上海市松江二中2025-2026学年高二上学期第一次周测数学试题

2025学年第一学期高二数学周日测试1 （考试时间：90分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.） 1. 直线与平面所成角的范围是_________________. 2. 某古典概型的样本空间，事件，则___________. 3. 已知直线l与平面，“l与内无数条直线平行”是“”的______条件. 4. 将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为______． 5. 如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为_________. 6. 圆锥的侧面积是，母线长为4，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________ 7. 如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则三棱锥的体积为______． 8. 现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是____________． 9. 已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________． 10. 正方体的棱长为1，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．问质点走完的第2025段与第1段所在的直线所成角的大小是______． 11. 在棱长为1的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是______． 12. 在正三棱锥中，，点在内部运动（包括边界），点到棱的距离分别记为，且，则点运动路径的长度为_______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分．每题有且只有一个正确答案，考生在答题纸相应位置作答，选对得满分，否则一律得零分） 13. 已知事件A和事件B满足，则下列说法正确的是（ ）． A. 事件A和事件B独立 B. 事件A和事件B互斥 C. 事件A和事件B对立 D. 事件和事件B互斥 14. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，则 C. 若m，n是异面直线，，，，，则 D. 平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 15. 在一次校园安全知识竞赛中，甲､乙､丙同时回答一道题，每人回答问题正确与否相互独立，甲答对的概率是，甲､乙两人都答对的概率是，乙､丙两人都答错的概率是，则甲､乙､丙三人中，至少有一人答对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 16. 三棱锥各顶点均在半径为的球O的表面上，，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（ ） ①三棱锥的体积为；②点P形成的轨迹长度为． A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，在直四棱柱中，底面为正方形，E为棱的中点，P为棱的中点，，． （1）证明：平面平面． （2）求点A到平面的距离． 18. 有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球． （1）写出这个试验的一个等可能的样本空间； （2）事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”．判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由． 19. 如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是BC上异于B、C的点. （1）求证：平面平面； （2）当二面角的大小为时，求直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 20. 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）．一般地，设圆锥中母线与圆柱底面半径所成角的大小为α，当时，方能满足建筑要求，已知圆锥高为米，底面半径为米，圆柱高为3米，底面半径为2米． （1）求几何体的表面积； （2）如图2，设E为圆柱底面半圆弧的三等分点（靠近点D），判断该亭子是否满足建筑要求． 21. 如图，在矩形 中，，， 是线段 上的一动点，将沿着折起，使点 到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影 落在线段 上． （1）当点 与点 重合时，证明：平面； （2）当点 与点 重合时，求二面角的余弦值； （3）设直线与平面所成的角为 ，二面角的平面角为 ，求的最大值． 2025学年第一学期高二数学周日测试1 （考试时间：90分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】##0.5 【3题答案】 【答案】必要非充分 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】##0.375 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】0.3## 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分．每题有且只有一个正确答案，考生在答题纸相应位置作答，选对得满分，否则一律得零分） 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 【17题答案】 【答案】（1） 证明:连接，因为，所以四边形是平行四边形， 可得，又因为平面，平面，所以平面， 因为，所以四边形是平行四边形， 可得，又因为平面，平面，所以平面， 且，平面， 所以平面平面； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 事件A和事件B相互独立，理由如下： 因为，， 所以，， 因为，所以， 因为，所以事件A和事件B相互独立. 【19题答案】 【答案】（1） 证明：由题设，平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，故， 由圆的性质有，都在平面内，故平面， 由平面，所以平面平面. （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2）不满足建筑要求 【21题答案】 【答案】（1） 证明：当点M与端点D重合时，由可知， 由题意知平面 ，平面 ，所以， 又 ，，平面，平面， 所以平面，又平面，可知 ，平面，平面， 所以平面. （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $