精品解析：天津市南开区美达菲津英中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

美达菲津英中学2025-2026（一）阶段性质量监测（月考） 高二年级数学学科试卷（10月） 时间：100分钟 满分：100分 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点且倾斜角为的直线方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由倾斜角计算斜率，由点斜式即可求得结果. 【详解】倾斜角为的直线斜率为. 利用点斜式可得. 整理得. 故选：B. 【点睛】本题考查由倾斜角计算斜率，以及由点斜式求直线方程，属综合基础题. 2. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出以及，根据投影向量的含义即可求得答案. 【详解】由题意向量， 故，， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 3. 已知倾斜角为的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先得到直线的斜率，从而求出直线的方向向量. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线的方向向量为，所以. 故选：C 4. 已知向量，其中，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行列方程，由此求得的值. 【详解】由于，所以. 故选：A 5. 直线l1的倾斜角,直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为 A. - B. C. - D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得L2的倾斜角等于30°+90°＝120°，从而得到L2的斜率为 tan120°，运算求得结果． 【详解】如图：直线L1的倾斜角α1＝30°，直线L1⊥L2，则L2的倾斜角等于30°+90°＝120°， ∴L2的斜率为 tan120°＝﹣tan60°， 故选C． 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想，属于基础题． 6. 若过点P(3,2m)和点Q(,2)的直线与过点M(2,)和点N(,4)的直线平行，则m的值是（ ） A. B. C. 2 D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行对应直线的斜率相等可求解出的值. 【详解】由，即，得. 经检验知，符合题意. 故选：B. 7. 已知向量，单位向量满足，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的模平方得向量积的值，再利用向量夹角公式求解 【详解】因为，所以.又， 所以，即，所以，则. 所以.又，所以. 故选：C. 8. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量基底的定义解答即可. 【详解】因为能与，构成基底的向量与，不共面. 又，，， 则，，都分别与，共面，故ABC错误； 假设与，共面， 则存在，使得， 则， 所以共面，这与为基底矛盾，假设不成立， 所以与，不共面，可构成基底，故D正确. 故选：D. 9. 在空间四边形ABCD中，，设，若向量，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理得到，求出答案. 【详解】 ， 故，所以. 故选：C 10. 若过点的直线与以点为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先在直角坐标系中作出三点，再求出的斜率，进而求出对应的倾斜角，结合图象可知直线的倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，设的倾斜角为，的倾斜角为，则所求直线的倾斜角的取值范围为， 易得，， 又因为，所以， 所以所求直线的倾斜角的取值范围为. 故选：A. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】利用空间的向量的加减坐标运算公式及数量积坐标公式求解即可. 【详解】因为，所以，， 所以. 故答案为： 12. 已知直线与直线平行，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据平行关系列出等式求解的值并检验即可. 【详解】因为与平行，所以，解得或. 当时，直线，直线，两直线平行. 当时，直线，直线，化简为， 此时两直线重合，不符合要求，舍去. 故答案为：1. 13. 设在平面上的射影分别为，则线段的长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出的坐标，进而根据空间两点间的距离公式求得答案. 【详解】由已知得，，所以线段的长为. 故答案为：. 14. 若直线l的倾斜角是过点，的直线的倾斜角的2倍，则直线l的斜率为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求过点，的直线的斜率，再利用二倍角的正切公式求直线的斜率. 【详解】设过点，的直线的倾斜角为， 则. 又直线l的倾斜角是， ∴直线l的斜率. 故答案为： 15. 已知，是分别经过，两点的两条平行直线，当，之间的距离最大时，直线的方程是__． 【答案】 【解析】 【分析】当与垂直时，它们间的距离最大，因此只要求得斜率，从而得直线的斜率，由点斜式得直线方程，化简即得． 【详解】过，两点的直线的斜率， 若两平行直线间的距离最大值，满足平行直线和垂直， 即直线的斜率， 则直线的方程为， 即， 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知，. （1）若，求的值； （2）若，求实数k的值； （3）若，求实数k的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量夹角公式即得； （2）根据空间向量的线性运算的坐标表示可得，，然后根据向量平行的坐标关系即得； （3）根据向量垂直的坐标表示即得. 【小问1详解】 由已知可得，， 所以； 【小问2详解】 因为，， 又， 存在实数m使得， ，，， 解得； 【小问3详解】 因为， 所以， 即， 解得. 17. 已知的顶点为，，， （Ⅰ）求AB边上的中线CM所在直线的方程; （Ⅱ）AB边上的高线CH所在直线的方程 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）求出中点坐标，再求得直线斜率，由点斜式写出直线方程，并整理成一般式即可． （Ⅱ）由垂直求出直线的斜率，写出点斜式方程，整理成一般式． 【详解】（Ⅰ）AB中点M的坐标是， ∴， ∴中线CM所在直线的方程是， 即中线CM所在直线的方程是， （Ⅱ）∵， ， ∴高线CH所在直线方程为， 即． 18. 如图，在棱长是2的正方体中，为的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）因为正方体棱长为2， 故以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则有，，，，， ，，. 因为为的中点，所以 ， ，， 所以， 所以，即； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 所以， 因为异面直线与所成角是锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 【小问3详解】 设平面的法向量是 ，则，， 即， 又，， 所以 令，则，， 所以，又， 所以点到平面的距离. 19. 如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，， （1）用，，表示向量 （2）求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量线性运算求解即可； （2）根据，再平方求解可得答案. 【小问1详解】 因为，，， 所以； 【小问2详解】 依题意，得，， 所以， ， 所以. 20. 如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）因为四边形为矩形，所以为的中点.连接， 在中，分别为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3）在线段上存在一点满足题意，且 【解析】 【分析】(1)由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论； (2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函数基本关系可得二面角的正弦值； (3)假设点Q存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q的存在性和位置. 【详解】（1）略 （2）易知两两垂直，如图以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，所以. 设平面的法向量为， 则即解得 令，得 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， ，据此可得 ， 则平面的一个法向量为， ，于是. 故二面角的正弦值为. （3）设存在点满足条件. 由， 设，整理得， 则. 因为直线与平面所成角的大小为， 所以 解得， 由知，即点与重合. 故在线段上存在一点，且. 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题： (1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算． (2)设分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 美达菲津英中学2025-2026（一）阶段性质量监测（月考） 高二年级数学学科试卷（10月） 时间：100分钟 满分：100分 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点且倾斜角为的直线方程为 A. B. C. D. 2. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知倾斜角为的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知向量，其中，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 直线l1的倾斜角,直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为 A. - B. C. - D. 6. 若过点P(3,2m)和点Q(,2)的直线与过点M(2,)和点N(,4)的直线平行，则m的值是（ ） A. B. C. 2 D. －2 7. 已知向量，单位向量满足，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 9. 在空间四边形ABCD中，，设，若向量，则（ ） A. B. 0 C. D. 10. 若过点的直线与以点为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 若，则______ 12. 已知直线与直线平行，则__________. 13. 设在平面上的射影分别为，则线段的长为___________. 14. 若直线l的倾斜角是过点，的直线的倾斜角的2倍，则直线l的斜率为________. 15. 已知，是分别经过，两点的两条平行直线，当，之间的距离最大时，直线的方程是__． 三、解答题：本题共5小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知，. （1）若，求的值； （2）若，求实数k的值； （3）若，求实数k的值. 17. 已知的顶点为，，， （Ⅰ）求AB边上的中线CM所在直线的方程; （Ⅱ）AB边上的高线CH所在直线的方程 18. 如图，在棱长是2的正方体中，为的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，， （1）用，，表示向量 （2）求 20. 如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $