精品解析：山东省诸城第一中学2025-2026学年高二上学期11月月考数学试题

2025-2026学年上学期高二年级 数学学科试题 2025.11 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线过点，且倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知是直线上一点，且是直线的一个法向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间中两个不重合的平面和平面，直线平面，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在棱长为1的正方体中，点M为棱的中点，则点B到直线的距离为（    ） A. B. C. 1 D. 5. 如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点．若向量，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 7. 在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（    ） A. 已知向量，，，若、、共面，则等于1 B. 若直线l的方向向量为平面α的法向量为 则 C. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为 D. 已知 若与的夹角为钝角，则 10. 已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则圆，的公共弦所在的直线方程为 B. 若两圆有四条公切线，则 C. 当时，，分别是圆、圆上的动点，则的最小值为 D. Q为直线上的动点，过点向圆引两条切线，切点分别为，，则直线过定点 11. 如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，底面ABCD为矩形，，，若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为，其外接球球心为，则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 四棱锥的内切球半径为 C. 四棱锥的体积为 D. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线与间的距离为_______. 13. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是________． 14. 如图，点分别是正四棱锥的棱的中点，设平面，则与长度之比为______，四棱锥被平面分成上下两部分体积之比为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知且 （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 已知圆. （1）求m的取值范围. （2）已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 17. 已知四棱锥平面． （1）证明：平面平面； （2）记平面平面，证明：； （3）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将△沿折起到△位置，使得（如图2）. （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 设A，B是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，且． （1）求点所在圆的方程． （2）设直线与圆交于，两点（不与原点重合）． ①若直线过点，且，求直线的方程． ②设直线，斜率分别为，，且，证明：直线恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期高二年级 数学学科试题 2025.11 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线过点，且倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率等于倾斜角的正切值建立等式求解即可． 【详解】， 解得， 故选：C． 2. 已知是直线上一点，且是直线的一个法向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求出结果. 【详解】由是直线的一个法向量，得直线的一个方向向量为，其斜率为， 所以直线的方程为，即. 故选：A 3. 已知空间中两个不重合的平面和平面，直线平面，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】直线平面，则， 充分性满足， 但时，与可能相交，必要性不满足，因此是充分不必要条件， 故选：B． 4. 在棱长为1的正方体中，点M为棱的中点，则点B到直线的距离为（    ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间点到直线距离的向量公式求出答案. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，可得， 则与向量同向的单位向量为， 所以点B到直线的距离为. 故选：C. 5. 如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点．若向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由P是MN靠近N的三等分点得到，整理得到 ，又为BC的中点得到，由为OA的中点得到，从而得到． 【详解】M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点． 则，即，也即， 则，因，，， 又为BC的中点，则， 为OA的中点，则， 因此，． 故选：C. 6. 已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点的坐标，再求得的长即得． 【详解】设点关于直线的对称点为，则有解得， 因为光线从到的路程即的长，而.所以光线从到的路程为5. 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线过定点，采用数形结合法即可求解.. 【详解】直线可化为：， 令，得，所以直线过定点， 圆的圆心为，半径， 当时，有最小值，如图所示： 即圆心到直线的距离， 所以的最小值为. 故选：C 8. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图， 易得，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又因为平面，，所以平面平面. 因为平面，所以H为线段FG上的点. 由平面，平面，得， 又，则， 由平面，得平面， 因为，所以平面，，. 因为， 所以，，. 所以 . 因为，所以. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（    ） A. 已知向量，，，若、、共面，则等于1 B. 若直线l的方向向量为平面α的法向量为 则 C. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为 D. 已知 若与的夹角为钝角，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用空间向量共面定理即可求解；对于B，利用空间向量法判断线面关系即可；对于C，利用点的对称关系即可判断；对于D，利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】对于A，由题意可知，存在、，使得， 即，所以，故,A正确； 对于B：由已知可得，所以或，故B错误； 对于C，点关于y轴的对称点为，C错误； 对于D： 因为，因为与的夹角为钝角， 则 ，所以， 当时，，不合题意， 所以与的夹角为钝角，则，故D正确. 故选：AD 10. 已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则圆，的公共弦所在的直线方程为 B. 若两圆有四条公切线，则 C. 当时，，分别是圆、圆上的动点，则的最小值为 D. Q为直线上的动点，过点向圆引两条切线，切点分别为，，则直线过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出圆的圆心及半径，求出相交两圆公共弦所在直线方程判断AD；由两圆相离求出范围判断B；利用圆的性质求出最值判断C. 【详解】圆：的圆心，半径，圆的圆心，半径，， 对于A，当时，，圆与相交， 两圆方程相减得公共弦所在的直线方程，A正确； 对于B，由两圆有四条公切线，得圆与外离，则，解得，B错误； 对于C，当时，圆与外离，则，C正确； 对于D，设，依题意，点在以线段为直径的圆上， 线段为直径的圆方程为，与圆的方程相减， 得直线方程：，即， 由，解得，因此直线过定点，D正确. 故选：ACD 11. 如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，底面ABCD为矩形，，，若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为，其外接球球心为，则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 四棱锥的内切球半径为 C. 四棱锥的体积为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：运用线面垂直判断得到 垂直面，再用面面垂直判定得到平面平面即可. 选项B：由等腰直角三角形 三边关系得 长度，再由全等得 垂直面 ，四棱锥内切球在面 投影是 内切圆，用直角三角形内切圆半径公式求半径．选项C：取中点、，由面面垂直得垂直面，设，根据条件列方程求，进而求体积．选项D： 是 外接圆圆心，外接球球心是中点，结合内切球半径和 长度求． 【详解】对于A，因为，，平面PAD， 所以平面PAD，所以平面平面ABCD，A正确； 对于B，因为侧面PAD为等腰直角三角形，， 所以，， 因为平面PAD，平面PAD，则， 则为直角三角形，且，， 所以，易知平面， 该四棱锥的内切球在平面上的“正投影”为的内切圆， 设的内切圆半径为r，则， 所以四棱锥的内切球半径为，B正确； 对于C，分别取的中点E，F，连接则， 又平面截内切球所得的圆为大圆，且切点在上， 设，则，，， 所以，得， 所以四棱锥的体积，C错误； 对于D，易知E为的外接圆圆心，平面PAD， 又四边形为矩形， 所以外接球球心为为的中点，故，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线与间的距离为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】先将直线的方程化为，再利用两直线间的距离公式求解. 【详解】根据题意，直线的方程化为，直线 则两直线间的距离. 故答案为： 13. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 故答案为：. 14. 如图，点分别是正四棱锥的棱的中点，设平面，则与长度之比为______，四棱锥被平面分成上下两部分体积之比为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，连接，设与相交于点，则为的中点，延长交于点，连接，在中，由和三点共线，求解与长度之比为；再根据等体积法求四棱锥被平面分成上下两部分体积之比. 【详解】 在正四棱锥中，连接，连接， 设与相交于点，则为的中点，延长交于点，连接， 在中，， 又因为三点共线，所以， 所以，，即， 则，所以与长度之比为； 四棱锥被平面分成上下两部分体积分别为， ， ， ， 所以． 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：在中，由和三点共线，求解与长度之比. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知且 （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解. 【小问1详解】 ， ， 设， ， 的值为2． 【小问2详解】 由（1），则， ， ， ． 16. 已知圆. （1）求m的取值范围. （2）已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）①；②或. 【解析】 【分析】（1）根据圆的一般方程成立条件，建立不等式，可得答案. （2）①根据弦长公式，建立方程，求出参数；②根据切线方程的求法，可得答案. 【小问1详解】 （方法一）由题意得，则， 得，所以的取值范围为. （方法二）由， 得，所以的取值范围为. 【小问2详解】 ①由题意得到的距离， 则圆的半径为， 得. ②当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为. 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即. 由，得， 所以所求的切线方程为，即. 综上，过点的圆的切线方程为或. 17. 已知四棱锥平面． （1）证明：平面平面； （2）记平面平面，证明：； （3）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 平面，平面， ， 又， , 平面， 平面， 又平面， 平面平面. （2） ，平面，平面， //平面. 又平面平面，平面， . （3） 【解析】 【分析】（1）由平面得出，由，得出，结合平面，得出平面，又因为平面，利用面面垂直判定定理，得出平面平面. （2）根据线面平行判定定理，得出//平面，再结合线面平行的性质定理得出. （3）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 令，则. 平面中，， 设平面的法向量为， 则，令，则，故. 平面中，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故. 设平面与平面所成夹角为， 则. 18. 在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将△沿折起到△位置，使得（如图2）. （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：∵在梯形中，， ，，为的中点， ∴，，， ∴是正三角形，四边形为菱形， ∴，， ∵， 又∵平面ABC， ∴平面ABC， ∵平面， ∴平面⊥平面ABC. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是菱形，从而证明平面ABC，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 存在，，理由如下： ∵平面，OP⊥AC， ∴，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，， ∴，， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则，， ， 设， ∵，， ∴， 设与平面所成角为，则， 即，，解得， ∴线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为. 19. 设A，B是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，且． （1）求点所在圆的方程． （2）设直线与圆交于，两点（不与原点重合）． ①若直线过点，且，求直线的方程． ②设直线，斜率分别为，，且，证明：直线恒过定点． 【答案】（1） （2）①或； ②设，，， 联立直线l与圆的方程得， ，， ， ， 直线方程为，令，解得， 直线过定点，命题得证． 【解析】 【分析】（1）结合题干定义及已知条件，得出，再利用两点间距离公式列出方程，整理并化简为标准形式即可； （2）①利用直线与圆的位置关系，结合已知条件求出直线方程；②联立直线与圆的方程，利用韦达定理结合求出之间的关系，进而表示直线方程证明结论． 【小问1详解】 ，，即， ，设点， ，即， 整理得，即圆的方程为． 【小问2详解】 ①设为的中点，，． 又，，即圆心到直线的距离为1． 圆心到直线l的距离，又点在直线上，即， 联立，解得或． 直线的方程为或，即或． 直线的方程为或． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $