精品解析：湖北省武汉市江夏区2025-2026学年九年级数学上学期期中数学试题

2025-2026学年度第一学期部分学校期中质量监测九年级数学试卷 亲爱的同学、在你答题前，请认真阅读下面的注意事项： 1．本试卷由第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成．全卷共6页，三大题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置． 3．答第I卷（选择题）时，选出每小题答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，在再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．答第Ⅱ卷（非选择题）时，答案用0．5毫米黑色笔迹签字笔书写在答题卡上．答在“试卷”上无效． 5．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩! 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若关于x的一元二次方程为，它的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 5，2 B. 5， C. 5，1 D. ， 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线平移后得到抛物线，正确的平移方式是（ ） A. 向右移动3个单位长度，向上移动1个单位长度 B. 向左移动3个单位长度，向上移动1个单位长度 C. 向右移动3个单位长度，向下移动1个单位长度 D. 向左移动3个单位长度，向下移动1个单位长度 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，延长交于点G，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在二次函数的图象上，二次函数图象与y轴的交点在负半轴，则的大小关系为（     ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象上有两点和，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 10. 在平面直角坐标系中，点、，将线段绕点A逆时针旋转，则点B的对应点C的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 方程的解是______． 12. 若点与点关于原点对称，则____________． 13. 若二次函数的图象与轴只有一个公共点，则的值为______． 14. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是:，这个函数图象如图所示，则小球从第到第下降的高度为____________m. 15. 已知二次函数的y与x的部分对应值如表，其中： 1 2 0 下列结论：①；②若点，均在二次函数的图像上，则；③满足的取值范围是；④当时，y的取值范围为．其中正确结论的序号为_____． 16. 如图，在正方形中，，点，分别在边，上，若，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段的最小值为______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程：． 18. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上． （1）若，，求的长； （2）连接，在中，添加与角相关的一个条件，使是等边三角形．（不需要说明理由） 19. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，求降价多少元，可使每星期获得的总利润为6120元？ 20. 如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程的解为________，________； （2）当时，直接写出的取值范围为________； （3）方程有实数根，的取值范围是________； （4）当时，直接写出的取值范围是________． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务的画线不得超过四条． （1）在图1中，点P在上，将线段沿方向平移，使点B与C重合，画出平移后的线段；再在上画点E，使； （2）在图2中，设，将绕点A逆时针旋转，得到线段，画出线段． （3）在图3中，点P在格线上，在上画点Q，． 22. 某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系． （1）画出平面直角坐标系，并求当时，这条抛物线的解析式： （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离： （3）图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点E，F）入水时才能达到训练要求，直接写出k的取值范围是_____． 23. 在等边中，点是延长线上一点，点是线段上一点，将绕点逆时针旋转得到． （1）如图1，若点恰好落在边上，点是的中点，交于点，求证：． （2）如图2，若，且，连接、，求证：． （3）如图3，若，，连接、，当最小时．直接写出四边形的面积． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．其中，，为坐标原点． （1）直接写出该抛物线的解析式； （2）如图1，点是线段上一点（不与端点重合），直线、与抛物线交于点、．设的面积为，的面积为，求的值； （3）如图2，直线：交第三象限的抛物线于点，交抛物线另一点，抛物线第三象限上一点（不与点重合），直线、分别与轴交于点、，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期部分学校期中质量监测九年级数学试卷 亲爱的同学、在你答题前，请认真阅读下面的注意事项： 1．本试卷由第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成．全卷共6页，三大题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置． 3．答第I卷（选择题）时，选出每小题答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，在再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．答第Ⅱ卷（非选择题）时，答案用0．5毫米黑色笔迹签字笔书写在答题卡上．答在“试卷”上无效． 5．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩! 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若关于x的一元二次方程为，它的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 5，2 B. 5， C. 5，1 D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的相关概念，根据一元二次方程的一般形式即可求解． 【详解】解：由题意得方程的二次项系数和一次项系数分别为5，， 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，根据抛物线顶点式的顶点坐标公式直接求解 【详解】∵ 抛物线的顶点坐标为， 且给定抛物线为， ∴顶点坐标为, 故选：B 3. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意； D. 是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 4. 关于x的一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程．根据方程两边都加上一次项系数一半的平方进行运算即可得到答案． 【详解】解：， ∴， 则， 故选：D． 5. 将抛物线平移后得到抛物线，正确的平移方式是（ ） A. 向右移动3个单位长度，向上移动1个单位长度 B. 向左移动3个单位长度，向上移动1个单位长度 C. 向右移动3个单位长度，向下移动1个单位长度 D. 向左移动3个单位长度，向下移动1个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键． 根据二次函数的平移变换的性质得出答案． 【详解】将抛物线平移后得到抛物线， 正确的平移方式是向左移动3个单位长度，向下移动1个单位长度． 故选：D． 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 7. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，延长交于点G，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，四边形内角和，利用旋转的性质得到，，再利用四边形内角和解题即可． 【详解】解：根据旋转可得：，， ， ， ， 故选：B． 8. 已知点在二次函数的图象上，二次函数图象与y轴的交点在负半轴，则的大小关系为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，求出抛物线的对称轴和开口方向，然后根据二次函数的对称性和增减性，即可求出答案． 【详解】解：∵ ∴对称轴是直线， ∵二次函数图象与y轴的交点在负半轴， ∴， ∴， ∴二次函数的开口向下， 即在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵关于直线x=1的对称点为，且， ∴． 故选：B． 9. 已知二次函数的图象上有两点和，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，由于点A和B在二次函数图象上且纵坐标相同，可得a和b是方程的两个根，利用根与系数的关系得到a，并由方程变形得，代入所求表达式化简计算即可 【详解】∵点和在函数的图象上， ∴，即， 同理， ∴a, b是方程的两个根， 由根与系数关系得：， 由，得， ∴， 代入， ∴原式 故选C 10. 在平面直角坐标系中，点、，将线段绕点A逆时针旋转，则点B的对应点C的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，熟知图形旋转的性质及能根据题意画出示意图是解题的关键．由旋转性质可知，，且旋转角为，在等腰三角形中，可计算，设点C坐标为，根据和的长度利用勾股定理列出方程，解方程得到点C的纵坐标，并根据旋转方向确定合理值． 【详解】解：如图所示， 连接，过点C作x轴的垂线，垂足为P，过点A作和的垂线，垂足分别为M和N， ∵点、， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 令点C坐标为，则，，，， 在中，， 即①； 在中，， ②， ②①得，， 则， 将代入②得，， 解得， 因为， 所以点C的纵坐标为． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 12. 若点与点关于原点对称，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标性质：横纵坐标分别互为相反数，进而得出、的值．也考查了代数式求值． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：． 13. 若二次函数的图象与轴只有一个公共点，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，由二次函数图象与轴只有一个公共点，可知对应的一元二次方程有两个相等的实数根，再根据判别式为零列出关于的一元二次方程解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数 的图象与x轴只有一个公共点， ∴方程 有两个相等的实数根， ∴，且， 整理得，， 解得或， 故答案为：或． 14. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是:，这个函数图象如图所示，则小球从第到第下降的高度为____________m. 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，读懂题目是解题的关键．根据第时小球达到最高点，然后小球竖直下落，分别求出第和第对应的值即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，第时小球达到最高点，此时小球距离地面，然后小球开始竖直下落， 当时，， 故则小球从第到第下降的高度为， 故答案为：． 15. 已知二次函数的y与x的部分对应值如表，其中： 1 2 0 下列结论：①；②若点，均在二次函数的图像上，则；③满足的取值范围是；④当时，y的取值范围为．其中正确结论的序号为_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．由表格数据，易知和时函数值相等，进而可得该函数图像的对称轴为，即有，分别将点、、代入函数，求解可得，，（），然后结合题意逐一分析判断即可． 【详解】解：由表格数据，点、、在二次函数上， 由于和时函数值相等，可知该函数图像的对称轴为，即， ∴， 将点代入函数，可得， 将点代入函数，可得； 将点代入函数，可得， 由，化简得，与对称轴结论一致， 解得，，（）， ①，故正确； ②点和的横坐标中点，关于对称轴对称，故，正确； ③∵，，， 则将不等式整理，可得， 不等号两边同时除以，得，即， 解得或，与不符，故错误； ④ 若区间，对称轴在区间内，顶点为最大值， 端点时（计算得）， 但时，时， ∴，故正确． 综上所述，正确结论的序号为①②④． 故答案为：①②④． 16. 如图，在正方形中，，点，分别在边，上，若，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，勾股定理，正方形中的旋转变换，涉及三角形全等的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点作交于点，连接，过作于，根据四边形是正方形，将线段绕点顺时针旋转至线段，可得，，又，即可证明，得，四边形是平行四边形，故，设，可得，由二次函数性质可得答案． 【详解】解：如图，过点作交于点，连接，过作于， 四边形是正方形， ． ， 四边形是矩形， ，，， ． 将线段绕点顺时针旋转至线段， ，， ， ， ， ，， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ． 设，则，， ， ， 当时，最小为， 最小为． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用公式法求解即可，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 18. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上． （1）若，，求的长； （2）连接，在中，添加与角相关的一个条件，使是等边三角形．（不需要说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定； （1）由勾股定理求解，证明，可得，从而可得答案； （2）添加，结合有一个角为的三角形是等边三角形可得答案． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴． ∵由旋转得到 ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：添加：（或），理由如下： 由旋转可得：， ∵， ∴为等边三角形． 19. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，求降价多少元，可使每星期获得的总利润为6120元？ 【答案】2元或3元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设降价x元，则每星期可卖出件，根据使每星期获得的总利润为6120元，列出一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设降价x元，可使每星期获得的总利润为6120元． ， 整理得： 解得：，． 答：降价2元或3元时，可使每星期获得的总利润为6120元． 20. 如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程的解为________，________； （2）当时，直接写出的取值范围为________； （3）方程有实数根，的取值范围是________； （4）当时，直接写出的取值范围是________． 【答案】（1），1 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法，即可求解； （2）根据二次函数图象在x轴上方部分所对自变量的取值范围解答即可； （3）根据二次函数图象即可求解； （4）把解析式转化成顶点式，可得时，y的最小值为，再把代入得，，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴，， 故答案为：，1； 【小问2详解】 解：∵的根为，1， ∴二次函数的图象与x轴交于点，， 由图象可得，时，的取值范围为， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵方程有实数根， ∴方程有实数根， ∴， 即：； 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵， ∴时，y的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， ∴当时，y的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与x轴的交点坐标，注重数形结合的思想是解题的关键． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务的画线不得超过四条． （1）在图1中，点P在上，将线段沿方向平移，使点B与C重合，画出平移后的线段；再在上画点E，使； （2）在图2中，设，将绕点A逆时针旋转，得到线段，画出线段． （3）在图3中，点P在格线上，在上画点Q，． 【答案】（1） 如图：线段以及点即为所求； （2） 如图，线段即为所求； （3） 如图，点即为所求： 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质即可作出，取格点，连接并延长交即为点，由得到，而，再由对顶角相等即可证明，故； （2）取格点，连接交于点，连接，则即为所求；可得，则，那么，记交于，则，故，可得，则，然后根据互余关系可得，则由得到，故关于对称，故，则； （3）连接与格线交于点，取格点，连接并延长，与格线交于点，连接并延长与交点即为点；由得到，则，同理，则，那么可证明，再可得，则得到对应角相等，继而由互余关系可证明，那么． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了使用无刻度直尺作图，难度较大，涉及全等三角形的判定与性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，轴对称的性质等知识点． 22. 某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系． （1）画出平面直角坐标系，并求当时，这条抛物线的解析式： （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离： （3）图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点E，F）入水时才能达到训练要求，直接写出k的取值范围是_____． 【答案】（1） （2）运动员落水点与点C的距离为5米 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数解析式等知识点，判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解题关键． （1）根据抛物线顶点坐标，设抛物线解析为：，将点代入求得a的值即可； （2）先求得抛物线与x轴交点为：，进而完成解答； （3）若跳水运动员在区域内（不含点E，F）入水达到训练要求，则在函数中，当时，；当米，时，据此列关于k的不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，点， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得，，解得，， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：当，则．解得：，． 故抛物线与x轴交点为：． ∴运动员落水点与点C的距离为5米． 【小问3详解】 解： ∵跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，是固定不变的， ∴设抛物线的解析式为，且过点， ∴，则， ∵米，米， ∴当时，，则，解得：； 当时，，则，解得，． 综上所述，k的取值范围是． 23. 在等边中，点是延长线上一点，点是线段上一点，将绕点逆时针旋转得到． （1）如图1，若点恰好落在边上，点是的中点，交于点，求证：． （2）如图2，若，且，连接、，求证：． （3）如图3，若，，连接、，当最小时．直接写出四边形的面积． 【答案】（1） 证明：在等边中，，， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， 则为等边三角形，， ∴，则， 由旋转可知，，， ∵， ∴， ∴． （2） 证明：在等边中，，， 在上截取，则为等边三角形，， ∴，，则， ∵，则． ∴， ∴，， 由旋转可知，，，则， 在上截取，连接交于， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 则四边形为平行四边形， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，则为等边三角形， ∴，则， ∴． （3）当最小时，四边形的面积． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质，结合平行线的性质，可得为等边三角形，，结合已知可得，由旋转可得，，可得，即可证得结论； （2）在上截取，则为等边三角形，，证明，可得，，证明，可得，，由平行四边形的判定和性质，可得，设，则，，可得为等边三角形，可得，由线段之间关系，等量代换，即可证得结论； （3）由等边三角形的性质，结合旋转的性质，证明，可得，延长至，使得，则，可得为等边三角形，延长交延长线于点，则为等边三角形，结合已知可得，，由垂线段最短可知，当点与点重合时，最小，过点作，则，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理，可得，即可得四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在等边中，，，则， ∵， ∴，， 由旋转可知，，， 将绕点逆时针旋转得到，则，， ∴，， ∴， ∴， 延长至，使得，则， ∴为等边三角形， ∴，， 则，即点在直线上， 延长交延长线于点，则为等边三角形， ∴， ∵，即为的中点， ∴，， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，最小， 过点作，则， ∴， ∴， 四边形的面积， ∴当最小时，四边形的面积． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，含角的直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定和性质，垂线段最短，与三角形的高有关的计算． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．其中，，为坐标原点． （1）直接写出该抛物线的解析式； （2）如图1，点是线段上一点（不与端点重合），直线、与抛物线交于点、．设的面积为，的面积为，求的值； （3）如图2，直线：交第三象限的抛物线于点，交抛物线另一点，抛物线第三象限上一点（不与点重合），直线、分别与轴交于点、，求证：． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）的值为 （3） 证明：设，，， 直线的解析式为， ∴， ∴， 即直线的解析式是， ∴点的坐标是． 同理可求出点的坐标是， 又点， ∴，， 联立， 可得， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由二次函数图象的对称性，结合已知可得点，把点，，的坐标代入，可得，，，即可得抛物线的解析式； （2）设点，分别求出直线和直线的解析式，进而可得点和点的坐标，再分别表示出和，即可得的值； （3）设，，，求出直线、直线的解析式，得到点和点的坐标，从而可得和，即可证得结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点，，顶点， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设点，直线的解析式是， 则， ∴， 即的解析式是． 又抛物线与轴另一交点为， ∴同理可求的解析式是． ∴， ∴点． 联立， 解得． 又， ， ∴． ∴的值为． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，求一次函数的解析式，抛物线与直线的交点问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $