第4章 三角形 小结与评价 学案 2025-2026学年湘教版数学八年级上册

该初中数学第4章三角形知识清单系统梳理了三角形性质、全等判定、等腰等边三角形、垂直平分线及尺规作图等核心内容，构建了从“基础概念回顾”到“定理应用训练”再到“综合问题解决”的递进式学习支架。 清单以“知识图谱”整合知识体系，“思考回顾”配“牛刀小试”即时巩固，标注辅助线添加等重难点，分层设计必做与选做题，培养逻辑推理与几何直观能力。助力学生自主梳理知识，教师精准把握教学方向，提升复习效率。

第4章 三角形 第4章 小结与评价 ► 学习目标与重难点 学习目标： 1.系统回顾三角形的三边关系、内角和定理、外角性质及分类标准。 2.熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.掌握垂直平分线的性质与判定，并能结合尺规作图解决实际问题。 4.通过“命题—证明—应用”训练，提升逻辑推理与几何直观能力。 5.运用尺规作图验证几何性质，培养实践操作与数学建模能力。 学习重点： 1.三角形性质与判定定理的综合应用。 2.尺规作图的操作规范与几何依据。 学习难点： 1.复杂图形中辅助线的添加（如构造中位线、垂直平分线）。 2.多次全等证明及几何语言规范表述。 ► 教学过程 一、知识图谱 二、思考回顾 教材第146页 1.三角形的三边之间有怎样的关系？什么是三角形的内角和定理？ 【牛刀小试】1.以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（　　） A．2，3，6 B．3，4，8 C．5，6，10 D．7，8，18 2.在中，若，则此三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2.什么是命题？如何判断一个命题是真命题还是假命题？ 【牛刀小试】下列命题中为真命题的是（　　） A． B．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C．同旁内角互补 D．有理数与数轴上的点一一对应 3.什么是互逆命题？原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？反证法的基本思路是怎样的？ 【牛刀小试】下列命题，①对顶角相等；②两直线平行，同位角相等；③全等三角形的对应角相等．其中逆命题是真命题的命题共有　 　个． 4.全等三角形有哪些性质？如何判定两个三角形全等？ 【牛刀小试】下列条件中，能判定 的是（　　） A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 5.什么是等腰三角形的性质定理？什么是等腰三角形的判定定理？等边三角形呢？ 【牛刀小试】下列说法中：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②有一个角是60°的三角形是等边三角形；③若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形；④成轴对称的两个三角形一定是全等三角形。其中正确的说法共有（　　）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 6.什么是线段的垂直平分线？线段的垂直平分线的性质定理和它的逆定理分别是什么？ 【牛刀小试】如图，中，，，是边上的垂直平分线，的周长为，则的长度是　 　． 7.举例说明本章学习的几种尺规作图. 三、注意事项 1. 一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一. 2. 判断一个命题是真的，需要进行证明. 难以直接证明时，常用反证法. 3. 判断一个命题是假的，只需要举出一个反例，使之符合命题的条件，但是不满足命题的结论. 4. 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题. 5. 由于全等三角形的对应边相等、对应角相等，因而证明线段相等或角相等时，常常先证明有关的两个三角形全等. 四、课堂练习 【知识技能类作业】 必做题 1.已知等腰三角形的两边长分别为5cm和7cm，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．7cm B．16cm C．19cm D．17cm或19cm 2.已知下列命题： ①若，则；②若，则；③同位角相等，两直线平行；④对顶角相等． 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（　　） A．3对 B．4对 C．2对 D．5对 选做题 4.要说明命题“一个正数的算术平方根一定小于这个数”是假命题，可以按以下举反例说明：当　 　时，　 　，得　 　a，所以这是一个假命题． 5.如图，CD是△ABC的高，且CD平分∠ACB，∠BAC＝70°，∠CFE＝25°，则∠CEF＝　 　°． 6.如图，在△ABC中,AB=AC，∠ACB=60°，D是线段BC上一点，连接AD，在线段AD上分别取两点E，F，连接CE，BF，若∠BAD=∠ACE，∠BFD=60°，CE=5，则AF的长为　 　. 【综合拓展类作业】 7.为了测量一幢高楼的高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为米，求楼高是多少米？ 五、作业布置 1.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（　　） A． B． C． D． 2.如图，，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3.如图，在等边三角形中，是边上的中线，且，是上的一个动点，是边的中点，的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4.如图。在△ABC中，DE、DF分别为BC、AB边的垂直平分线，连接AD、CD， （1）求证：DC = DA； （2）若∠B=30°．AC=5，则△ACD的周长为　 　。 答案解析 课堂练习： 1.【答案】D 【解析】解：①当腰是5cm，底边是7cm时，能构成三角形， 则其周长； ②当底边是5cm，腰长是7cm时，能构成三角形， 则其周长. 故答案为：D. 2.【答案】B 【解析】①若a≤0，则|a|=-a，是真命题， 逆命题是若|a|=-a则a≤0，是真命题， ②若ma2＞na2，则m＞n，是真命题， 逆命题是若m＞n，则ma2＞na2，是假命题， ③同位角相等，两直线平行，是真命题， 逆命题是两直线平行，同位角相等，是真命题， ④对顶角相等，是真命题， 逆命题是相等的角是对顶角，是假命题， 原命题与逆命题均为真命题的个数是2个； 故答案为：B． 3.【答案】A 【解析】解：由图可知AC=AC ∵AB＝AD，CB＝CD， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD， △ABO≌△ADO（SAS）， △CBO≌△CDO(SAS)， 一共有三对全等，故选A. 4.【答案】、、. 【解析】解：当时，， ∵， ∴， ∴这是一个假命题. 故答案为：、、. 5.【答案】115 【解析】解：∵CD是△ABC的高， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， 在△ACD与△BCD中， ， ∴△ACD≌△BCD（ASA）， ∴AC=BC， ∴∠B=∠BAC=70°， ∴∠ACB=180°-70°-70°=40°， ∵∠ACB+∠F+∠CEF=180°， ∴∠CEF=180°-40°-25°=115°. 故答案为：115. 6.【答案】5 【解析】解：∵AB=AC，∠ACB=60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴ ∠BAC =60°， ∵ ∠BFD=∠ABF+∠BAD = 60°， ∠BAC = ∠BAD +∠CAD = 60°， ∴∠ABF=∠CAE， ∵ AB=AC，∠BAD =∠ACE， ∴△BAF≌△ACE(ASA)， ∴AF=CE=5. 故答案为：5. 7.【答案】解：米，米， （米， ，，， ∴∠CPD+∠APB=90°，∠DCP+∠DPC=90°， ， 在和中， ， ∴（ASA）， ， 答：楼高是25米． 作业布置： 1.【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∵ E与A，C在一条直线上， ∴∠ACB=∠ECD. 在和中， ， ∴， ∴， ∴依据是， 故答案为：C． 2.【答案】B 【解析】解：∵， ∴∠ACD=∠1=65°， ∵， ∵， ∴， 故答案为：B 3.【答案】B 【解析】解：如图，连接CE，CF，如图所示： 是等边三角形，AD是BC边的中线，是边的中点， ⊥，CF⊥AB， ∴CF=AD=6，BE=CE， ， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为=6， 的最小值为， 故答案为：B． 4．【答案】（1）证明：连接BD， ∵DE、DF分别为BC、AB边的垂直平分线． ∴DC = DB，DA = DB， ∴DC = DA． （2）15 （2）连接BD延长交AC于点H 由（1）得：DC = DB，DA = DB ∴ ∴ ∴ ∵DC = DA ∴ ∴三角形ACD为等边三角形 ∴周长为：AC+AD+CD=3AC=15 故答案为：15 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $