4.6 线段的垂直平分线（1） 教案2025-2026学年湘教版八年级数学上册

该教案聚焦线段垂直平分线的性质定理与逆定理，通过复习轴对称性质，以填空和快问快答激活旧知，搭建“轴对称性质→垂直平分线定义→性质定理”的学习支架，衔接自然。 特色在于以探究为核心，用“藏宝游戏”情境抽象数学问题培养几何直观，引导学生自主证明定理发展推理能力，分层作业（必做+选做+拓展）落实应用意识。助力学生构建逻辑体系，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

分课时教学设计 第一课时《4.6 线段的垂直平分线》教学设计 课型 新授课☑ 复习课☐ 试卷讲评课☐ 其他课☐ 教学内容分析 《线段垂直平分线的性质和判定》是湘教版八年级上册第4章《三角形》的第六节第一课时的内容。本节课主要研究线段垂直平分线的定义、性质定理及其逆定理。教材在学生学习轴对称图形和全等三角形的基础上，引入线段垂直平分线的概念，并通过逻辑推理证明其性质及判定。这部分内容既是轴对称性质的深化应用，也为后续学习圆的性质奠定基础，体现了数学知识的连贯性和严谨性。 学习者分析 学生已掌握轴对称图形的性质、全等三角形的判定以及等腰三角形的相关知识，具备一定的几何推理能力。但在理解“性质定理”与“判定定理”的互逆关系时可能存在困难，容易混淆使用条件。此外，部分学生在复杂图形中应用垂直平分线定理时，可能难以准确识别关键点或辅助线。教学中需通过典型例题和变式训练，帮助学生掌握定理的逻辑结构，并提升几何证明的规范性。 教学目标 1.理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与逆定理的内容及符号表达。 2.能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。3.体会“性质”与“判定”的互逆关系，培养逆向思维。 教学重点 线段垂直平分线的性质定理及逆定理的理解与应用。 教学难点 区分“性质”与“判定”的逻辑方向，并在复杂情境中识别或构造垂直平分线。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：新知导入 教师活动1： 回顾：轴对称的性质是什么？ 轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中， 对应点的连线被对称轴垂直平分. 填空：△ABC与△DEF关于直线 l 对称，点A的对应点为______，点B的对应点为______，点D的对应点为______，由轴对称的性质可知线段AD、BE、CF被直线 l ____________. 学生活动1： 快问快答，举手回答问题，回顾轴对称的基本性质 认真思考，举手回答问题 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。 环节二：探究新知 教师活动2： 探究：线段的垂直平分线的性质定理 【定义】线段的垂直平分线的概念：垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（或中垂线）. 教师举例：直线 l 就是线段 PP' 的垂直平分线. 注意：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 思考： 甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处，乙在点B处，把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AB的中点外还有别的地方吗？ 【探究】如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P（点P不在线段AB上），连接PA，PB，则线段PA与PB的长度相等吗？为什么？由此你能得出什么结论？ 教师讲授：设D是线段AB的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点D在直线l上，并且PD⊥AB， 于是∠ADP = ∠BDP = 90°. 在△PAD和△PBD中， 所以△PAD ≌ △PBD（边角边）. 因此PA = PB. 教师追问：当点P在线段AB 上时，结论还成立吗？ 【归纳】线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 几何语言 ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴ PA=PB(线段垂直平分线的性质定理). 探究二：线段垂直平分线的性质定理的逆定理 【说一说】线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么？ 教师讲授： 条件是：一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论是：这个点到这条线段两端的距离相等. 它的逆命题是：如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 【思考】线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题吗？ 如图，当点M不在线段AB上时，连接MA，MB， 由于MA=MB，则△MAB是等腰三角形. 取AB的中点D，连接MD，则MD是△MAB的底边AB上的中线，也是AB上的高线. 因此，直线MD是线段AB的垂直平分线，从而点M在线段AB的垂直平分线上. 当点M在线段AB上时，则M就是AB的中点，因而点M在AB的垂直平分线上. 【归纳】线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 几何语言 ∵MA=MB， ∴点M在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的性质定理的逆定理). 学生活动2： 认真听讲，了解线段的垂直平分线的概念 认真听讲 认真思考，举手回答问题 认真听讲 举手回答问题 认真听讲，了解线段垂直平分线的性质定理 学生认真思考，举手回答问题 认真听讲 学生认真思考，举手回答问题 认真听讲 认真听讲，了解线段垂直平分线的性质定理的逆定理 活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。 环节三：例题精讲 教师活动3： 例1如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上. 证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上， 所以OA=OB（线段垂直平分线的性质定理）. 同理可得OB=OC. 于是OA=OC. 所以点O在AC的垂直平分线上（线段垂直平分线的性质定理的逆定理）. 学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。 环节四：课堂总结 教师活动4： 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，已知直线PC是线段AB的垂直平分线，∠APC＝50°，则∠B＝（　　） A．40°　　B．50°　　C．55°　　D．60° 2.已知下列命题：①两点之间线段最短；②全等三角形的对应边相等；③底角相等的两个等腰三角形全等；④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．其中真命题的个数为(　　)个. A．1　　B．2　　C．3　　D．4 3.如图，在等边三角形中，，垂足为点，点在线段上， ，则等于（　　） A．　　B．　　C．　　D． 选做题： 4.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则 　 　 ． 5.如图，的垂直平分线分别交于点D和点E，连接，则的度数是　 　． 6.如图，在中，，D，E是边上两点，且所在的直线垂直平分线段，平分，，则的长是　 　． 【综合拓展类作业】 7.如图，中，，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接． （1）求的度数； （2）若，求长． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2.如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、．若，则的度数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3.如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于，两点，是上一点，且，连接，．则下列说法正确的是；；．（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【综合拓展类作业】 4.如图，在中，分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 教学反思 教学中发现，部分学生在逆定理的证明中逻辑表述不够严密，需加强书写规范的指导；此外，可结合生活实例增强学生的直观感知。对于综合应用问题，可设计阶梯式练习，从单一性质应用到复杂图形分析，逐步提升学生的几何思维能力。动态几何软件的演示可辅助学生直观理解定理的普遍性。 学科网（北京）股份有限公司 $