精品解析：辽宁省调兵山市2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题

2025－2026调兵山市九年级期中阶段教学质量检测 数 学 试 卷 一、选择题：（每题3分，仅有一个正确答案，共30分 1. 垃圾分类是资源，垃圾混置是垃圾．下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正五边形的图案（如图），则可以为（ ） A. B. C. D. 3. 对于的性质，下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 当时，有最大值 D. 当时，随增大而减小 4. 有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可到方程为（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 6. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 7. 如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接．当点、、在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的有（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点关于原点的对称点，那么________． 12. 设，是一元二次方程的两个根，则______． 13. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得，连接，若，则的大小为_______． 14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若， 则的度数是_______． 15. 如图，在正方形中，，P为对角线上一动点，F为射线上一点，若，则的面积的最大值为_______． 三、解答题 （共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的对应点的坐标为______； （2）直接写出的面积为______； （3）将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为______． 18. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 19. 科技发展飞速，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）． （1）该商家每天想获得1250元的利润，又要让利于顾客，应将销售单价定为多少元？ （2）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值． 20. 根据素材解决问题 设计货船通过圆弧拱桥的方案 素材1 图（1）是某圆弧形拱桥的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离 素材2 如图（2），一艘货船露出水面部分的纵截面为矩形，测得．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度与货船增加的质量满足函数关系式． （注：本题中货船与拱桥刚好挨住时可以通过，但生活中要注意安全，临界状态时绝对不可以通过．） 问题解决 任务1 确定拱桥半径 求圆弧形拱桥的半径 任务2 拟定设计方案 根据图（2）状态，货船能否通过圆弧形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 21. 如图，在中，，以为直径的交于点D，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求长． 22. 已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接．    （1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； 【模型应用】 （2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长． 23. 【问题情景】 数学活动课上．张老师给出如下定义：如果一条抛物线在x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）请同学们回答“抛物线三角形”一定是 三角形： 【展示交流】 （2）“善思数学小组”提出问题：若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形．请同学们求出b的值： 拓展探究】 （3）数学张老师继续提出问题：如图，是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026调兵山市九年级期中阶段教学质量检测 数 学 试 卷 一、选择题：（每题3分，仅有一个正确答案，共30分 1. 垃圾分类是资源，垃圾混置是垃圾．下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可. 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是是中心对称图形，故此选项符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别和轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义． 2. 小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正五边形的图案（如图），则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意依据每次旋转相同角度，旋转了五次，且旋转了五次刚好旋转了一周为进行分析即可得出答案． 【详解】解：因为每次旋转相同角度，旋转了五次， 且旋转了五次刚好旋转了一周为， 所以每次旋转相同角度 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数． 3. 对于的性质，下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 当时，有最大值 D. 当时，随增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】对于，其顶点坐标为，对称轴为，当时，随的增大而增大，根据性质逐一分析即可． 【详解】解：抛物线， 所以抛物线的顶点坐标为：，对称轴为：， ，图象开口向上，当时，有最小值为， 当时，随的增大而增大， 故A，C，D不符合题意；B符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是抛物线的性质，结合抛物线的图象掌握抛物线的性质是解本题的关键． 4. 有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可到方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有（x+1）人患流感，第二轮共有x+1+（x+1）x人，即81人患了流感，由此列方程求解． 【详解】x+1+（x+1）x=81 整理得，（1+x）2=81． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解． 5. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到，结合一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选C． 6. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点作，垂足为，可构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理即可得答案．本题考查垂径定理及推论、矩形性质，掌握垂径定理和勾股定理是解题关键． 【详解】解：过点作，垂足为，连接， 四边形是矩形， ． 设， 则，， 在直角三角形中，， 即， 解得，即球的半径为5． 故选：B． 7. 如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据互相垂直可得所对的圆心角为，根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， 半径互相垂直， ， 所对的圆心角为， 所对的圆周角， 又， ， 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接．当点、、在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，将绕点逆时针旋转得到，可得再证明 再逐一分析即可． 【详解】解：∵将△绕点逆时针旋转得到△， ∴ 故A不符合题意； ∴ ∴ 故B不符合题意； ∴ ∴ ∴ 故C不符合题意； ∵ ∴ 故D符合题意； 故选：D． 9. 如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理．作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到，再利用勾股定理，继而求得答案． 【详解】解：∵半径为5的， ∴， 作直径，连接，如图， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①抛物线开口向下，则， 抛物线对称轴位于y轴右侧，则a，b异号，即， 抛物线与y轴交于正半轴，则，所以， 故①错误； ②∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， 故②正确； ③∵抛物线对称轴为直线， ∴函数的最大值为：， ∴，即， 故③错误； ④∵抛物线与x轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在的右侧， ∴当时，， ∴， 故④错误； ⑤∵， ∴， ∴， ∴， 而， ∴，即， ∵， ∴， 故⑤正确． 综上所述，正确的有②⑤． 故选：C． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键． 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点关于原点的对称点，那么________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数，可得m、n的值，即可解答． 【详解】∵点关于原点的对称点是 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 12. 设，是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 13. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得，连接，若，则的大小为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，先由将绕直角顶点顺时针旋转，得，得，，则，结合已知可求，然后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵将绕直角顶点顺时针旋转，得， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 故答案为：． 14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若， 则的度数是_______． 【答案】##34度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据直径所对的圆周角是直角得出，利用圆内接四边形的性质求出，然后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，，P为对角线上一动点，F为射线上一点，若，则的面积的最大值为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，二次函数的应用．作与M，根据正方形的性质易得，设，则，根据等腰三角形的性质即可得出，由三角形面积公式得出，进而根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：作与M， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，有最大值16， 故答案为：16 三、解答题 （共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，能根据方程的特点选择合适的方法是解题的关键． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 整理得 解得： 【小问2详解】 解： 解得： 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的对应点的坐标为______； （2）直接写出的面积为______； （3）将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）关于原点对称，则各点的横纵坐标变为原来的横纵坐标的相反数，确定点坐标后，连接各点坐标，即可得到所求图形； （2）如图所示（见详解），利用“割补法”，则，由此即可求解； （3），，绕某点旋转后的对应点为，，， 连接对应点，并作连线的垂直平分线即可求解． 【小问1详解】 解：的点的坐标是，，，则关于原点对称的的各点的坐标是，，，如图所示，即为所求， ∴的坐标为． 【小问2详解】 解：如图所示，利用“割补法”， ∴， ∴， ∴的面积为． 【小问3详解】 解：∵，，绕某点旋转后的对应点为，，， ∴如图所示，连接，，， 设旋转点的坐标为，则从点到点，点的距离相等，且， ∴， ∴在中，， ∴，即点到的距离为，点到的距离为， ∴旋转点在连线的垂直平分线上，即旋转点在与对应点连线的垂直平分线上，如图所示， ∴旋转点的坐标为． 【点睛】本题主要考查图形的变换，点在平面直角坐标系中的变换，掌握旋转的性质，“割补法”求面积是解题的关键． 18. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】（1），球不能射进球门 （2）当时他应该带球向正后方移动1米射门 【解析】 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 19. 科技发展飞速，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）． （1）该商家每天想获得1250元的利润，又要让利于顾客，应将销售单价定为多少元？ （2）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值． 【答案】（1）为了让利于顾客，将销售单价应定为15元； （2）此时的最大值为2160元． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出W关于x的函数关系式，再令，可得：，解方程即可求解； （2）根据题意有：，解得：，将化为顶点式为：，即可知当时，函数值随着的增大而减小，问题随之得解． 【小问1详解】 根据题意，有：， 化简，得：， 根据，解得：， 即函数关系为：，； 令，可得：， 解得：，或， 当时，销量：（件； 当时，销量：（件； 售价越低，越有利于让利顾客， 即为了让利顾客，将销售单价应定为15元； 【小问2详解】 根据题意有：，解得：， 将化为顶点式为：， ， 当时，函数值随着的增大而减小， ， 当时，函数值最大，最大为：． 答：此时的最大值为2160元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知的等量关系列出相应的函数关系式是解答本题的关键． 20. 根据素材解决问题 设计货船通过圆弧拱桥的方案 素材1 图（1）是某圆弧形拱桥的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离 素材2 如图（2），一艘货船露出水面部分的纵截面为矩形，测得．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度与货船增加的质量满足函数关系式． （注：本题中货船与拱桥刚好挨住时可以通过，但生活中要注意安全，临界状态时绝对不可以通过．） 问题解决 任务1 确定拱桥半径 求圆弧形拱桥的半径 任务2 拟定设计方案 根据图（2）状态，货船能否通过圆弧形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 【答案】任务一：10米；任务二：不能，需增加吨货物 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，一次函数解析式，正确理解题意是解题的关键． 任务1：记拱桥所在圆弧的圆心为点O，拱顶离水面的距离为，水面宽，则点O在延长线上，连接，设桥拱的半径为，根据勾股定理得出，解出即可； 任务2：当是的弦时，记与的交点为M，则，得出，进而得出货船不能通过圆形桥拱，为了能顺利通过，船在水面部分至少需要下降的高度米，根据，即可得出答案． 【详解】解：任务1： 记拱桥所在圆弧的圆心为点O，拱顶离水面的距离为，水面宽，则点O在延长线上，连接（如图1） 设桥拱的半径为， ∵，， ∴， ∴，即圆形拱桥的半径为10米； 任务2： 当是的弦时，记与的交点为M（如图2）， 则， ∴， ∴， ∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱， 为了能顺利通过，船在水面部分至少需要下降的高度米． ∵， ∴吨， ∴至少需要增加吨的货物． 21. 如图，在中，，以为直径的交于点D，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 为的直径， ， ． 为中点， ． ． ， ． ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，斜边上的中线，含30度角的直角三角形，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键． （1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，由斜边上的中线，得到，进而得到，等边对等角，结合等量代换，推出，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 在中，， ， ， ， ， ． 22. 已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接．    （1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； 【模型应用】 （2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长． 【答案】（1），； （2）； 理由：∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得，，， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴； （3）线段的长为或 【解析】 【分析】（1）利用正方形、旋转的性质以及边角边关系证全等，即可得到结论； （2）利用全等的性质得到，利用勾股定理求得，代入转化即可； （3）利用旋转的性质得到是直角三角形，再根据转化为求的长，通过作垂线构造，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1），； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵将线段绕点C顺时针旋转，得到线段， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 则，即； （2）略 （3）过点C作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 若点E在线段上，     ∵， ∴， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∴， 若点E在的延长线上时，     同理，， ∴， 同理，， 综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质以及矩形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和直角三角形． 23. 【问题情景】 数学活动课上．张老师给出如下定义：如果一条抛物线在x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）请同学们回答“抛物线三角形”一定是 三角形： 【展示交流】 （2）“善思数学小组”提出问题：若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形．请同学们求出b的值： 拓展探究】 （3）数学张老师继续提出问题：如图，是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）等腰；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，会运用等腰直角三角形、等边三角形和矩形的性质建立等量关系，将函数问题转化为方程问题是解题的关键． （1）根据抛物线的轴对称性判断即可； （2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b的值． （3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形，那么必须满足，结合（1）的结论，得出这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，用p表示出、的长，通过这个等边三角形来列等量关系求出p的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点关于抛物线的对称轴对称， ∴“抛物线三角形”是等腰三角形； 故答案为等腰； （2）∵ ∴顶点为， ∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形， ∴， ∴（负值舍去）； （3）存在． ∵， ∴顶点坐标为， 如图，作△与△关于原点中心对称， 则四边形为平行四边形，， 当时，平行四边形为矩形． 又∵， ∴△为等边三角形． 作，垂足为H． ∴． ∴． ∴（负值舍去） ∴，． ∴，． 设过点三点的抛物线，则 ， 解得 ∴所求抛物线的表达式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $