精品解析：天津市武清区南蔡村中学2025-2026学年高二上学期10月练习数学试卷

高二第一次数学练习 2025.10 一、单选题 1. 直线在轴的截距为（ ） A. B. C. D. 3 2. 已知是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若直线的斜率分别为，则（ ） A. B. C. D. 4. 设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 向量，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四面体中，.点在上，且，点是的中点，则 （ ） A. B. C. D. 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的倾斜角为 D. 过点且垂直于直线的直线方程为 8. 已知空间向量，，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 9. 已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A. 或 B. 或 C. D. 二、填空题 10. 已知，则的中点关于平面的对称点的坐标是___________． 11. 已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数______． 12. 经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量为的直线方程为________. 13. 若点、、在同一直线上，则实数k的值为__________． 14. 已知点P(－，1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则点Q的坐标为_____． 15. 已知空间向量，则下列说法正确的有___________个 ①；②；③若，则；④与方向相同的单位向量为. 三、解答题 16. 已知的顶点坐标为. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程； （3）求边上的高所在直线的方程. 17. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 18. 已知直线，直线． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 19. 如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. （1）求点到直线的距离 （2）求点到平面的距离. 20. 如图，四棱锥中，侧棱平面，点是的中点，底面是直角梯形，. （1）求证：平面； （2）求异面直线和所成角的余弦值； （3）点在线段上，平面和平面的夹角为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第一次数学练习 2025.10 一、单选题 1. 直线在轴的截距为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】直接令计算即可求解. 【详解】令，得，所以直线在轴的截距为. 故选：A 2. 已知是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的方向向量，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小． 【详解】由直线的方向向量知，直线的斜率为  ， 设直线的倾斜角为，所以 ，解得 . 故选：D 3. 如图，若直线的斜率分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图可知直线的倾斜角为锐角，斜率为正；直线的倾斜角为钝角，斜率为负以及根据倾斜角的大小判断斜率的大小可得答案. 【详解】直线的倾斜角为钝角，斜率为负，直线的倾斜角为锐角，斜率为正，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，直线的倾斜角大于直线的倾斜角. 所以，所以． 故选：C 4. 设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 5. 向量，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的关系列式求解，的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模公式计算得出结果. 【详解】由，，则，解得， ，， ， . 故选：C. 6. 如图，在四面体中，.点在上，且，点是的中点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加减法法则，将转化为以、、表示的形式，再根据已知条件逐步计算. 【详解】因为，所以， 因为点是的中点，所以. 所以， 故选：A. 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的倾斜角为 D. 过点且垂直于直线的直线方程为 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；根据直线截距的定义可判断B选项；求出直线的倾斜角，可判断C选项；根据两直线垂直求出所求直线方程，可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线方程可化为，由，解得， 故直线必过定点，A对； 对于B选项，直线在轴上的截距为，B对； 对于C选项，直线的斜率为，故该直线的倾斜角为，C错； 对于D选项，直线的斜率为， 故过点且垂直于直线的直线方程为，即，D对. 故选：C 8. 已知空间向量，，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于选项A，根据空间向量垂直的性质即可求解；对于选项B，根据空间向量的四则运算以及空间向量的相等关系即可求解；对于选项C，根据空间向量投影向量公式即可求解；对于选项D，根据空间向量的夹角与数量积即可求解. 【详解】对于选项A，已知，. 若，则，解得，故选项A正确； 对于选项B，已知，. 因此. 因为，所以，解得，故选项B正确. 对于选项C，根据空间向量投影向量公式,在上的投影向量为. 已知在上的投影向量为，所以. 因为，所以. 已知，，所以，. 因此，整理得. 由于上述一元二次方程无实数解，所以选项C错误. 对于选项D，若与夹角为锐角，则. 由，可得，即，所以选项D正确. 故选：C. 9. 已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题知直线过定点，进而作出图形，数形结合求解即可得答案. 【分析】解：直线方程为转化为， 所以直线过定点，且与线段相交，如图所示， 则直线的斜率是， 直线的斜率是， 则直线与线段相交时，它的斜率的取值范围是或. 故选：A． 二、填空题 10. 已知，则的中点关于平面的对称点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点关于坐标平面对称点的特征可求对称点的坐标. 【详解】的中点为，故其关于平面的对称点的坐标为， 故答案为： 11. 已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线斜率的定义和两点求斜率公式建立方程，解之即可. 【详解】由题意知， 该直线的斜率为， 解得. 故答案为：. 12. 经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量为的直线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的交点坐标，由直线的方向向量得到直线斜率，求出直线方程. 【详解】联立可得，，故交点坐标为， 直线的一个方向向量为，故直线的斜率为， 所以直线方程为，即. 故答案为： 13. 若点、、在同一直线上，则实数k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由的斜率和的斜率相等，求出实数m的值． 【详解】因为三点、、在同一直线上， ∴的斜率和的斜率相等， 即， ∴. 故答案为：． 14. 已知点P(－，1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则点Q的坐标为_____． 【答案】(0，－2) 【解析】 【分析】设点坐标为，利用斜率与倾斜角的关系可知，解得即可. 【详解】因为在轴上，所以可设点坐标为， 又因为， 则，解得， 因此，故答案为. 【点睛】本题主要考查了直线的斜率计算公式与倾斜角的正切之间的关系，属于基础题. 15. 已知空间向量，则下列说法正确的有___________个 ①；②；③若，则；④与方向相同的单位向量为. 【答案】2 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标表示和模的计算，结合向量的数量级公式和单位向量的概念，逐项分析判断即可得解. 【详解】由，所以，①错误； 根据数积的定义可得，故②正确； ，若要， 则， 可得，故③正确； 与方向相同的单位向量为，故④错误. 故正确的有两个. 故答案为：2 三、解答题 16. 已知的顶点坐标为. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程； （3）求边上的高所在直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率再利用点斜式方程即可得出结果； （2）求出中点坐标再计算中线斜率，代入点斜式方程即可； （3）根据垂直关系得出斜率，再利用点斜式方程可求. 【小问1详解】 直线的斜率 过点且与直线平行的直线的斜率为 过点且与直线平行的直线方程为 即 【小问2详解】 设边的中点为，因为， 所以点的坐标为，即， 所以边的中线所在直线方程为 即 【小问3详解】 因为， 所以边的高线所在直线的斜率为， 因此边的高线所在直线方程为， 即 17. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 连接，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，AB，平面，所以平面， 又平面，则， 因为在直三棱柱中，所以四边形为正方形， 所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，则； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求证平面，再证明平面即可； （2）以A为原点建系，计算平面的一个法向量为，利用向量夹角和线面角之间的关系求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为直三棱柱中，，所以，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得， 设与平面所成角为， 所以， 即与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的余弦值为. 18. 已知直线，直线． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1），，若，则，求出参数后，需代入验证，排除两直线重合的情况； （2），，若，则，由此求参数即可. 【小问1详解】 因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 当时，， ，即，符合题意； 当时，，即， ，即，此时与重合，不符合题意. 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 所以或. 19. 如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. （1）求点到直线的距离 （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和在上的投影长，利用点到直线公式，即可求出点到直线的距离； (2)先求出平面的法向量，再利用向量法可求出点到平面的距离． 【小问1详解】 由题可知两两相互垂直， 如图，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 又分别是棱的中点，，得 因为 所以在上的投影长为 所以点到直线的距离为 【小问2详解】 由知，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以点到平面的距离为. 20. 如图，四棱锥中，侧棱平面，点是的中点，底面是直角梯形，. （1）求证：平面； （2）求异面直线和所成角的余弦值； （3）点在线段上，平面和平面的夹角为，求的值. 【答案】（1） 证明：平面，以为原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，点是的中点， ,， 则 平面，平面的一个法向量为. ， 平面， 平面 ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求证， （2）利用向量的夹角公式即可求解， （3）求两个平面的法向量，即可利用法向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设异面直线和所成的角为， 异面直线和所成角的余弦值为. 【小问3详解】 ， 设，则， 设平面的法向量为，则有 不妨令，得，. 设平面的法向量为，则有 不妨令，得， ， 平面和平面的夹角为， ， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $