精品解析：湖北省孝感市孝昌县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度上学期初中期中学情调研 九年级数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形定义，旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故该选项正确； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误， 故选：A． 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程常数项移到等号右边，两边加上一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式变形即可得到结果 【详解】解：方程整理得：， 配方得：，即． 故选：D． 【点睛】此题考查了用配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 3. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移个单位所得抛物线的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移个单位所得抛物线的解析式为：， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 4. 若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根， ∴m＋n＝−3，mn＝−9， ∵m是x2＋3x−9＝0的一个根， ∴m2＋3m−9＝0， ∴m2＋3m＝9， ∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2=−，x1•x2=． 5. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点A恰好在ED的延长线上，∠BAC＝40°，则∠BAE的度数为（　　） A. 80° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得：AC=EC，∠E=∠BAC＝40°，从而得到∠E=∠CAE=40°，即可求解． 【详解】解：根据题意得：AC=EC，∠E=∠BAC＝40°， ∴∠E=∠CAE=40°， ∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=40°+40°=80°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，根据旋转的性质得到AC=EC，∠E=∠BAC是解题的关键． 6. 二次函数与一次函数在同一坐标系中图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的综合；根据两个函数的图象确定出a、c的符号，矛盾的则不符合题意，相同的则符合题意，则可判断． 【详解】解：A、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意； B、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意； C、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意； D、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，符合题意； 故选：D． 7. 如图，点、、在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得． 【详解】解：， ， 故选：B． 8. 已知点，点，点均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象及性质，根据二次函数得抛物线的对称轴为，其开口向上，进而可得的对称点为，再根据二次函数的增减性即可求解，熟练掌握其图象及性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得：抛物线的对称轴为，其开口向上， 的对称点为， ， ， 故选：B． 9. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 10. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴的交点位置可判断①②，由时及与的数量关系可判断③，由时函数取最小值可判断④；根据一元二次方程根与系数的关系，结合与的数量关系可判断⑤． 【详解】解：①对称轴在轴右侧， 、异号， ， ， ，故①正确； ②对称轴为直线， ，故②正确； ③， ， 当时，， ， ，故③正确； ④根据图象知，当时，有最小值； 当为实数时，有 ， （为任意实数），故④正确； ⑤方程可转化为， 方程的两个之和为， ， 方程的两根之和为，故⑤错误； 故正确的由①有②③④，共个， 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若是关于x的二次函数，则m的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得，，解方程即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：2． 12. 关于的方程的两实数根互为倒数，则两根之和为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，根据根与系数的关系，结合乘积为1的两数互为倒数，得到，求出的值，再根据根与系数的关系求出两根之和即可． 【详解】解：设的两个根为， 则：， ∵关于的方程的两实数根互为倒数， ∴， ∴， 当时，，此方程无解，不符合题意； 当时，， ∴； 故答案为：． 13. 已知函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是________________． 【答案】0或1 【解析】 【分析】由题意可分当a=0时，则函数与x轴满足只有一个交点，当a≠0时，则需满足，然后求解即可． 【详解】解：由题意得： 当a=0时，则函数解析式为，满足与x轴只有一个公共点， 当a≠0时，则函数的图像与x轴只有一个公共点，需满足，即， ∴， 综上所述：当函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是0或1； 故答案为0或1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 14. 某次商品交易会上，所有参加会议的商家之间都签订了一份合同，共签订合同55份，_____商家参加了交易会． 【答案】11 【解析】 【分析】设共有x个商家参加了交易会，利用签订合同的总数＝参加会议的商家数×（参加会议的商家数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出参加交易会的商家数． 【详解】解：设共有x个商家参加了交易会， 依题意得：x（x﹣1）＝55， 整理得：x2﹣x﹣110＝0， 解得：＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 15. 已知中，，将绕点旋转得，使点恰好落在边上点处，边交边于点（如图），如果为等腰三角形，则的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】如图，设，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，再利用旋转的性质得，，则，利用平角定理得，利用三角形外角性质得，讨论：当时，，则；当时，，利用得到；当时，，利用得到，然后分别解关于的方程，然后计算即可得到的度数． 【详解】解：如图，设， ， ， 绕点旋转得，使点恰好落在边上点处， ，， ， ，， 当时，为等腰三角形，即，则，解得，此时； 当时，为等腰三角形，即，而，则， 解得，此时， 当时，为等腰三角形，即，而， 则，解得（舍去）， 综上所述，为等腰三角形时的度数为或， 故答案为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了三角形内角和、等腰三角形的性质和分类讨论思想． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项，再用提公因式法因式分解求解可得； （2）直接利用十字相乘法因式分解求解可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得：，． 17. 已知关于x的一元二次方程， （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】（1）见解析； （2），． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程即可求出答案． 【小问1详解】 ∵ ∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 ∵，是方程的两根， ∴，， ∵，即， ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． 18. 如图，四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】依据题意，证明即可得证 【详解】证明：由旋转可知， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 即， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形判定和性质，等边三角形的性质等知识，掌握旋转的性质是解题的关键． 19. 如图，在边长为1个单位长度小正方形组成的网格中，点A，B，C都是格点． （1）将绕点O按逆时针方向旋转得到，请画出； （2）作出关于点O成中心对称的． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查的是旋转、中心对称，解题的关键在于根据这些变换的性质画出对应点． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点即可； （2）利用网格特点和中心对称的性质画出A、B、C的对应点即可； 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求 【小问2详解】 如图所示，即为所求 20. 如图，的直径与弦交于点，，． （1）求的长． （2）当时，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理及直角三角形的性质． （1）过点作于点，根据是的直径，，，求出，进而利用勾股定理求出，再根据垂径定理即可求出； （2）根据题意求出，利用勾股定理求出即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点． 是的直径，， ． ， ， ， ，即的长为； 【小问2详解】 解：，， ． 又，， ，． ，即的长为． 21. 已知抛物线中的，满足下表： … … … … … （1）求抛物线的解析式； （2）若则自变量的取值范围为______（直接写出结果） （3）当时，抛物线的最小值为______（直接写出结果） 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据表格中的点坐标，利用待定系数法，得到抛物线解析式； （2）根据抛物线解析式，得到顶点坐标，结合表格中点坐标，画出图象，得到结果； （3）根据函数解析式可得当时，函数有最小值，再分别求出当、时的函数值，即可求解时． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，， ， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 抛物线解析式为， 顶点坐标为， 当时，， 解得或， 当时，， 解得或， 结合表格，得到抛物线图象， 当，则或， 故答案为：或； 【小问3详解】 抛物线解析式为， 当时，函数有最小值， 当时，， 当时，， 当时，抛物线的最小值为， 故答案为：． 22. 某商场主营玩具销售，经市场调查发现某种玩具的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，该玩具的月销售总利润W=（售价成本）月销量，三者有如下数据 售价x（元/件） 15 20 30 月销量y（件） 500 400 200 销售总利润W（元） 2500 4000 4000 （1）试求y关于x函数关系式（x的取值范围不必写出）； （2）玩具的成本多少元？当x是多少时，月销售总利润最大？最大利润是多少？ （3）如果月销售总利润不低于2500元，请确定销售单价x的取值范围． 【答案】（1） （2）成本为10元每件，时月销售总利润最大，最大利润是4500元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数、一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解即可； （2）设成本为m元，根据每件利润数量总利润列方程求解；根据每件利润数量总利润建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解最值； （3）根据题意得到，再转化为利用二次函数图象解一元二次不等式． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数解析式为，则， ，解得， ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设成本为m元， 由题意可得：， 解得（元）， 则， ∵， ∴当时，W有最大值，为4500元； 【小问3详解】 解：由题意得，， 即， 解方程得 令， 由得抛物线开口向上 ∴当时，． 23. 已知，点F是矩形边上一点，点E在边上，，连接． （1）如图1，点F在边上，且，连接．求证：； （2）如图2，点F在边上，且，连接交于点G．求证：． （3）在（2）的条件下，，，则 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据证明，得出，即可得出答案； （2）过点C作，交于H，连接，证明四边形是平行四边形，得出，即可得出，根据证明，得出，，证明，即可求出，根据平行线的性质，得出； （3）设，则，，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出BE的值，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ，， ∵在和中， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 证明：如图2，过点C作，交于H，连接， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∵在和中， ∴， ，， ， ， ， 又， ， ， 【小问3详解】 解：设，则，， 根据解析（2）可知，， ∵， 即， 解得：或， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不符合题意舍去， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 24. 如图，抛物线与x轴交于，两点，直线l：与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． （1）求点C的坐标和直线l的解析式； （2）点P是y轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； （3）点Q是直线l下方抛物线上一动点，动点Q运动到什么位置时，的面积最大?求出此时Q点坐标和的最大面积． 【答案】（1），直线l的解析式为； （2）点P坐标为； （3），的面积最大值为． 【解析】 【分析】（1）由点横坐标可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线l的函数表达式； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，的值最小，据此求解即可； （3）过作轴交于，用表示出和的坐标，从而可表示出的长，表示出的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时的． 【小问1详解】 解：把代入抛物线解析式可得， ， 把、坐标代入直线l：可得，， 解得， 直线l解析式为； 【小问2详解】 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，的值最小， 设直线的解析式为， 把、坐标代入可得，， 解得， 直线解析式为； 令，则， 点P坐标为； 【小问3详解】 解：过作轴交于， 设，则， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为． 此时． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积及方程思想等知识．在（3）中用表示出的面积是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期初中期中学情调研 九年级数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，是中心对称图形是（ ） A B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 4. 若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 12 5. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点A恰好在ED的延长线上，∠BAC＝40°，则∠BAE的度数为（　　） A. 80° B. 60° C. 65° D. 70° 6. 二次函数与一次函数在同一坐标系中图象大致为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点、、在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，点，点均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 10. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若是关于x的二次函数，则m的值为_______． 12. 关于方程的两实数根互为倒数，则两根之和为_________． 13. 已知函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是________________． 14. 某次商品交易会上，所有参加会议商家之间都签订了一份合同，共签订合同55份，_____商家参加了交易会． 15. 已知中，，将绕点旋转得，使点恰好落在边上点处，边交边于点（如图），如果为等腰三角形，则的度数为______． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 已知关于x的一元二次方程， （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 18. 如图，四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．求证：． 19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C都是格点． （1）将绕点O按逆时针方向旋转得到，请画出； （2）作出关于点O成中心对称的． 20. 如图，的直径与弦交于点，，． （1）求的长． （2）当时，求的长． 21. 已知抛物线中的，满足下表： … … … … … （1）求抛物线的解析式； （2）若则自变量的取值范围为______（直接写出结果） （3）当时，抛物线的最小值为______（直接写出结果） 22. 某商场主营玩具销售，经市场调查发现某种玩具的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，该玩具的月销售总利润W=（售价成本）月销量，三者有如下数据 售价x（元/件） 15 20 30 月销量y（件） 500 400 200 销售总利润W（元） 2500 4000 4000 （1）试求y关于x的函数关系式（x的取值范围不必写出）； （2）玩具的成本多少元？当x是多少时，月销售总利润最大？最大利润是多少？ （3）如果月销售总利润不低于2500元，请确定销售单价x的取值范围． 23. 已知，点F是矩形边上一点，点E在边上，，连接． （1）如图1，点F在边上，且，连接．求证：； （2）如图2，点F在边上，且，连接交于点G．求证：． （3）在（2）的条件下，，，则 ． 24. 如图，抛物线与x轴交于，两点，直线l：与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． （1）求点C的坐标和直线l的解析式； （2）点P是y轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； （3）点Q是直线l下方抛物线上一动点，动点Q运动到什么位置时，的面积最大?求出此时Q点坐标和的最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $