第一章 勾股定理 综合能力测评卷-2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第一章勾股定理综合能力测评卷 一、选择题：本大题共10小题，共30分。 1.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是(    ) A. 2，3，4 B. 5，12，13 C. 6，8，10 D. 9，12，15 2.在中，，，的对边分别为a，b，c且，则下列说法正确的是      A. 是直角 B. 是直角 C. 是直角 D. 3.下列四组数，是勾股数的是(    ) A. ，， B. 6，7，8 C. 30，40，50 D. ，， 4.下列三角形中，一定是直角三角形的有(    )①有两个内角互余的三角形；②三边长的比为的三角形；③三个内角的度数比是的三角形． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7 cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24 cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时是B的对应点，顶部边缘D处到桌面的距离DE为20 cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为      A. 15 cm B. 18 cm C. 21 cm D. 24 cm 6.在中，，，，则的面积是      A. B. C. D. 7.下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是      A. B. C. D. 8.意大利著名画家达芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为，图3中空白部分的面积为，则下列表示，的等式成立的是      A. B. C. D. 9.定义：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．给出下面三个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数，正确的是      A. ②③ B. ①② C. ①③ D. ①②③ 10.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(    ) A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小的两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和 二、填空题：本大题共5小题，共15分。 11.若直角三角形的三边长为5，12，m，则的值为          . 12.如图，在四边形ABCD中，，，，，则的度数为          . 13.如图，幸福小区C位于快递站点B的北偏东方向，沁苑小区D位于B的南偏东方向，无人机以1千米/分的速度配送快递时，从B到C需飞行8分钟，从B到D需飞行15分钟．若无人机的配送路线是，则配送途中飞行的时间为          分． 14.如图，长方形纸片ABCD中，，，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则的面积为           15.如图，透明的圆柱形玻璃容器容器厚度忽略不计的高为20 cm，在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4 cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25 cm，则该圆柱底面周长为          . 三、解答题：本大题共6小题，共75分。 16.如图，已知中，于点D，，，判断的形状，并说明理由． 17.如图，在中，，于点P，，，求阴影部分的面积． 18.如图，在中，，，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，试说明： 19.如图，一根直立的旗杆高8 m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A处 求旗杆距地面多高处折断． 工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部多大范围内有被砸伤的危险？ 20.定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点． 若，，，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由． 已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 21.勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，证明勾股定理的方法层出不穷，以下为勾股定理的一种证法： 把两个全等的直角三角形如图1放置，，，点E在边AB上，设两直角边，，斜边，用a，b，c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．   请根据上述图形的面积关系证明勾股定理； 如图2，铁路上A，B两点看作直线上的两点相距40千米，CD为两个村庄看作直线上的两点，，，垂足分别为A，B，千米，千米，则两个村庄之间的距离为          千米． 在的背景下，若要在AB上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在备用图中作出P点的位置并求出AP的距离． 答案和解析 1.【答案】A  2.【答案】A  3.【答案】C  4.【答案】D  5.【答案】A  【解析】【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解． 【解答】解：依题意，，， 在中，， ，， 在中，， 故选： 【点评】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 6.【答案】A  7.【答案】D  8.【答案】B  9.【答案】B  10.【答案】C  11.【答案】119或169  12.【答案】  13.【答案】40  14.【答案】  15.【答案】30cm  【解析】如图，将圆柱的侧面展开，EC为上底面圆周长的一半， 作点A关于CE的对称点，连接交EC于点F， 则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，即 过点作交BC的延长线于点， 在中，由勾股定理，得， 则该圆柱底面周长为 16.【答案】解：是直角三角形．理由如下：  因为，所以  因为，，  所以，  所以  在中，，，  所以，  所以，  所以  因为，，  所以，  所以是直角三角形．  17.【答案】解：如图，过点A作于点  在中，，，  由勾股定理，得  因为，，  所以AD是的中线，  所以  在中，，，  由勾股定理，得，  所以  因为，  所以阴影部分的面积为   18.【答案】解：如图，连接  因为，，  所以  因为是等腰直角三角形，  所以，，  所以，  又因为，，所以≌ ，  所以，，  所以，  所以，所以   19.【答案】【小题1】 解：由题意，得米，  因为，所以，  又因为米，所以米，米，  故旗杆距地面3米处折断． 【小题2】 如图，因为米，  所以米，  所以，所以米，  故距离旗杆底部6米范围内有被砸伤的危险．   20.【答案】【小题1】 解：点M，N是线段AB的勾股分割点．理由如下：  因为，，  所以，  所以以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，  所以点M，N是线段AB的勾股分割点． 【小题2】 设，则  ①当MN为最长线段时，  依题意，得，  所以，所以  ②当BN为最长线段时，  依题意，得，  所以，所以  综上，BN的长为12或   21.【答案】【小题1】 解：由题中图形易得，， ，，  所以，  化简得 【小题2】 41 【小题3】 如图，连接CD，作CD的垂直平分线，交AB于点P，  设千米，则千米，  因为，，  所以，  解得，所以千米．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $