浙江省杭州市观成中学教育集团2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

浙江省杭州市观成中学教育集团2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 一．选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．在平面直角坐标系中，下列各点属于第三象限内的点是（　　） A．M（1，2） B．N（﹣1，2） C．P（1，﹣2） D．Q（﹣1，﹣2） 2．下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是（　　） A．1，2，3 B． C．2，2，4 D．2，3，6 3．如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　　） A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA 4．一个直角三角形，若三边的平方和为128，则斜边长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 5．若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．3a＞3b B．a﹣1＞b﹣2 C．a2＞b2 D．1﹣3a＜1﹣3b 6．已知点P（2，a）关于y轴的对称点为Q（b，﹣1），则ab的值为（　　） A．2 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，EC⊥AB于点E，若DE＝2.5，AE＝4，则BC为（　　） A．2 B． C． D． 8．如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝6，点C，D在边OB上，若PC＝PD，CD＝2，则OC＝（　　） A． B．2 C． D．3 9．已知A，B两地相距240km，甲，乙两车分别匀速从A，B两地出发，相向而行．甲车先出发，甲，乙两车离B地的路程S（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数图象如图所示．下列结论：①甲车的平均速度是60千米/小时；②乙车的平均速度是80千米/小时；③乙车从B地到A地用了3.5小时，正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．已知如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 二．填空题（本题有6题，每题3分，共18分） 11．若△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠E＝60°，则∠C＝　 　 度． 12．点P（2﹣a，a+1）在y轴上，则a＝　 　 ． 13．适合不等式组的x的整数值有 　 　 个． 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线．若∠DAC＝25°，则∠B＝　 　 度；若AB＝5，AD＝6.5，则△ABD的面积为　 　 ． 15．已知y是x的一次函数，根据表格中的信息，则m+n的值为 　 　 ． x 0.5 1 3 n y 3 3.2 m 5.2 16．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．以CB为边向三角形外作等边△CBD，以AB为边向上作等边△ABE，连结ED，CE．若ED⊥CE，，则AB＝ 　 　 ． 三．解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解下列不等式（组）： （1）4x+6≥x； （2）． 18．如图，在△ABC中，点D是边AC上一点，点E为△ABC外的一点，连接BD，BE，DE，其中AB＝BE＝BC，∠ABD＝∠EBD． （1）求证：△ABD≌△EBD； （2）若∠CAB＝∠DBA，BE＝6，AC＝10，求△BDC的周长． 19．如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． （1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出点A1、B1的坐标； （2）将△ABC向右平移5个单位，画出平移后的△A2B2C2； （3）求△A2CC1的面积． 20．已知y是x的一次函数，当x＝1时，y＝﹣5；当x＝3时，y＝1． （1）求一次函数的表达式． （2）若点A（m，n）在该一次函数图象上，求代数式（n﹣3）（m+1）﹣mn的值． 21．（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形ABCD和小正方形EFGH．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路AB的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量AC＝5km，CD＝4km． ①求停靠站A与D之间的距离； ②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为锐角，作AD⊥AB交BC的延长线于点D． （1）若∠D＝20°，求∠BAC的度数． （2）求证：∠BAC＝2∠D． （3）已知∠D＝22.5°，AC＝，求BC2的值． 23．对于任意有理数x、y定义一种新运算f，规定f（x，y）＝ax+by（其中a、b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．例如：f（2，1）＝2a+b． （1）已知f（2，﹣1）＝4，f（，）＝2，求a、b的值； （2）已知f（5，0）＞5，f（﹣3，0）＞﹣9，且a+b＝﹣1．求出符合条件的a、b整数值； （3）当a＝2，b＝1时，若关于m的不等式组，恰有两个整数解，求n的取值范围． 24．如图，已知△ABC和△ACD，∠ABC＝∠CAD＝90°，AB＞BC，AC＝AD，点C关于直线AB的对称点为H，DH交∠CAD的平分线于点F，连结CF、AH． （1）求证：CF＝DF； （2）求∠AEF的度数； （3）探究DE与AB的数量关系，并说明理由． 浙江省杭州市观成中学教育集团2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C C A C B A A 一．选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．在平面直角坐标系中，下列各点属于第三象限内的点是（　　） A．M（1，2） B．N（﹣1，2） C．P（1，﹣2） D．Q（﹣1，﹣2） 【分析】根据平面直角坐标系中第三象限点的坐标特征（﹣，﹣），即可解答． 【解答】解：在平面直角坐标系中，下列各点属于第三象限内的点是Q（﹣1，﹣2）， 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键． 2．下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是（　　） A．1，2，3 B． C．2，2，4 D．2，3，6 【分析】利用三角形的三边关系定理进行分析即可． 【解答】解：利用三角形的三边关系定理逐项分析判断可知： A、1+2＝3，不能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，符合题意； C、2+2＝4，不能构成三角形，不符合题意； D、2+3＜6，不能构成三角形，不符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，算术平方根，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3．如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　　） A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA 【分析】分析已知条件知道，在△ABD与△ACD中，有一对对应角相等，一公共边，所以结合全等三角形的判定定理进行判断即可． 【解答】解：A、∵∠1＝∠2，AD为公共边，若BD＝CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD，故本选项正确； B、∵∠1＝∠2，AD为公共边，若AB＝AC，则△ABD≌△ACD（SAS），故本选项错误； C、∵∠1＝∠2，AD为公共边，若∠B＝∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）故本选项错误； D、∵∠1＝∠2，AD为公共边，若∠BDA＝∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）故本选项错误； 故选：A． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 4．一个直角三角形，若三边的平方和为128，则斜边长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】设直角三角形的三边长为 a、b、c，c 为斜边，由勾股定理得：a2+b2＝c2，再求出c2＝64，即可解决问题． 【解答】解：设直角三角形的三边长为 a、b、c，c 为斜边， 由勾股定理得：a2+b2＝c2， ∵直角三角形三边的平方和为128， ∴a2+b2+c2＝128， ∴2c2＝128， ∴c2＝64， ∴c ＝＝8， 即斜边长为8． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．3a＞3b B．a﹣1＞b﹣2 C．a2＞b2 D．1﹣3a＜1﹣3b 【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可． 【解答】解：A．因为a＞b，3a＞3b，所以不等式成立，故选项错误，A不符合题意； B．因为a＞b，a﹣1＞b﹣2，所以不等式成立，故选项正确，B不符合题意； C．当a＝﹣1，b＝﹣2时，满足a＞b，但a2＞b2不成立，故选项错误，C符合题意； D．因为a＞b，1﹣3a＜1﹣3b，所以不等式成立，故选项错误，D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键：①把不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 6．已知点P（2，a）关于y轴的对称点为Q（b，﹣1），则ab的值为（　　） A．2 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案． 【解答】解：因为点P（2，a）关于y轴的对称点为Q（b，﹣1）， 所以a＝﹣1，b＝﹣2， 所以ab＝（﹣1）×（﹣2）＝2． 故选：A． 【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，EC⊥AB于点E，若DE＝2.5，AE＝4，则BC为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】由EC⊥AB，D为AC的中点，DE＝2.5，根据直角三角形斜边上中线的性质即可求得AC的长，然后由勾股定理求得BC的长． 【解答】解：∵EC⊥AB， ∴∠AEC＝∠BEC＝90°， ∵D为AC的中点，DE＝2.5，AB＝AC， ∴AB＝AC＝2DE＝2×2.5＝5， ∵AE＝4， ∵CE2＝AC2﹣AE2， ∴CE＝＝3，BE＝AB﹣AE＝1， ∴BC＝＝． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理是解题的关键． 8．如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝6，点C，D在边OB上，若PC＝PD，CD＝2，则OC＝（　　） A． B．2 C． D．3 【分析】过P作PH⊥CD，根据等腰三角形形三线合一及直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半即可得到答案． 【解答】解：过P作PH⊥CD于H， ∵∠AOB＝60°， ∴∠OPH＝90°﹣60°＝30°， ∵OP＝6， ∴OH＝OP＝3， ∵PH⊥CD，PC＝PD，CD＝2， ∴CH＝CD＝1， ∴OC＝OH﹣HC＝3﹣1＝2， 故选：B． 【点评】本题考查等腰三角形形三线合一及直角三角形30度角所对直角边等于斜边一半，解题关键是作出辅助线． 9．已知A，B两地相距240km，甲，乙两车分别匀速从A，B两地出发，相向而行．甲车先出发，甲，乙两车离B地的路程S（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数图象如图所示．下列结论：①甲车的平均速度是60千米/小时；②乙车的平均速度是80千米/小时；③乙车从B地到A地用了3.5小时，正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】由图象可知甲4小时行驶的路程，用速度＝路程÷时间即可求出甲的速度；通过甲2小时行驶的路程可求出乙1.5小时行驶的路程，再用速度＝路程÷时间可求出一的速度；用总路程÷乙的速度即可求出乙走完全程所用时间． 【解答】解：由图象可得，甲车从A地到B地共用时4小时， ∴甲车的平均速度为240÷4＝60（千米/小时）， 故①正确； 由图象知，当t＝2时，两车相遇， 此时甲行驶的路程为60×2＝120（千米）， 即甲车距离B地为240﹣120＝120（千米）， ∴乙行驶的路程为120千米， ∴乙车的速度为120÷（2﹣0.5）＝80（千米/小时）， 故②正确； 乙车从B地到A地用了240÷80＝3（小时）， 故③错误． 故选：A． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键是掌握速度、路程、时间的关系的运用． 10．已知如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解； ②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断； ③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形； ④首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP． 【解答】解：①如图1，连接OB， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°， ∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30° ∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°； 故①正确； ②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∵点O是线段AD上一点， ∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等， 故②不正确； ③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°， ∴∠APC+∠DCP＝150°， ∵∠APO+∠DCO＝30°， ∴∠OPC+∠OCP＝120°， ∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°， ∵OP＝OC， ∴△OPC是等边三角形； 故③正确； ④如图2，在AC上截取AE＝PA，连接PE， ∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA， ∴∠APO+∠OPE＝60°， ∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°， ∴∠APO＝∠CPE， ∵OP＝CP， 在△OPA和△CPE中， ， ∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO＝CE， ∴AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP； 故④正确； 本题正确的结论有：①③④ 故选：A． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 二．填空题（本题有6题，每题3分，共18分） 11．若△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠E＝60°，则∠C＝　50　 度． 【分析】由全等三角形的性质得到∠B＝∠E＝60°，又∠A＝70°，由三角形内角和定理求出∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠B＝∠E＝60°， ∵∠A＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°． 故答案为：50． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 12．点P（2﹣a，a+1）在y轴上，则a＝　2　 ． 【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出答案． 【解答】解：∵点P（2﹣a，a+1）在y轴上， ∴2﹣a＝0， 解得：a＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了点的坐标，利用y轴上点的坐标横坐标为零是解题关键． 13．适合不等式组的x的整数值有 　5　 个． 【分析】分别求出两个不等式的解集，然后再求出两个解集的公共部分． 【解答】解：解不等式x+1≥得，x≥﹣1； 解不等式x+2≥2x﹣1得，x≤3； 则不等式组的解集为﹣1≤x≤3， 则整数值有﹣1，0，1，2，3共5个． 故答案为：5． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集． 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线．若∠DAC＝25°，则∠B＝　65　 度；若AB＝5，AD＝6.5，则△ABD的面积为　15　 ． 【分析】先利用角的和差关系可得：∠BAD＝65°，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得AD＝BD，从而可得∠B＝∠BAD＝65°；然后再利用直角三角形斜边上的中线性质可得BC＝13，从而利用勾股定理可得AC＝12，最后根据三角形的中线定义可得△ABD的面积＝△ABC的面积，从而进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠DAC＝25°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝65°， ∵AD是△ABC的中线， ∴AD＝BD＝BC， ∴∠B＝∠BAD＝65°； ∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线， ∴BC＝2AD＝13， ∵AB＝5， ∴AC＝＝＝12， ∴△ABD的面积＝△ABC的面积 ＝×AB•AC ＝×5×12 ＝15； 故答案为：65；15． 【点评】本题考查了三角形的面积，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 15．已知y是x的一次函数，根据表格中的信息，则m+n的值为 　10　 ． x 0.5 1 3 n y 3 3.2 m 5.2 【分析】先利用待定系数法求出一次函数的解析式，再将x＝3和y＝5.2分别代入求出m，n即可解决问题． 【解答】解：由题知， 令一次函数的解析式为y＝kx+b， 则， 解得， 所以一次函数解析式为y＝0.4x+2.8． 将x＝3代入一次函数解析式得， m＝0.4×3+2.8＝4． 将y＝5.2代入一次函数解析式得， 0.4n+2.8＝5.2， 解得n＝6， 所以m+n＝4+6＝10． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的定义及一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键． 16．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．以CB为边向三角形外作等边△CBD，以AB为边向上作等边△ABE，连结ED，CE．若ED⊥CE，，则AB＝ 　　 ． 【分析】证明△ABC和△EBD全等得AC＝ED＝，∠ACB＝∠ED＝90°，在Rt△EDC中，根据∠EDC＝∠EDB﹣∠BDC＝30°得CE＝1，CD＝2CE＝2，则BC＝CD＝2，在Rt△ABC中，由勾股定理即可求出AB的长． 【解答】解：∵△ABE和△CBD是等边三角形， ∴AB＝EB，BC＝BD＝CD，∠ABE＝∠CBD＝∠BDC＝60°， ∴∠ABE﹣∠CBE＝∠CBD﹣∠CBE， ∴∠ABC＝∠EBD， 在△ABC和△EBD中， ， ∴△ABC≌△EBD（SAS）， ∴AC＝ED，∠ACB＝∠EDB， ∵∠ACB＝90°，ED＝√（3），ED⊥CE， ∴∠EDB＝90°，AC＝√（3），∠EDB＝90°， ∴△CDE是直角三角形， 在Rt△EDC中，∠EDC＝∠EDB﹣∠BDC＝30°， ∴CD＝2CE， 由勾股定理得：ED＝＝＝CE， ∴CE＝ED＝＝1， ∴CD＝2CE＝2， ∴BC＝CD＝2， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质是解决问题的关键． 三．解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解下列不等式（组）： （1）4x+6≥x； （2）． 【分析】（1）移项，合并同类项，把x的系数化为1即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】解：（1）4x+6≥x， 4x﹣x≥﹣6， 3x≥﹣6， x≥﹣2； （2）， 由①， 由②得x≥1， 故不等式组得解集为． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18．如图，在△ABC中，点D是边AC上一点，点E为△ABC外的一点，连接BD，BE，DE，其中AB＝BE＝BC，∠ABD＝∠EBD． （1）求证：△ABD≌△EBD； （2）若∠CAB＝∠DBA，BE＝6，AC＝10，求△BDC的周长． 【分析】（1）利用SAS证明△ABD≌△EBD即可； （2）由∠CAB＝∠DBA可得DA＝DB，根据CD+BD+BC＝AC+BC即可求出△BDC的周长． 【解答】（1）证明：∵AB＝BE＝BC，∠ABD＝∠EBD， 在△ABD和△EBD中， ， ∴△ABD≌△EBD（SAS）； （2）解：∵∠CAB＝∠DBA， ∴DA＝DB， ∴BE＝AB＝CB＝6， ∵AC＝10， ∴△BDC的周长为CD+BD+BC＝CD+AD+BC＝AC+BC＝16． 【点评】本题考查全等三角形的判定，等角对等边，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 19．如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． （1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出点A1、B1的坐标； （2）将△ABC向右平移5个单位，画出平移后的△A2B2C2； （3）求△A2CC1的面积． 【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，进而写出点A1、B1的坐标； （2）根据平移的性质即可将△ABC向右平移5个单位，进而可以画出平移后的△A2B2C2； （3）根据网格即可求△A2CC1的面积． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；A1（﹣2，﹣4），B1（﹣4，﹣3）； （2）如图，△A2B2C2即为所求； （3）△A2CC1的面积＝2×4＝4． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，平移变换，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 20．已知y是x的一次函数，当x＝1时，y＝﹣5；当x＝3时，y＝1． （1）求一次函数的表达式． （2）若点A（m，n）在该一次函数图象上，求代数式（n﹣3）（m+1）﹣mn的值． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）利用一次函数解析式得到n﹣3m＝﹣8，再把（n﹣3）（m+1）﹣mn运算得到n﹣3m﹣3，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）设一次函数解析式求为y＝kx+b， ∵x＝1，y＝﹣5；x＝3时，y＝1， ∴， 解得， ∴一次函数解析式求为y＝3x﹣8； （2）把A（m，n）代入y＝3x﹣8得n＝3m﹣8， ∴n﹣3m＝﹣8， ∴（n﹣3）（m+1）﹣mn＝mn+n﹣3m﹣3﹣mn＝n﹣3m﹣3＝﹣8﹣3＝﹣11． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． 21．（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形ABCD和小正方形EFGH．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路AB的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量AC＝5km，CD＝4km． ①求停靠站A与D之间的距离； ②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离． 【分析】（1）依据图1中的正方形的面积可以用两种方式表示出来，即可验证勾股定理； （2）①由勾股定理直接求出AD； ②设AB＝BC＝x，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）由图1可得，大正方形的边长为c，小正方形的边长为b﹣a， 大正方形的面积为c2，也是4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即大正方形的面积＝4×ab+（a﹣b）2， 小正方形的面积为（b﹣a）2， 大正方形的面积＝4×ab+（a﹣b）2， ∴4×ab+（a﹣b）2＝c2， 化简可得，a2+b2＝c2； （2）①当AD⊥BC时，C到停靠站D的距离最短． 在Rt△ACD中，AC＝5km，CD＝4km， AD＝＝3km， 答：停靠站A与D之间的距离为3km； ②设AB＝BC＝x， ∵AC＝5，CD＝4，AD＝3，BD＝AB﹣AD＝x﹣3， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝BD2+CD2， 即x2＝42+（x﹣3）2， 解得x＝， 即BC＝km， 答：停靠站B到村庄C的距离为km． 【点评】本题是四边形综合题，考查勾股定理的证明与应用，理解题意和题目中体现的方法是解题的关键． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为锐角，作AD⊥AB交BC的延长线于点D． （1）若∠D＝20°，求∠BAC的度数． （2）求证：∠BAC＝2∠D． （3）已知∠D＝22.5°，AC＝，求BC2的值． 【分析】（1）根据题意先求出∠B的度数，再根据AB＝AC得出∠ACB＝∠B，据此可解决问题． （2）根据题意，得出∠BAC与∠B的关系及∠D与∠B的关系，据此可解决问题． （3）过点C作AB的垂线，垂足为M，根据∠D度数，得出∠BAC的度数，再根据等腰三角形的性质及勾股定理及解决问题． 【解答】（1）解：∵AD⊥AB， ∴∠B+∠D＝90°． ∵∠D＝20°， ∴∠B＝90°﹣20°＝70°． ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣2×70°＝40°． （2）证明：∵AD⊥AB， ∴∠B+∠D＝90°．， 即∠B＝90°﹣∠D． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠BAC＝180°﹣2∠B， 即∠B＝90°﹣∠BAC， ∴90°﹣∠D＝90°﹣∠BAC， ∴∠BAC＝2∠D． （3）解：过点C作AB的垂线，垂足为M， ∵∠D＝22.5°， ∴∠BAC＝2×22.5°＝45°， ∴△AMC是等腰直角三角形． ∵AC＝， ∴AM＝MC＝1． ∵AB＝AC＝， ∴BM＝． 在Rt△BCM中， BC2＝BM2+MC2＝（）2+12＝4﹣． 【点评】本题主要考查了勾股定理及等腰三角形的性质，熟知勾股定理及等腰三角形的性质是解题的关键． 23．对于任意有理数x、y定义一种新运算f，规定f（x，y）＝ax+by（其中a、b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．例如：f（2，1）＝2a+b． （1）已知f（2，﹣1）＝4，f（，）＝2，求a、b的值； （2）已知f（5，0）＞5，f（﹣3，0）＞﹣9，且a+b＝﹣1．求出符合条件的a、b整数值； （3）当a＝2，b＝1时，若关于m的不等式组，恰有两个整数解，求n的取值范围． 【分析】（1）根据已知新运算法则，列二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）根据题意，列不等式组，求出a的取值范围，再根据a为整数，确定a的值，进而求出b的值即可； （3）由题意可知，f（x，y）＝2x+y，整理原不等式组，求出m的取值范围，再根据原不等式组恰有两个整数解，即可确定n的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得， 解得； （2）由条件可得， 解得1＜a＜3， ∵a为整数， ∴a＝2， ∵a+b＝﹣1， ∴b＝﹣3， ∴符合条件的a、b的整数值为a＝2，b＝﹣3； （3）由题意可知，f（x，y）＝2x+y， ∴原不等式组整理为， 解得2＜m＜， 由条件可知4＜≤5， 解得：25＜n≤31， ∴n的取值范围是25＜n≤31． 【点评】本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式组以及一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握二元一次方程组和一元一次不等式组的解法是解题关键． 24．如图，已知△ABC和△ACD，∠ABC＝∠CAD＝90°，AB＞BC，AC＝AD，点C关于直线AB的对称点为H，DH交∠CAD的平分线于点F，连结CF、AH． （1）求证：CF＝DF； （2）求∠AEF的度数； （3）探究DE与AB的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的性质及等腰三角形的性质，得到∠CAF＝∠DAF＝45°，证明△ACF≌△ADF（SAS），即可得证； （2）连结AC′，根据轴对称的性质及角的等量代换即可解答； （3）结论：DE＝AB．作DG⊥BA，垂足为G，连接AC′，证明△DGA≌△ABC（AAS），利用勾股定理即可解答． 【解答】（1）证明：∵AF平分∠CAD，AC＝AD， ∴∠CAF＝∠DAF＝45°， ∵AC＝AD，AF＝AF， ∴△ACF≌△ADF（SAS）， ∴CF＝DF； （2）解：如图，连接AC′， ∵点C′与点C关于直线AB对称， ∴AC＝AC＝AD，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4， ∵∠AEF+∠2+∠4＝90°，∠AEF＝∠1+∠3， ∴∠AEF＝∠1+∠3＝45°； （3）解：结论：DE＝AB，理由如下： 如图，连接AC′，作DG⊥BA，垂足为G， ∵∠G＝∠CAD＝90°， ∴∠DAG＝∠ACB， ∴△DGA≌△ABC（AAS）， ∴DG＝AB， ∵∠G＝90°，∠AEF＝45°， ∴∠GED＝∠GDE＝45°， ∴GE＝GD， ∴DE2＝GE2+DG2＝2DG2＝2AB2， ∴DE＝AB． 【点评】本题考查几何变换的综合应用，主要考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $