铺设，用式子表示从开始铺设到铺设完成所用的总天数； 3.苹果需装箱再入库，已知果箱的底面是边长为 a 的正方形，用式子表示纸箱的底面周长和底面积. 环节4.归纳总结，得出新知 观察上述问题中列出的式子： 请找出它们的共同特点，并总结归纳出代数式的概念。 【小结】 代数式的定义： 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式. 注意：单独的一个数或字母也是代数式. 加、减、乘、除、乘方、开方等运算 1.代数式的概念 掌握组合体体积的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解旋转变换的本质有助于更好地掌握。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决三角形角平分线相关问题时，证明是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解最短路径的本质有助于更好地补充。 练一练 1.下列各式是代数式吗？ 2x-1； t； 2x+y=5； a2h ； m>n. 2.判断下列式子书写是否规范，不规范的请改正. -m 3ax 3(a+x) 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式. 运算符号包括加号、减号、乘号、除号、乘方等等. 新知讲授 单独的一个数或字母也是代数式. ”代数式“的概念 运算符号 5.5b 观察下列各式子，说一说它们有什么共同的特征？ 5a+6b c 100 掌握组合体体积的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解旋转变换的本质有助于更好地掌握。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决三角形角平分线相关问题时，证明是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解最短路径的本质有助于更好地补充。 代数式中不含”＝，≠，＞，＜，≤，≥“ 找出下列各式子中的代数式. 新知讲授 1.数与字母相乘时，乘号省略，数字在 前 ，字母在 后 ；带分数与字母相乘化为 假 分数. 2.字母与字母相乘，相同字母写成 幂 的形式. 3.除法运算一般写成 分 数 的形式. 4.在实际问题中，式子是和或差的形式且后边带单位，要用 括 号 把式子括起来. ”代数式“的规范书写 猜一猜宝箱 后面是什么字？ 掌握组合体体积的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解旋转变换的本质有助于更好地掌握。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决三角形角平分线相关问题时，证明是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解最短路径的本质有助于更好地补充。 问题1 据新华社2021年10月17日报道：由“杂交水稻之父”袁隆平院士专家团队研发的杂交水稻双季亩产为1603.9㎏. （1）10亩稻田的双季产量为多少？16.5亩呢？a亩呢？ 分析 ： 总产量 亩产量 亩数 = × 10亩产量= 1603.9×10 16.5亩产量= 1603.9×16.5 a亩产量= 1603.9×a = 1603.9a 探究新知 数和字母相乘，乘号可省略不写，并把数字写在字母的前面 问题1 据新华社2021年10月17日报道：由“杂交水稻之父”袁隆平院士专家团队研发的杂交水稻双季亩产为1603.9㎏. （2）双季总产量为mkg时，需要稻田多少亩呢？ 分析 ： 总产量 亩产量 亩数 = × 亩数= 总产量 ÷ 亩产量 解：双季总产量为mkg时，需要稻田m÷1603.9亩， 含有字母的除法中，一般不用“÷”号，而写成分数形式 即 亩。 掌握组合体体积的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解旋转变换的本质有助于更好地掌握。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决三角形角平分线相关问题时，证明是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解最短路径的本质有助于更好地补充。 问题2 （2）小明今年n岁，小明比小丽大2岁，小丽今年 岁； (3)已知正方形的边长为2，将正方形的一组对边的长度各增加1，另一组对边的长度不变，则所得的长方形与原正方形的面积之差是（2+1）×2-22，若正方形的边长为a，进行同样的变化，则所得到的长方形的面积之差是 。 后面带单位的相加或相减的式子,要用括号括起来 2 2 1 探究新知 思考 上面我们所列出的式子, 说一说它们有什么共同特征？ , , , 代数式的定义： 把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子，称为代数式。 特别的：单独一个数或者一个字母也是代数式。 掌握组合体体积的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解旋转变换的本质有助于更好地掌握。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决三角形角平分线相关问题时，证明是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解最短路径的本质有助于更好地补充。 典例精析 下列各式中哪些是代数式？哪些不是？ (1) (3) (5) (7) (2) (4) (6) (8) 1.等号与不等号是关系符号； 注： 代数式书写注意事项 ① 数与字母相乘时，乘号省略不写，数字在写在字母前； ② 字母与字母相乘时，乘号省略不写，字母按照26个字母顺序排列； ③1或-1与字母相乘时，1通常省略不写； ④带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数; ⑤式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写; ⑥后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来。 100×t 100t n×m mn -1n -n n÷3 n 3 0.6a + c元 （0.6a + c）元 掌握组合体体积的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解旋转变换的本质有助于更好地掌握。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决三角形角平分线相关问题时，证明是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解最短路径的本质有助于更好地补充。 新知巩固 例题1（1）苹果原价是 p 元/kg，现在按九折优惠出售，用代数式表示苹果的售价； （2）一个长方形的长是 0.9 m，宽是 p m，用代数式表示这个长方形的面积； （3）某产品前年的产量是 n 件，去年的产量比前年产量的 2 倍少 10 件，用代数式表示去年的产量； （4）一个长方体水池底面的长和宽都是 a m,高是 h m,池内水的体积占水池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积. 注意“代数式”概念和书写要求！ 用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系. 新知巩固 掌握组合体体积的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解旋转变换的本质有助于更好地掌握。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决三角形角平分线相关问题时，证明是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解最短路径的本质有助于更好地补充。 （5）如图所示，已知装满油时，桶和油的质量一共是 a kg； 当油用去一半时，桶和油的质量一共是 b kg.当桶里装满油时，设油的质量为 c kg. ①当桶里装满油时，写出表示桶的质量的代数式; ②当油用去一半时，写出表示桶的质量的代数式. 同一个量也可以用不同的代数式表示. 新知巩固 解：① （a-c）kg ② （b- c ) kg 或 （2b-a） 方法指导 例2 说出下列代数式的意义: （1）2a+3 （2）2(a+3) (3) (4) X2+2x+8 新知巩固 说出代数式的意义，就是把代数式用语言“叙述”出来. 既要表明运算顺序， 也要说出运算的最终结果. 具体说法没有统一的规定，情况不唯一. 掌握组合体体积的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解旋转变换的本质有助于更好地掌握。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决三角形角平分线相关问题时，证明是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解最短路径的本质有助于更好地补充。 新知巩固 例3 用代数式表示 面包 a 元 饮料 b元 （1）买 2 个面包和 3 瓶饮料需 元. 本金 a元 存期 3年 年利率 2.75% （2）到期时的利息是 元. （3）平板进价为 x 元，按进价的 1.1 倍标价，优惠后的售价是 元. 直降 80 元 例4 甲、乙两地之间公路全长 240 km，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为 v km/h. (1) 汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ (2) 如果汽车的行驶速度增加 3 km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 新知巩固 根据数量关系列代数式 掌握组合体体积的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解旋转变换的本质有助于更好地掌握。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决三角形角平分线相关问题时，证明是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解最短路径的本质有助于更好地补充。 例5 四个圆柱形容器内部的底面积分别是10c㎡，20c㎡，30c㎡，60c㎡，分别往这四个容器中注入300cm³的水. （1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？ （2）分别用 x 和 y 表示容器内部的底面积和水的高度，用式子表示 y 与 x 的关系，y 与 x 成什么比例关系？ 新知巩固 解：（1）四个容器中水的高度分别为 （cm） （cm） （cm） （cm） （2）xy=300或 ,y与x成反比例关系. 典例精析 例 5 如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为 10 cm2，20 cm2，30 cm2，60 cm2. 分别往这四个容器中注入 300 cm3 的水. （1）四个容器中的高度分别是多少厘米？ 分析:题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系: 圆柱的体积＝底面积×高， 解:(1)四个容器中水的高度分别为： 掌握组合体体积的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解旋转变换的本质有助于更好地掌握。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决三角形角平分线相关问题时，证明是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解最短路径的本质有助于更好地补充。 典例精析 例 5 如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为 10 cm2，20 cm2，30 cm2，60 cm2. 分别往这四个容器中注入 300 cm3 的水. (2)分别用x(单位:cm)和y(单位:cm)表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系? 解：(2)xy＝300，y与x成反比例关系 小试牛刀 判断下面各题中的两个量x，y是否成反比例关系，并说明理由. （1）普通投影仪灯泡的使用寿命约为1 500小时，它的可使用天数y（天）与平均每天使用的时间x（时）； （2）一种商品的单价为a（元/件），所花费的钱数y（元）与购买的件数x（件） （3）小明应完成的作业量a一定，他已完成的作业量x和未完成的作业量y； （4）一批零件300个，一个工人每小时做15个，人数x与完成任务所需的时间y. 掌握组合体体积的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解旋转变换的本质有助于更好地掌握。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决三角形角平分线相关问题时，证明是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解最短路径的本质有助于更好地补充。 思 考 生活中，成反比例关系的例子是很常见的，例如，在购买某种物品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系，你还能举出一些例子吗? 例如：机器加工一批零件，加工的总数量一定时，每小时加工的数量与加工的时间成反比例关系. 在比如：长方形的面积一定时，长方形的长与宽成反比例关系. 归纳总结 正比例关系 反比例关系 正比例与反比例关系的区别 两个相关联的量x，y的比值一定，这两个量就叫做正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系.即：y=kx（k为定值，且k≠0）. 两个相关联的量x，y的乘积一定，这两个量就叫做反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.即：xy=k（k为定值，且k≠0）. 掌握组合体体积的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解旋转变换的本质有助于更好地掌握。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决三角形角平分线相关问题时，证明是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解最短路径的本质有助于更好地补充。 课堂练习 练习1 用代数式表示： （1）棱长为 a 的正方体的表面积； （2）华罗庚纪念馆目前累计接待中外参观者 a 万人，预计今后每年平均接待参观者 b 万人，c 年后累计接待总人数为多少万人？ （3）甲、乙两地相距s千米，李明原计划骑车从甲地到乙地，需用时 t h，后因天气原因改成公交车前往，结果提前 1 h 到达，乙地公交车的速度是多少？ 掌握组合体体积的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解旋转变换的本质有助于更好地掌握。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决三角形角平分线相关问题时，证明是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解最短路径的本质有助于更好地补充。 课堂练习 练习3 糖果厂生产一批水果糖，把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如下表： （1）这批水果糖共有多少颗？ （2）总袋数是怎样随着每袋装的颗数的变化而变化的？ （3）用 n 表示总袋数，m 表示每袋装的颗数，用式子表示 n 与 m 的关系，n 与 m 成什么比例关系？ 每袋装的颗数 10 12 18 20 24 ... 总袋数 360 300 200 180 150 ... 思维拓展 如图搭一个正方形需要 4 根火柴棒，如果用 n 表示所搭正方形的个数，那么搭 n 个这样的正方形需要多少根火柴棒？搭 100 个这样正方形呢？ 4 4+3 4+3+3 4+3+3+... 根据图形特征列代数式 掌握组合体体积的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解旋转变换的本质有助于更好地掌握。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决三角形角平分线相关问题时，证明是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解最短路径的本质有助于更好地补充。 谢 谢 观 看 $