精品解析：广东省汕头市潮阳区河溪中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

河溪中学2025-2026学年度第一学期期中考试 高二数学科试卷 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式化简集合M，再利用补集、交集的定义求解. 【详解】集合或，则， 而，所以. 故选：A 2. 设i为虚数单位，则复数（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算计算得解. 【详解】. 故选：C 3. 已知，若与平行，则（ ）． A. 2 B. 1 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及共线向量的坐标表示求解. 【详解】由，得，， 而与平行，则，所以. 故选：C 4. 已知直线，.则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，直线，直线， 因为，可得，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：A. 6. 已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论逐项判断即得. 【详解】平面外的任一点O，点共面的充要条件是，且， 对于A，由，得，点不共面，A不是； 对于B，由，得，点不共面，B不是； 对于C，由，得，点不共面，C不是； 对于D，由，得，点共面，D是. 故选：D 7. 有一天，数学家笛卡尔在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，突然想到，在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，这样就可以用一组数表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组有顺序的两个数来表示，这就是我们常用的平面直角坐标系雏形.如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，请利用平面直角坐标系与向量坐标，计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】以为原点，建立平面直角坐标系，求得，根据即为向量与的夹角，结合向量的夹角公式，即可求解. 【分析】以为原点，以所在的直线为轴，以过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，且分别为的中点， 则，可得， 可得，则，且， 因为即为向量与的夹角， 可得. 故选：A. 8. 某乒乓球比赛的友谊赛规则为：每组三支球队，先抽签决定第一局上场比赛的两支球队，第一局输的球队淘汰，获胜的球队与轮空的球队进行第二局比赛，第二局获胜的球队进入决赛.若A，B，C三支球队分在同一组，每局比赛相互独立且无平局，A队战胜B队的概率为，B队战胜C队的概率为，C队战胜A队的概率为，则A队进入决赛的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别计算出第一局为A，B两队比赛、A，C两队比赛、B，C两队比赛时，A队进入决赛的概率，再求和即可得A队进入决赛的概率． 【详解】若第一局为A，B两队比赛，则A队进入决赛的概率， 若第一局为A，C两队比赛，则A队进入决赛的概率， 若第一局为B，C两队比赛，则A队进入决赛的概率． 综上，所求概率． 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，若直线恒过点且与线段相交，则直线的斜率取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设，求出，由数形结合求解即可. 【详解】设, 则， 如图， 由图可知，当时，直线与线段相交， 故选：AC 10. 以下四个命题中正确的是（ ） A. 空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B. 若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底 C. 对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面 D. 向量，，共面，即它们所在的直线共面 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量基底的定义：任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，逐一分析A，B，D可判断这三个选项的正误，由共面向量定义来判断D的正误． 【详解】对于A，空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，A中忽略三个基底不共面的限制，故A错误； 对于B，若为空间向量的一组基底，则不共面，且均为非零向量，假设共面， 则， ，方程无解，即不共面， 则构成空间向量的另一组基底，B正确； 对于C，若， 则 整理得，则向量共面，即、、、四点共面，C正确； 向量，，共面，但是它们所在的直线不一定共面,故D错误. 故选：BC. 11. 下列命题中错误的是（ ）． A. 最小正周期为； B. 函数的图象的对称中心是； C. 在上有3个零点； D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出最小正周期判断A；求出对称中心判断B；求出零点判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，,故最小正周期为，A错误； 对于B，由，得，则函数的图象的对称中心是，B正确； 对于C，由，得或，而， 则，函数有1个零点，C错误； 对于D，当时，对于任意向量都与共线，而不一定共线，D错误. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线和互相平行，则它们之间的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用直线平行求出，在结合平行线之间的距离公式即可求解. 【详解】因为和互相平行，所以得，解得.则直线. 则平行线直接的距离为. 故答案为： 13. 直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为 ________ . 【答案】## 【解析】 【分析】求出旋转后的倾斜角再求斜率即可. 【详解】因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点逆时针旋转60°后，得到直线的倾斜角，斜率． 故答案为：． 14. 设函数，则满足的实数取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，得到，分和两种情况讨论，结合函数的图象和函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数， 令，因为，则， 当时，可得， 令，其中，作出两个函数的图象，如图所示： 所以时，方程无解； 当时，成立，由， 当时，可得，解得； 当时，可得，解得. 综上可得，实数取值范围是 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，以及指数函数和一次函数的图象与性质的应用，其中解答中结合分段函数的分段条件，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查分类讨论思想，以及运算能力. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为棱的中点．证明： （1）平面； （2）平面平面． 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 分别是的中点， ，且， 又，且， 且， 四边形为平行四边形， ， 又平面平面， 平面 （2）证明：底面，平面，， ，，， ，平面， 平面， 平面， 平面平面 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用三角形中位线定理结合已知条件可证得四边形为平行四边形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由题可得和，可得平面，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）若，求外接圆的半径； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，即可由余弦定理求解， （2）根据向量的线性表示，结合模长公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 所以， 则由余弦定理得， 又，所以， 设外接圆的半径为， 则 【小问2详解】 由，得， 所以， 则 ， 所以． 17. 我校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： （1）估计我校高一期中数学考试成绩的众数、平均分； （2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 【答案】（1）众数是，平均分是93 （2）. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，求得，结合众数和平均数的计算公式，即可求解； （2）利用列举法求得样本空间中样本点的总数及所求事件中所包含样本点的个数，利用古典概型的概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 由，可得． 即数学成绩在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 在频率为. 数学成绩在内的最多，所以众数是， 平均分是. 【小问2详解】 由题意可知，数学成绩在内的人数为（人），在内的人数为（人）． 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生， 则需在内抽取2人，分别记为、；[70，90)内抽取3人，分别记为、、， 记事件为“抽取的这2名学生至少有1人成绩在内”， 则样本空间为，共包含10个样本点， 而事件，包含7个样本点， 故，即抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为. 18. 如图，在四棱锥中，已知，是等边三角形，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接，， 因为是等边的中线，所以， 因为是棱的中点，为的中点，所以，且， 因为，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以. 因为，为的中点，所以，从而， 又，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，由题意可证得，，，再由线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面法向量，再由二面角的向量公式代入即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，因为平面， 所以，又，，平面， 所以平面，从而平面. 以为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为等边的边长为， 所以，，，，. 设平面的一个法向量为，由，得， 令，则，，所以， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成锐二面角为， 所以，则， 即平面与平面所成二面角的正弦值为. 19. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. （3）若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 （3）S的最小值为16，此时直线l的方程为． 【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解； （3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，即可确定直线的方程． 【小问1详解】 由直线可得直线的斜率为， 依题意，所求直线斜率为，则其方程可设为， 该直线经过点，则，解得， 故所求直线方程为，即； 【小问2详解】 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入解得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上，所求直线方程为或. 【小问3详解】 由题可知， 在中，令，解得，即得A， 再令，可得，即得， 故， 则 当且仅当，即时取等号， 故S的最小值为16，此时直线l的方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河溪中学2025-2026学年度第一学期期中考试 高二数学科试卷 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 设i为虚数单位，则复数（ ）． A. B. C. D. 3. 已知，若与平行，则（ ）． A. 2 B. 1 C. 6 D. 3 4. 已知直线，.则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 6. 已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（ ） A. B. C. D. 7. 有一天，数学家笛卡尔在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，突然想到，在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，这样就可以用一组数表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组有顺序的两个数来表示，这就是我们常用的平面直角坐标系雏形.如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，请利用平面直角坐标系与向量坐标，计算的值为（ ） A. B. C. D. 8. 某乒乓球比赛的友谊赛规则为：每组三支球队，先抽签决定第一局上场比赛的两支球队，第一局输的球队淘汰，获胜的球队与轮空的球队进行第二局比赛，第二局获胜的球队进入决赛.若A，B，C三支球队分在同一组，每局比赛相互独立且无平局，A队战胜B队的概率为，B队战胜C队的概率为，C队战胜A队的概率为，则A队进入决赛的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，若直线恒过点且与线段相交，则直线的斜率取值可能是（ ） A. B. C. D. 10. 以下四个命题中正确的是（ ） A. 空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B. 若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底 C. 对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面 D. 向量，，共面，即它们所在的直线共面 11. 下列命题中错误的是（ ）． A. 最小正周期为； B. 函数的图象的对称中心是； C. 在上有3个零点； D. 若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线和互相平行，则它们之间的距离是______. 13. 直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为 ________ . 14. 设函数，则满足的实数取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为棱的中点．证明： （1）平面； （2）平面平面． 16. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）若，求外接圆的半径； （2）若，求线段的长． 17. 我校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： （1）估计我校高一期中数学考试成绩的众数、平均分； （2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 18. 如图，在四棱锥中，已知，是等边三角形，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值. 19. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. （3）若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $