15.3.2 角的平分线的性质与判定 课件- 2025--2026学年沪科版八年级数学上册

【2025新教材】沪科版数学 八年级上册 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.3.2角的平分线的性质与判定 1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点） 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;（难点） 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． 学习目标 15.3.2 角的平分线的性质与判定 教学课件 一、教学目标 1. 知识与技能：理解角的平分线的性质与判定定理的内容，能准确表述定理；掌握定理的证明方法，并能运用定理解决几何问题。 2. 过程与方法：通过动手操作、小组讨论等探究活动，培养几何直观和逻辑推理能力；体会“观察—猜想—验证—证明”的数学研究过程。 3. 情感态度与价值观：感受数学知识的严谨性和实用性，激发对几何学习的兴趣；在合作探究中培养团队协作意识。 二、教学重难点 - 重点：角的平分线的性质与判定定理的理解及应用；区分性质与判定的联系与区别。 - 难点：定理证明过程中辅助线的添加思路；在复杂几何情境中灵活运用两个定理解决问题。 三、教学准备 多媒体课件、直尺、圆规、量角器、练习本。 四、教学过程 （一）复习回顾，引入新课（5分钟） 1. 旧知回顾 提问1：什么是角的平分线？请结合图形用几何语言表示。 引导学生回答：从角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线叫做角的平分线。如图1，若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC；反之，若∠AOC=∠BOC，则OC平分∠AOB。 提问2：如何用尺规作图作出已知角∠AOB的平分线？ 请一名学生口述步骤，教师在课件上同步演示：①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA、OB于两点；②分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长为半径画弧，两弧交于∠AOB内部一点C；③作射线OC，OC即为∠AOB的平分线。 2. 情境设疑 在所作的角平分线OC上任意取一点P，过P作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。请大家用刻度尺测量PD和PE的长度，猜想它们的数量关系。（学生测量后发现PD=PE） 追问：这个猜想是否普遍成立？反过来，如果一个点到角的两边距离相等，这个点是否在角的平分线上？今天我们就深入探究这两个问题——角的平分线的性质与判定。 （二）探究新知，证明定理（15分钟） 1. 角的平分线的性质定理 （1）猜想与验证 引导学生结合刚才的操作提出猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 组织学生分组讨论：改变点P在OC上的位置，重复“作垂线—测量距离”的操作，观察PD与PE的关系是否始终相等。学生分享结果后，教师总结：无论P在OC上的哪个位置，PD都等于PE，猜想具有普遍性。 （2）严谨证明 已知：如图2，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。 求证：PD=PE。 引导学生分析：要证明两条线段相等，常用方法是证明它们所在的三角形全等。这里PD和PE分别在△PDO和△PEO中，可通过全等证明。 师生共同书写证明过程： ∵OC平分∠AOB（已知），∴∠DOP=∠EOP（角平分线定义）。 ∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直定义）。 在△PDO和△PEO中： ∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP（公共边）， ∴△PDO≌△PEO（AAS）。 ∴PD=PE（全等三角形对应边相等）。 （3）定理总结与几何语言 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何语言：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB（已知），∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。 易错提示：定理的应用必须满足“角平分线”“垂直距离”两个前提，仅知道点在角平分线上，无垂直条件时，不能直接得出线段相等。 2. 角的平分线的判定定理 （1）逆向思考，提出问题 提问：性质定理说“角平分线上的点到两边距离相等”，反过来，“在角的内部，到角的两边距离相等的点，是否在这个角的平分线上？” （2）探究与证明 已知：如图3，点P在∠AOB内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE。 求证：点P在∠AOB的平分线上（即OP平分∠AOB）。 学生自主尝试证明，教师巡视指导，重点关注辅助线添加（连接OP）和全等判定方法。 指名学生板演证明过程，教师点评完善： 连接OP（构造公共边）。 ∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直定义）。 在Rt△PDO和Rt△PEO中： OP=OP（公共边），PD=PE（已知）， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。 ∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等）。 ∴OP平分∠AOB，即点P在∠AOB的平分线上。 （3）定理总结与几何语言 判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，且点P在∠AOB内部（已知），∴点P在∠AOB的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）。 易错提示：“在角的内部”是关键条件，若点在角的外部，即使到两边距离相等，也不在角的平分线上。 （三）对比辨析，深化理解（5分钟） 通过表格形式引导学生对比性质与判定定理，明确两者的区别与联系： 名称 条件 结论 作用 逻辑关系 性质定理 点在角的平分线上；点到角两边的距离（垂直） 距离相等 证明线段相等 互为逆命题，都与角平分线和点到边的距离相关 判定定理 点在角的内部；点到角两边的距离相等（垂直） 点在角的平分线上 证明点的位置（点在角平分线上） 口诀记忆：性质“知位置（角平分线）得数量（距离相等）”，判定“知数量（距离相等）得位置（角平分线）”。 （四）例题解析，巩固应用（12分钟） 例1：性质定理的直接应用 如图4，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB=10cm，AC=8cm，△ABC的面积为45cm²，求DE的长度。 解题步骤： 1. 由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，根据性质定理得DE=DF（设DE=DF=x）。 2. △ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，即$\frac{1}{2}×AB×DE + \frac{1}{2}×AC×DF = 45$。 3. 代入数据：$\frac{1}{2}×10x + \frac{1}{2}×8x = 45$，解得$9x=45$，$x=5$。 4. ∴DE的长度为5cm。 例2：判定定理的直接应用 如图5，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF交于点D，且BD=CD。求证：AD平分∠BAC。 解题思路：要证AD平分∠BAC，需证点D到AB、AC的距离相等（即DF=DE）。 证明过程： ∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°（垂直定义）。 在△BFD和△CED中： ∠BFD=∠CED，∠BDF=∠CDE（对顶角相等），BD=CD（已知）， ∴△BFD≌△CED（AAS）。 ∴DF=DE（全等三角形对应边相等）。 又∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC（判定定理）。 例3：综合应用 如图6，在四边形ABCD中，BC⊥AB，BC⊥CD，M是BC的中点，AM平分∠DAB。求证：DM平分∠ADC。 提示：过M作ME⊥AD于E，利用角平分线性质得BM=ME，再结合中点条件得ME=CM，最后用判定定理证明DM平分∠ADC。（学生独立完成，教师点评） （五）随堂练习，反馈提升（5分钟） 1. 如图7，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，PC=4，则PD=（ ）（答案：2） 2. 在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若CD=3，则点D到AB的距离为______（答案：3） 3. 求证：角的内部到角两边距离相等的点的集合是这个角的平分线（结合两个定理说明）。 （六）课堂小结，梳理知识（2分钟） 1. 两个定理：角的平分线的性质定理（知位置得数量）和判定定理（知数量得位置）。 2. 核心思想：数形结合、逆向思考（性质与判定的互逆关系）。 3. 易错点：忽视“垂直距离”和“角的内部”这两个前提条件。 （七）布置作业，拓展延伸（1分钟） 1. 教材习题15.3第4、5、6题（基础巩固）。 2. 拓展题：如图8，某工厂要在∠AOB内部建一个仓库，使仓库到OA、OB两条公路的距离相等，且到公路旁两个仓库C、D的距离相等，试确定仓库的位置（尺规作图，保留痕迹）。 五、板书设计 15.3.2 角的平分线的性质与判定 一、性质定理 二、判定定理 1. 内容：角平分线上的点到角两边距离相等 1. 内容：角内部到两边距离相等的点在角平分线上 2. 几何语言： 2. 几何语言： ∵OC平分∠AOB，P在OC上， ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE（P在∠AOB内） PD⊥OA，PE⊥OB ∴P在∠AOB的平分线上 ∴PD=PE 3. 作用：证线段相等 3. 作用：证点在角平分线上 三、区别与联系 四、例题解析（例1、例2） 互逆命题，都需“垂直”和“角内部” 如图，要在 S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处 500 米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为 1︰20000） D C S 解：作夹角的角平分线 OC， 截取 OD = 2.5 cm，D 即为所求. O 新课导入 角平分线的性质 思考 如图, OE 是 ∠AOB 的平分线，P 是 OE 上的任一点，过点 P 分别作 PC⊥OA，PD⊥OB，点 C，D 是垂足. PC、PD 的长有什么关系吗？证明你的猜想. A O B P C D E 新课讲解 证明 ∵ OP平分∠AOB，（已知) ∴ ∠COP=∠DOP.（角平分线的定义) 又∵ PC⊥OA，PD⊥ OB ，(已知) ∴∠PCO =∠PDO = 90°.（垂直的定义) 如图, OE 平分∠AOB，P 是 OE 上的任一点，PC ⊥ OA 于点 C，PD⊥OB于点 D .求证：PC = PD. A O B P C D E ∵在 △ PCO 和 △ PDO中， ∠COP =∠DOP ， ( 已证 ) ∠PCO =∠PDO，( 已证 ) OP = OP， (公共边) ∴△PCO≌△PDO. (AAS) ∴ PC = PD 新课讲解 定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 点在角的平分线上； (2) 到角两边的距离(垂直). 定理的作用： 证明线段相等. B A D O P E C 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， 推理的条件有三个，必须写完全，不能少. 要点归纳 判一判：(1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)， 所以 BD ＝ CD . ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 × B A D C (2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)， 所以 BD ＝CD. ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 × B A D C 新课讲解 例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC. A B C D E F 证明：∵AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB， DF⊥AC， ∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， DE = DF， BD = CD， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL). ∴ EB = FC. 例题讲解 变式：如图，在直角△ABC 中，∠C ＝ 90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC ＝ 4， AB ＝ 14. (1) 则点 P 到 AB 的距离为_____； (2) 求 △APB 的面积. A B C P D 4 温馨提示：存在一条垂线段 —— 构造应用 故 AB · PD = 28. 解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4， 新课讲解 1. 应用角平分线的性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2. 联系角平分线的性质： 面积 周长 条件 角平分线的性质 方法归纳 思考：写出上面角平分线性质定理的逆命题. 这个逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 角平分线上的点到角两边的距离相等 逆 命 题 思考：这个结论正确吗？ 角平分线的判定 新课讲解 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上. 证明： 作射线 OP， ∴ 点 P 在∠AOB 角的平分线上. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， (全等三角形的对应角相等). OP = OP (公共边)， PD = PE (已知)， B A D O P E ∵ PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO ( HL). ∴ ∠DOP =∠EOP 新课讲解 角平分线判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE. ∴点 P 在 ∠AOB 的平分线上. 方法归纳 例2 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) O N M A B 例题讲解 O N M A B P 方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在这两点连线的垂直平分线上. 解：如图所示： 例题讲解 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分 ∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 新课讲解 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点 三角形的内角平分线 新课讲解 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一 量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的 垂线段相等 你能证明这个结论吗？ 新课讲解 已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P， 求证： (1) 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F. ∵BM 是 △ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上， ∴PD = PE. 同理 PE = PF. ∴PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. D E F A B C P N M 证明结论： 新课讲解 (2) 连接 AP，求证：AP 平分∠BAC. 由 (1) 得， PD = PF (已证). 又∵ PD⊥AB，PF⊥AB， ∴ AP 平分∠BAC (角平分线上的点到角两边的距离相等). 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M 新课讲解 变式1：如图，在直角 △ABC 中，AC ＝ BC，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM ＝ 4， (1)求点 O 到 △ABC 三边的距离和. M E N A B C P O D 温馨提示：不存在垂线段 — — 构造应用 12 新课讲解 解：连接 OC， (2)若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积. M E N A B C P O D S△ABC = S△AOB＋S△BOC＋S△AOC， 新课讲解 2.联系角平分线性质： 距离 面积 周长 1.应用角平分线的判定与性质： 判定角平分线 距离问题 条件 要点归纳 2. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的距离是 . A B C D 3 E 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = . 60 BF E B D F A C G 课堂练习 3. 在 Rt△ABC 中，BD 平分∠ABC，DE⊥AB 于 E，则： (1) 哪条线段与 DE 相等？为什么？(2) 若 AB＝10， BC＝8，AC＝6，求 BE，AE 的长和 △AED 的周长. 解：(1) DC＝DE. 理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等. (2) 在 Rt△CDB 和 Rt△EDB 中，DC = DE，DB = DB，∴ Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)， ∴ BE＝BC＝8.∴ AE＝AB - BE＝2. ∴△AED 的周长为AE + DE + DA＝ AE + DC + DA= AE + AC = 2 + 6＝8. E D C B A 6 8 10 课堂练习 4. 已知：如图，OD 平分∠POQ，在 OP，OQ 边上取OA＝OB，点 C 在 OD 上，CM⊥AD 于 M，CN⊥BD 于 N. 求证：CM ＝ CN. 证明：∵ OD 平分∠POQ， ∴∠AOD = ∠BOD. 在△AOD 与△BOD 中， OA = OB， ∠AOD =∠BOD， OD = OD， ∴△AOD≌△BOD (SAS). 又∵ CM⊥AD ，CN⊥BD ， ∴ CM = CN. ∴∠ADO =∠BDO. 课堂练习 5.如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F，求证：点 F 在∠DAE 的平分线上． 证明：过点 F 作 FG⊥AE 于 G，FH⊥AD 于 H，FM⊥BC 于 M. ∵点 F 在∠BCE 的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点 F 在∠CBD 的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH. ∴FG＝FH. ∴点 F 在∠DAE的平分线上.　　　 G H M A B C F E D 课堂练习 知识点1 角平分线的性质 1. 如图，为 的平分线， ，，垂足分别是点, , 则下列结论不一定正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 28 2. 已知是等腰三角形底边上的高，若点 到直线 的距离为3，则点到直线 的距离为( ) C A. B. 2 C. 3 D. 返回 考试考法 29 （第3题） 3. ［2024天津］如图， 中， , ，以点 为圆心， 适当长为半径画弧，交于点，交 于点；再分别以点, 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧（所在圆的 B A. B. C. D. 半径相等）在的内部相交于点；画射线，与 相 交于点，则 的大小为( ) 考试考法 30 （第3题） 【点拨】 , ， . 由作图知，平分 ， . . 返回 考试考法 31 （第4题） 4. 如图，在 中，以点 为圆心，任意长 为半径作弧，分别交, 于点 ,；分别以点， 为圆心，大 12 于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点 . 若,,的面积为8，则 的面积为____. 返回 考试考法 32 知识点2 角的平分线的判定 （第5题） 5. 如图，， ，垂足分别 为，，，相交于点 ，若 ，则与 的大小关系是( ) A A. B. C. D. 无法确定 返回 考试考法 33 （第6题） 6. ［2025东莞期中］小明将两把完全 相同的长方形直尺（单位： ）如图 放置在 上，两把直尺的接触点为 ，边 与其中一把直尺边缘的交点为 ，点, 在这把直尺上的刻度读数分 别是2和5，则 的长度是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 34 易错点 因考虑问题不全面而漏解 7.如图，直线,, 表示三条两两相互交叉的公路,现在拟建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距离都相等,则可供选 择的地址有___处. 4 返回 考试考法 35 8.［2025宿州校级模拟］如图，钝角三角形 的面积为14， 最长边，平分，点，分别是， 上的 动点，则 的最小值为___. 4 （第8题） 考试考法 36 【点拨】如图，过点作于点 ， 交于点，过点作于点 ， 此时有最小值. 平分 面积为14，， ， ，即 的最小值为4. ，，， ， 三角形 的 返回 考试考法 37 角平分线的性质及判定 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 重要结论 三角形的角平分线相交于内部一点 课堂小结 谢谢观看！ $