4.6线段的垂直平分线同步提升练习2026-2027学年湘教版八年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到素养提升递进设计，聚焦线段垂直平分线性质定理、逆定理及尺规作图，通过单一知识点应用到综合问题解决，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |刷基础|性质定理、逆定理、尺规作图|选择、填空、简单证明，如性质定理应用求距离、逆定理选址问题，夯实概念理解| |刷提升|综合应用（结合角平分线、折叠等）|综合证明与计算，如含垂直平分线的三角形角度计算、多知识点结合证明，发展推理能力| |刷素养|跨情境问题（动点、实际应用）|动点运动问题、面积计算等，如Rt△中PQ垂直平分线判定，培养抽象能力与应用意识|

4.6线段的垂直平分线 课时1 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 刷基础 知识点1 线段垂直平分线的性质定理 1如图,在△ABC中,点 O是△ABC内一点,连接OB,OC,OD垂直平分AB,若∠OBC=∠OCB,OC=4,则点A,O之间的距离为 ( ) A.4 B.8 C.2 D.6 2如图,等边△ABC中,AD是BC的中线,点 E 在线段AD上,∠BEC=90°,则∠ACE 等于 ( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 3如图,△ABC中,∠A=45°,AB的垂直平分线交AC 于点 E,BC 的垂直平分线交AC 于点F,点D,G分别是垂足,若AE=6,EF=8,FC=10,则△ABC 的面积是 . 4如图,在△ABC中,D是AB的中点,OD⊥AB 于点 D,点 O 在AC 的垂直平分线上,连接OA,OB,OC. (1)求证:△BOC是等腰三角形. (2)若∠BAC=70°,求∠BCO的度数. 知识点2 线段垂直平分线的性质定理的逆定理 5某地政府为更好地服务农民，将在村庄A，B，C之间的空地上新建一座仓库P，如图.已知A，B，C恰好在三条公路的交点处，要求仓库P 到村庄A，B，C的距离相等，则仓库P应选在( ) A.三条角平分线的交点 B.三边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高所在直线的交点 6风筝又称“纸鸢”“风鸢”“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有 2 000 多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化示意图，已知AB=AD，BC=CD,AC=90cm,BD=60cm,则制作这个风筝面至少需要材料 cm². 7如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线 l₁ 交AB于点M,交 BC 于点 D,AC 的垂直平分线 l₂交AC于点 N,交BC 于点 E,l₁与l₂相交于点 O,△ADE 的周长为10.请你解答下列问题： (1)求BC的长; (2)试判断点 O 是否在边 BC 的垂直平分线上，并说明理由. 刷提升 1如图,在△ABC 中,∠C=2∠B,AD⊥BC,AC=5,CD=3,则BC=( ) A. B.7 C.8 D.11 2如图,△ABC 中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点 O,将∠C 沿 EF(E 在 BC上，F在AC上)折叠，点C与点 O 恰好重合，则∠OEC 为 ( ) A.126° B.120° C.110° D.108° 3如图，D为△ABC的三个内角的平分线的交点，E为三边的垂直平分线的交点，若∠BEC=132°,则∠BDC= . 4如图,在△ABC中,DE,DF 分别为 BC,AB边的垂直平分线，连接AD，CD. (1)若∠B=40°,求∠ACD 的度数; (2)判断∠B 与∠ACD之间的数量关系，并说明理由. 5已知△ABC 是三边都不相等的三角形，点 O 和点 P 是这个三角形内部两点，P是这个三角形三个内角平分线的交点，O是这个三角形三边垂直平分线的交点. (1)如图(1),∠BPC 和∠BAC 有怎样的数量关系? (2)如图(2),∠BOC 和∠BAC 有怎样的数量关系? (3)如图(3),请直接写出∠BPC 和∠BOC 的数量关系. 刷素养 6如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若 BC =8 cm,CA=6cm,点P 从点C 开始以1 cm/s的速度沿路径 C→A→B 运动,点 Q 从点 B 开始以2cm /s的速度沿路径 B→C→A 运动,P,Q 同时出发，用t(s)表示运动时间. (1)若 P 在线段 CA 上运动,Q 在线段 BC上运动，求t为何值时，点C 在线段 PQ 的垂直平分线上. (2)当Q点到达A点时，P，Q两点都停止运动，求当t为何值时，线段 CQ 的长度等于线段AP长度的 课时2 线段的垂直平分线的尺规作图 刷基础 知识点1 作线段的垂直平分线 1如图,已知△ABC(AC<BC),用尺规在BC上确定一点 P,使 PA+PB=BC,则下列四种不同方法的作图中正确的是 ( ) 2如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC<BC.分别以点A,B 为圆心,大于 AB的长为半径画弧，两弧交于D，E 两点，直线 DE 交 BC 于点 F,连接AF,以点 A 为圆心，AF 为半径画弧，交BC 延长线于点 H，连接AH.若BC=3,则△AFH的周长为 . 3如图，某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，现要在道路AB上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等，请在图中确定休息点M的位置.(不写作法，保留作图痕迹) 知识点2 过一点作已知直线的垂线 4如图,已知△ABC,求作:AC 边上的高.(保留作图痕迹，不写作法) 5如图，已知：线段AB.求作:等腰直角△ABC,使AB=AC,∠BAC=90°.(不写作法，保留作图痕迹) 知识点3 作一个角的平分线 6如图，已知四边形ABCD,AB=AD,在DC边上求作一点P,使得△ABP≌△ADP.(保留作图痕迹,不要求写作法) 4.6线段的垂直平分线 课时1 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 刷基础 1. A 【解析】连接OA,如图所示.因为 OD 垂直平分AB,所以 OA = OB. 因为∠OBC=∠OCB,OC=4,所以OB=OC=4,所以OA=OC=4,故选A. 2. A 【解析】因为等边△ABC 中,AD 是BC 的中线,所以BD=CD,AD⊥BC,即AD 是BC 的垂直平分线.因为点 E 在 AD 上,所以 BE=CE,所以∠EBC=∠ECB.因为∠BEC=90°,所以∠ECB=∠EBC=45°.因为△ABC 是等边三角形,所以∠ACB=60°,所以∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°,故选 A. 3.72 【解析】如图,连接BE.因为AB 的垂直平分线交 AC 于点 E,所以 AE =BE =6,所以∠ABE=∠A=45°,所以∠AEB =180°-∠A-∠ABE=180°-45°-45°=90°,所以 BE⊥AC,所以 故答案为72. 4.(1)【证明】因为 D 是AB 的中点,OD⊥AB 于点 D,所以OD垂直平分AB,所以OA=OB.因为点 O 在 AC 的垂直平分线上，所以 OA=OC,所以 OB =OC,所以△BOC 是等腰三角形. (2)【解】由(1) 可得 OA = OB = OC,所以∠OAB = ∠OBA,∠OAC = ∠OCA,∠OBC =∠OCB, 所 以 ∠OAB + ∠OAC = ∠OBA +∠OCA=∠BAC=70°,所以∠OBC+∠OCB=180°-(∠OBA+∠OAB+∠OAC+∠OCA) =180°-(∠OAB+∠OAC+∠OBA+∠OCA) =180°-(70°+70°)=40°,所以2∠BCO=40°,所以∠BCO=20°. 5. B【解析】因为仓库P到村庄A，B的距离相等，所以点 P 在AB 的垂直平分线上.因为仓库P到村庄A，C 的距离相等，所以点P 在AC的垂直平分线上，所以仓库P 应选在三边的垂直平分线的交点. 6.2 700 【解析】如图. 设 BD 与AC 交于点 M.因为AB=AD,所以点 A 在 BD的垂直平分线上.因为BC=CD,所以点C在BD的垂直平分线上，所以 AC 垂直平分BD,所以 AC. 因为 AC = 90 cm,BD = 60 cm,所以 故答案为2 700. 7.【解】(1)因为l₁垂直平分AB,所以DB=DA.同理EA=EC,所以 BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=10. (2)点O 在边 BC 的垂直平分线上.理由：如图,连接AO,BO,CO.因为l₁ 与l₂是AB,AC的垂直平分线,所以AO=BO,CO=AO,所以OB=OC，所以点O 在边 BC的垂直平分线上. 刷提升 1. D 【解析】如图,作AB 的垂直平分线,交BD于点 M,连接 AM,则 AM = BM,所以∠B =∠BAM,所以∠AMD=∠B+∠BAM=2∠B.因为∠C=2∠B,所以∠AMD=∠C,所以△AMC是等腰三角形.又因为AD⊥BC,AC=5,CD=3,所以AM=AC=5,MD=CD=3,所以BM=5,所以BC=BM+MD+CD=5+3+3=11.故选 D. 2. D 【解析】连接OB,OC,设AB 的垂直平分线交AB 于点 D.因为∠BAC=54°,AO 为∠BAC的平分线，所以 27°.又因为 AB=AC,所以 因为 DO 是AB的垂直平分线,所以 OA=OB,所以∠ABO=∠BAO=27°,所以∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°.因为 AO 为∠BAC 的平分线,AB=AC,所以AO 所在直线垂直平分 BC,所以OB=OC,所以∠OCB=∠OBC=36°.因为将∠C沿EF(E 在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O 恰好重合,所以OE=CE,所以∠COE=∠OCB=36°.在△OCE 中,∠OEC = 180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°,故选D 3.123°【解析】连接AE.因为∠BEC=132°,所以∠EBC+∠ECB=180°-∠BEC=48°,所以∠BAE+∠ABE + ∠ACE + ∠CAE = 180°-(∠EBC+∠ECB)=132°.因为点 E 是三边的垂直平分线的交点,所以 EB=EC=EA,所以∠EAC=∠ECA,∠EBA=∠EAB,所以∠BAC=∠EAB+∠EAC = ∠ABE+∠ACE =66°,所以∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=114°.因为 BD平分∠ABC,CD 平分∠ACB,所以∠CBD = 所以∠CBD+ 所以∠BDC=180°-(∠CBD+∠BCD)=123°. 4.【解】(1)连接BD 并延长,交AC 于 H,如图.因为 DE,DF 分别为 BC,AB边的垂直平分线，所以DA=DB,DC=DB,所以∠DAB=∠DBA,∠DCB=∠DBC,所以 ∠ADH =∠DAB+∠DBA = 2 ∠DBA,∠CDH = ∠DCB +∠DBC=2∠DBC,所以∠ADC=2∠ABC=80°.因为 DA=DB,DC=DB,所以 DA=DC,所以 (2)∠ABC+∠ACD = 90°,理由如下:因为∠ACD+∠CAD+∠ADC=180°,所以2∠ACD+2∠ABC=180°,所以∠ACD+∠ABC=90°. 5.【解】 因为 BP 平分∠ABC, CP 平分 ∠ACB,所以 ∠PBC = 所以∠BPC = (2)∠BOC=2∠BAC.如图,连接AO.因为点 O 是这个三角形三边垂直平分线的交点，所以OA=OB = OC,所以∠OAB = B∠OBA,∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB,所以∠AOB = 180°-2 ∠OAB, ∠AOC = 180°-2∠OAC,所以 ∠BOC = 360°-(∠AOB +∠AOC)= 360°-(180°-2∠OAB +180°-2∠OAC)=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC. (3)4∠BPC-∠BOC=360°.因为点 P 为三角形三个内角平分线的交点，所以由(1)得 则∠BAC=2∠BPC-180°.因为点 O 为三角形三边垂直平分线的。交点,所以由(2)得∠BOC=2∠BAC,所以∠BOC=2(2∠BPC-180°)=4∠BPC-360°,即4∠BPC-∠BOC=360°. 刷素养 6.【解】(1)由题意得BQ=2t cm,CP=t cm,则CQ=(8-2t) cm. 因为点 C 在线段 PQ 的垂直平分线上，所以CQ=CP,即8-2t=t,解得 即当 时，点 C 在线段 PQ 的垂直平分线上. (2)因为BC=8cm,CA=6cm,所以BC+AC=14 cm,所以0≤t≤7. 当0≤t≤4,CQ=(8-2t) cm,AP=(6-t) cm,则 解得 当4<t≤6,CQ=(2t-8) cm,AP=(6-t) cm,则 解得 当6<t≤7,CQ=(2t-8) cm,AP=(t-6) cm,则 解得 (舍去). 综上所述，当 或 时，线段CQ 的长度等于线段AP长度的 课时2 线段的垂直平分线的尺规作图 刷基础 1. B 【解析】用尺规在 BC上确定一点 P,使 PA+PB=BC,如图所示,先作出 AC 的垂直平分线交BC 于点 P,即可得出 AP=PC,则 PA+PB=PC+PB=BC.故选 B. 2.6 【解析】由作图可得DF 垂直平分线段AB，所以AF=BF.因为以点A为圆心，AF 为半径画弧,交BC 延长线于点 H,所以AF=AH.因为∠ACB=90°,即AC⊥BH,所以CF=CH,所以 CF)=2BC=2×3=6.故答案为6. 3.【解】如图，点M 即为所求. 4.【解】如图,线段 BH 即为所求. 5.【解】如图,等腰直角△ABC 为所作. 6.【解】如图所示，点P 即为所求. 学科网（北京）股份有限公司 $