精品解析：上海市松江二中2025-2026学年高二上学期第一次周测数学试题

2025学年第一学期高二数学周日测试1 （考试时间：90分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.） 1. 直线与平面所成角的范围是_________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用直线与平面所成角的定义可得结论. 【详解】直线和平面所成的角，应分三种情况： ①直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； ②直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为； ③直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为． 显然，斜线和平面所成角的范围是；直线和平面所成的角的范围为． 故答案为：． 2. 某古典概型的样本空间，事件，则___________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据定义直接计算得到答案. 【详解】. 故答案为：. 3. 已知直线l与平面，“l与内无数条直线平行”是“”的______条件. 【答案】必要非充分 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面平行的判定分析判断. 【详解】若l与内无数条直线平行，则或， 若，则l与内无数条直线平行， 所以“l与内无数条直线平行”是“”的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 4. 将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】确定圆柱的底面半径和母线长，利用侧面积求解公式可得. 【详解】圆柱的底面半径为，母线长为，所以该圆柱的侧面积为. 故答案为：． 5. 如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用原图和直观图的对应关系将直观图还原，即可得到原三角形的面积. 【详解】如图，将直观图还原，则， 的面积为. 故答案为：2. 6. 圆锥的侧面积是，母线长为4，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________ 【答案】##0.375 【解析】 【分析】利用圆锥侧面积公式,求出圆锥的底面半径,再由线面角的定义求出圆锥母线与底面所成角的余弦值即可. 【详解】设圆锥的底面半径为, 母线长, ,. 设圆锥母线与底面所成角为, . 故答案为: . 7. 如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则三棱锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用等体积法求出三棱锥的体积； 【详解】因为，，，所以，所以， 又因为,,平面； 所以平面， 所以平面，， ； 故答案为： 8. 现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是____________． 【答案】0.3## 【解析】 【分析】根据古典概型，先求出样本空间，再求出条件空间即可. 【详解】从5根木棍中任取3个共有 种，符合条件有 3种， 能搭成一个三角形的概率 ； 故答案为： . 9. 已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正四棱台的结构特征和性质求出球的半径，进而可求出球的表面积. 【详解】设正四棱台上、下底面所在圆面的半径分别为， 所以．设球心到上底面的距离为，球的半径为， 所以球心到下底面的距离为， 解得，所以该球的表面积． 故答案为：. 10. 正方体的棱长为1，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．问质点走完的第2025段与第1段所在的直线所成角的大小是______． 【答案】 【解析】 【分析】以第一段为为例，列出前三段的所有情况找出规律，根据周期研究即可. 【详解】依题意可得质点运行路线为， 或， 或， 或， 或， 或， 即走过4段后又回到起点，可以看作以4为周期， 不妨令第1段走且按照，则第5段一定是，若为（），此时与第3段共线，矛盾； ， 则质点走完的第2024段恰好回到起点，则第段只能是， 即第段为，此时与第段重合，此时两直线所成角为； 质点走完的第段与第1段所在的直线所成的角是． 故答案为： 11. 在棱长为1的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】证明平面平面，得点的轨迹，由此可得的最大值为的长，最小值为到平面的距离，求出距离后可得． 【详解】连接，正方体中由与平行且相等得是平行四边形，从而， 又平面，平面，所以平面，同理平面， 又，平面，所以平面平面， 平面，则平面， 所以动点的轨迹形成的区域为的边界及内部，的最大值为即的长， 的最小值为到平面的距离， 连接交于点，连接交于点，， 由平面，平面，得， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以，同理， 又因为，平面，所以平面， 同理可证，所以，从而， 故线段的长的取值范围是． 故答案为：． 12. 在正三棱锥中，，点在内部运动（包括边界），点到棱的距离分别记为，且，则点运动路径的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，结合正三棱锥可得在底面内的投影为底面的中心，且，做辅助线结合长方体的性质可得，即可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆的一部分即可求解. 【详解】由题意可知：， 则， 可知， 因为三棱锥为正三棱锥，则点在底面内的投影为底面的中心， 取的中点，则，， 设点在平面、平面和平面内的投影分别为、和， 根据正三棱锥的结构特征，可以以为邻边作长方体， 则平面，平面，则，即， 同理可知：， 由长方体的性质可知：， 可得，即， 又因为平面，平面， 则，可得， 可知点在以点为圆心，半径的圆上， 因为，可知与圆相交， 设圆与交于两点，则， 可知为等边三角形，则， 结合对称性可知点运动路径的长度为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分．每题有且只有一个正确答案，考生在答题纸相应位置作答，选对得满分，否则一律得零分） 13. 已知事件A和事件B满足，则下列说法正确的是（ ）． A. 事件A和事件B独立 B. 事件A和事件B互斥 C. 事件A和事件B对立 D. 事件和事件B互斥 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件、对立事件的定义逐项判断可得答案. 【详解】因为事件A和事件B满足，则一定可以得到事件A和事件B互斥， 但不一定对立，故B正确，C错误； 对于A，因为，当不为时0，事件A和事件B不独立，故A错误； 对于D，抛掷一枚骰子，记出现1点为事件A，出现2点为事件B， 则，显然事件和事件不互斥，故D错误. 故选：B. 14. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，则 C. 若m，n是异面直线，，，，，则 D. 平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项中的线面关系，利用面面平行的判定定理和线面平行的判定定理及空间想象逐一判断即可. 【详解】A：若，，则或，错， B：若，，则平行、异面、相交均可能，错， C：假设，因，则，又，则，故，这与是异面直线矛盾，故假设不成立，即，对， D：平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交，（如：三点中有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧），错. 故选：C 15. 在一次校园安全知识竞赛中，甲､乙､丙同时回答一道题，每人回答问题正确与否相互独立，甲答对的概率是，甲､乙两人都答对的概率是，乙､丙两人都答错的概率是，则甲､乙､丙三人中，至少有一人答对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立事件的乘法公式，以及对立事件的概率公式可求得答案. 【详解】记事件：甲答对这道题；事件:乙答对这道题；事件：丙答对这道题. 由题可知：事件相互独立，且, 所以 因为，所以,所以 因为事件相互独立，所以事件相互独立. 所以所以. 所以 即没有人答对该题的概率为： 所以至少有一人答对该题的概率为： 故选：C. 16. 三棱锥各顶点均在半径为的球O的表面上，，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（ ） ①三棱锥的体积为；②点P形成的轨迹长度为． A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据球的截面圆的性质可得出二面角，利用直角三角形性质判断外心和外心的位置，利用垂直关系证明是中点，利用体积公式判断①，根据为定长判断点轨迹是圆，判断②． 【详解】由题意知，故, 设外心为，则为BC的中点，设外心为，当P、O位于平面ABC同侧时，如图， 则平面，平面， 平面，平面，，， ，平面，平面， 又因为，则平面，即，，，四点共面， 则平面， 连接，则为二面角的平面角， 因二面角的大小为，， 而，， 因为平面，平面，故， 而，则， 在中，， 则，故， 即三点共线，且是的中点， 则，故①是真命题； 又因为， 则点形成的轨迹是以为圆心，半径为的圆被BC截得的优弧， 同理，当P、O位于平面ABC异侧时，点形成的轨迹是以为圆心，半径为的圆被BC截得的劣弧， 故轨迹长度为，故②真命题． 故选：A． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，在直四棱柱中，底面为正方形，E为棱的中点，P为棱的中点，，． （1）证明：平面平面． （2）求点A到平面的距离． 【答案】（1） 证明:连接，因为，所以四边形是平行四边形， 可得，又因为平面，平面，所以平面， 因为，所以四边形是平行四边形， 可得，又因为平面，平面，所以平面， 且，平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行、面面平行的判定定理可得答案； （2）利用等体积转化可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， ，可得是等边三角形， 所以， ， 设点A到平面的距离为， 由得，， 解得，所以点A到平面的距离为. 18. 有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球． （1）写出这个试验的一个等可能的样本空间； （2）事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”．判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由． 【答案】（1） （2） 事件A和事件B相互独立，理由如下： 因为，， 所以，， 因为，所以， 因为，所以事件A和事件B相互独立. 【解析】 【分析】（1）根据题意，用列举法进行求解； （2）根据相互独立事件的定义，结合古典概型公式进行求解. 【小问1详解】 依题意，样本空间为 【小问2详解】 略 19. 如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是BC上异于B、C的点. （1）求证：平面平面； （2）当二面角的大小为时，求直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：由题设，平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，故， 由圆的性质有，都在平面内，故平面， 由平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知可推得，又，根据线面垂直的判定定理得平面，然后根据面面垂直的判定定理，即可可证； （2）由已知可推得即为二面角的平面角，即，进而求出，在中得出，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，所以在平面上的投影为， 所以直线CA与平面ABM所成角， 由二面角的大小为，，故， 由，则，，， 由平面，则，故. 所以直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 20. 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）．一般地，设圆锥中母线与圆柱底面半径所成角的大小为α，当时，方能满足建筑要求，已知圆锥高为米，底面半径为米，圆柱高为3米，底面半径为2米． （1）求几何体的表面积； （2）如图2，设E为圆柱底面半圆弧的三等分点（靠近点D），判断该亭子是否满足建筑要求． 【答案】（1） （2）不满足建筑要求 【解析】 【分析】（1）由几何体的表面积等于圆锥的全面积加上圆柱的侧面积即得； （2）取中点，连接，得，从而得是异面直线与所成的角或其补角，作交于，计算出，然后由余弦定理求解. 【小问1详解】 由已知圆锥的母线长为， 几何体的表面积等于圆锥的全面积加上圆柱的侧面积. 所以所求表面积为. 【小问2详解】 取中点，连接，因为是中点，所以， 是圆柱的一条母线，则， 所以是异面直线与所成的角或其补角， 作交于，则是中点，且平面， 又平面，所以， 由（1）知，，则， 又，，，， 在中，由余弦定理得， ， 在中，由余弦定理得， 即，且为锐角， 所以，该亭子不满足建筑要求. 21. 如图，在矩形 中，，， 是线段 上的一动点，将沿着折起，使点 到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影 落在线段 上． （1）当点 与点 重合时，证明：平面； （2）当点 与点 重合时，求二面角的余弦值； （3）设直线与平面所成的角为 ，二面角的平面角为 ，求的最大值． 【答案】（1） 证明：当点M与端点D重合时，由可知， 由题意知平面 ，平面 ，所以， 又 ，，平面，平面， 所以平面，又平面，可知 ，平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明和，证明平面； (2) 作于点，连接，证明为二面角的平面角，分别求出，借助于即可求得该角的余弦值； （3）由几何法找到 和，表示出，利用函数方法可求最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作于点，连接，因平面，平面，则， 又平面，则平面，又平面，则， 故为二面角的平面角. 在中，，，则，则，， 在中，易得，则， 在中，， 即二面角的余弦值为. 【小问3详解】 作交于 ，所以直线 与平面所成的角即为直线与平面所成的角， 作于点，连接，因平面，平面，则， 又平面，则平面，又平面，所以平面平面， 作，垂足为，平面平面，平面，可得 平面， 连接，是直线 与平面所成的角，即， 因为，满足， 设，，， 因为在中，斜边大于直角边，即，即，解得， 又，在中，由等面积得， 因， 又因，，所以是二面角平面角，即， 则， 所以，当且仅当时“＝”成立， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高二数学周日测试1 （考试时间：90分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.） 1. 直线与平面所成角的范围是_________________. 2. 某古典概型的样本空间，事件，则___________. 3. 已知直线l与平面，“l与内无数条直线平行”是“”的______条件. 4. 将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为______． 5. 如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为_________. 6. 圆锥的侧面积是，母线长为4，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________ 7. 如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则三棱锥的体积为______． 8. 现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是____________． 9. 已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________． 10. 正方体的棱长为1，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．问质点走完的第2025段与第1段所在的直线所成角的大小是______． 11. 在棱长为1的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是______． 12. 在正三棱锥中，，点在内部运动（包括边界），点到棱的距离分别记为，且，则点运动路径的长度为_______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分．每题有且只有一个正确答案，考生在答题纸相应位置作答，选对得满分，否则一律得零分） 13. 已知事件A和事件B满足，则下列说法正确的是（ ）． A. 事件A和事件B独立 B. 事件A和事件B互斥 C. 事件A和事件B对立 D. 事件和事件B互斥 14. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，则 C. 若m，n是异面直线，，，，，则 D. 平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 15. 在一次校园安全知识竞赛中，甲､乙､丙同时回答一道题，每人回答问题正确与否相互独立，甲答对的概率是，甲､乙两人都答对的概率是，乙､丙两人都答错的概率是，则甲､乙､丙三人中，至少有一人答对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 16. 三棱锥各顶点均在半径为的球O的表面上，，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（ ） ①三棱锥的体积为；②点P形成的轨迹长度为． A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，在直四棱柱中，底面为正方形，E为棱的中点，P为棱的中点，，． （1）证明：平面平面． （2）求点A到平面的距离． 18. 有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球． （1）写出这个试验的一个等可能的样本空间； （2）事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”．判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由． 19. 如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是BC上异于B、C的点. （1）求证：平面平面； （2）当二面角的大小为时，求直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 20. 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）．一般地，设圆锥中母线与圆柱底面半径所成角的大小为α，当时，方能满足建筑要求，已知圆锥高为米，底面半径为米，圆柱高为3米，底面半径为2米． （1）求几何体的表面积； （2）如图2，设E为圆柱底面半圆弧的三等分点（靠近点D），判断该亭子是否满足建筑要求． 21. 如图，在矩形 中，，， 是线段 上的一动点，将沿着折起，使点 到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影 落在线段 上． （1）当点 与点 重合时，证明：平面； （2）当点 与点 重合时，求二面角的余弦值； （3）设直线与平面所成的角为 ，二面角的平面角为 ，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $