专题2.1绝对值与相反数(知识点梳理+9大题型+强化专练通关)讲义 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

该初中数学讲义以“概念-性质-应用”逻辑链构建绝对值与相反数知识体系，通过框架图梳理8个核心知识点，用对比表格呈现联系与区别，思维导图归纳化简步骤，清晰呈现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，如几何意义的零件质量检测题培养几何直观，非负性的代数式求值题发展推理意识，“奇负偶正”技巧提升运算能力。基础题与综合题结合助力分层提升，支持学生自主复习和教师精准教学。

专题2.1绝对值与相反数 【知识点1】绝对值的几何意义 1.核心定义：在数轴上，表示一个数的点与原点（0 对应的点）之间的距离，就是这个数的绝对值。数 a 的绝对值记作∣a∣，距离本身是非负的，所以绝对值的结果一定大于或等于 0。 2.具体示例 *正数的绝对值：表示 3 的点在数轴上距离原点 3 个单位长度，所以∣3∣=3； *负数的绝对值：表示 - 4 的点在数轴上距离原点 4 个单位长度，所以∣−4∣=4； *0 的绝对值：原点到自身的距离为 0，所以∣0∣=0。 3.延伸应用：可推广到两点间距离，数轴上表示数 m 和数 n 的两点之间的距离，可表示为∣m−n∣（或∣n−m∣）。比如表示 2 和 5 的两点距离是∣5−2∣=3，表示 - 1 和 3 的两点距离是∣3−(−1)∣=4。 【知识点2】绝对值非负性 1.核心定义：对于任意实数 a，它的绝对值都满足 **∣a∣≥0**，即绝对值的结果要么是正数，要么是 0，永远不会是负数。 2.常见表现形式 *单个绝对值：如∣5∣=5>0，∣−3∣=3>0，∣0∣=0； *绝对值与其他运算结合：如∣a+2∣≥0，∣x−3∣+1≥1（因为绝对值部分非负，加 1 后最小值为 1）。 易错提醒：注意区分 “绝对值的非负性” 与 “负数的绝对值”—— 负数的绝对值是它的相反数（结果为正数），本质也是满足非负性的，切勿混淆概念。 【知识点3】相反数的概念和表示 1.核心概念 只有符号不同的两个数互为相反数，特别规定0 的相反数是 0。这里的 “只有符号不同” 需注意两点：一是数字部分完全相同，仅正负号相反；二是相反数是成对出现的，不能单独说某个数是相反数，要表述为 “某数是某数的相反数”。 2. 数学表示方法 一个数 a 的相反数记作 **−a**（读作 “负 a”），这个表示方法适用于任意实数，具体应用分三种情况： *当 a 是正数时，−a是负数，如 a=6，则−a=−6； *当 a 是负数时，−a是正数，如 a=-9，则−a=9； *当 a=0 时，−a=0，即 0 的相反数仍是自身。 【知识点4】相反数的性质应用 1.核心性质 *和为 0：互为相反数的两个数相加得 0，即若 a 与 b 互为相反数，则a+b=0，反之，若a+b=0，则 a 与 b 互为相反数； *商为 - 1：非 0 的互为相反数的两个数相除得 - 1，即若a=0，则a÷(−a)=−1； *符号反转：一个数的相反数的相反数是它本身，即−(−a)=a。 2.易错提醒 *应用 “商为 - 1” 时，必须注意除数不能为 0，0 没有倒数，也不能作为除数； *化简−a时，切勿默认其为负数，需根据 a 的正负性判断，例如 a=-2 时，−a=2是正数。 【知识点5】绝对值的定义 1. 代数定义 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。 通俗表述：绝对值是去掉数字符号后的结果（0 除外），结果必然是非负数。 2.几何定义 在数轴上，一个数所对应的点与原点（表示 0 的点）之间的距离，叫做这个数的绝对值。数 a 的绝对值记作∣a∣，由于距离不能为负，所以绝对值的结果一定大于或等于 0。 【知识点6】利用绝对值的性质化简 核心依据是绝对值的代数性质（正数绝对值是本身、负数绝对值是相反数、0 的绝对值是 0），解题关键在于先判断绝对值内表达式的正负性，再去掉绝对值符号，整理出清晰的化简步骤、典型题型及示例. 1.核心化简依据 对任意实数 a，绝对值化简的根本规则： 当a>0时，∣a∣=a； 当a=0时，∣a∣=0； 当a<0时，∣a∣=−a。 核心原则：去掉绝对值符号后，结果必为非负数。 2.通用化简步骤 *找 “分界点”：令绝对值内的表达式等于 0，求出使表达式正负性改变的数值（通常是未知数的值）； *判断正负：根据已知条件或分界点，确定绝对值内表达式的正负； *去符号化简：按绝对值性质去掉 “∣∣”，再整理同类项。 【知识点7】化简多重符号 核心化简规则 多重符号指一个数前面有多个 “+” 号或 “-” 号，化简关键看负号的个数，正号不影响结果（可直接省略）： 规则 1：正数前面的 “+” 号可全部省略，如+(+3)=3、+(−5)=−5； 规则 2：一个数前面有偶数个 “-” 号，结果为正；有奇数个 “-” 号，结果为负。最终符号确定后，再加上数字本身。简单记：“奇负偶正”（只看负号个数）。 【知识点8】绝对值与相反数的联系与区别 1.核心联系 0 的绝对值和相反数都是它本身； 绝对值相等且符号相反的两个数互为相反数（0 除外）。 2.关键区别 相反数成对出现，符号必相反（0 除外）；绝对值是单个数字的属性，结果一定非负； 相反数可正、可负、可 0；绝对值仅为正数或 0。 题型1.绝对值的几何意义 【典例1】．工厂检测四个零件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】．．、两个有理数在数轴上对应的点的位置如图，把，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】．若为有理数，已知，则的最小值为 ． 题型2.绝对值的求法 【典例1】．在，，，中，等于2的数有 个． 【跟踪专练2】．．以下说法：①一定是一个负数；②正整数、负整数统称为整数；③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；④绝对值等于本身的是正数；⑤若m满足，则；⑥若三个非零有理数a，b，c满足，则，其中正确的有 （填序号）． 【跟踪专练3】．．．如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且有．数对应的点在线段的中点，数对应的点在线段的中点，若，则原点可能是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型3.绝对值的非负性 【典例1】．下列说法正确的是（   ） A．符号不同的数互为相反数 B．正整数和负整数统称为整数 C．一定是负数 D．绝对值最小的数是0 【跟踪专练2】．若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 【跟踪专练3】．已知x，y为有理数，且，则的值为 ． 题型4.绝对值的实际应用 【典例1】．数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为 【跟踪专练2】．当满足 条件时，有最小值，这个最小值是 ． 【跟踪专练3】．．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 题型5.有理数大小比较的基本方法 【典例1】．、、为非零自然数，且，则、、中最小的数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练2】．若，则的大小关系是 （   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】．已知，且，试利用数轴比较大小： “”连接），本题用到的数学思想是 ． 题型6.有理数大小比较的实际情景应用 【典例1】．亚洲、欧洲、非洲的最低海拔分别为米，米，米，其中海拔最低的大洲是 ． 【跟踪专练2】有7袋糖果，其中6袋质量完全相同，另1袋略轻一些，至少称 次才能找出这袋较轻的糖果． 【跟踪专练3】．某省四个地市月的日均最低温度分别为甲市，乙市，丙市，丁市，其中日均最低温度最低的城市是（   ） A．甲市 B．乙市 C．丙市 D．丁市 题型7.相反数的定义与本质特征 【典例1】．如图，数轴上每相邻两点距离为1个单位长度，若点，表示的数互为相反数，则点表示的数是（   ） A． B． C．1 D．2 【跟踪专练2】．．下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．和 C．和 D．和 【跟踪专练3】．在如图所示的数轴上，若点和点分别表示互为相反数的两个数，点在点的左侧，并且这两个点之间的距离是12.8，则点表示的数为 ，点表示的数为 ． 题型8.相反数的运算与实际意义应用 【典例1】．用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则 ． 【跟踪专练2】．．对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如，． （1）填空： ； （2）如果和互为相反数，那么代数式的最大值为 ． 【跟踪专练3】．桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型9.多重符号的化简规则与技巧 【典例1】．在下列各组有理数的大小比较中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】．．下列各对数中，互为相反数的有(    ) 与 ，与，与，与，与． A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【跟踪专练3】．已知点 O，A，B，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，，，若点 C 所表示的数为 m，则点 A 所表示的数为 ．（用含 m 式子表示） 1．下列选项中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．3个有理数a、b、c两两不等，则，，中有 个是负数． 3．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的有（   ）个． （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列说法正确的是 （只填序号）． ①如果，那么一定是正数；②如果，那么一定不等于；③如果，那么；④如果，那么一定是负数或大于的正数；⑤如果，那么或． 5．如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（　　）    A．1 B．1.5 C．2.5 D．2 6．将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（    ） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 7．已知，，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如与的距离可表示为，与的距离可表示为． （）的最小值为 ； （）的最小值为 ． 9．若，则的最小值为 ． 10．如果，，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 11．在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法： ①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项； ②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果； ③若可以闪退的三项，，满足： ，则的最小值为． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 12．已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 (1)指出哪件样品的直径大小最符合要求． (2)如果规定误差的绝对值在以内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 13．先阅读，后探究相关的问题 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示点的相反数的点B，再把点A向左移动个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为_____和_____，B，C两点间的距离是_____；    (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离表示为______；如果，那么x为_____； (3)若点A表示的整数为x，则当x为_____时，与的值相等； (4)要使代数式取最小值时，相应的x的取值范围是_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1绝对值与相反数 【知识点1】绝对值的几何意义 1.核心定义：在数轴上，表示一个数的点与原点（0 对应的点）之间的距离，就是这个数的绝对值。数 a 的绝对值记作∣a∣，距离本身是非负的，所以绝对值的结果一定大于或等于 0。 2.具体示例 *正数的绝对值：表示 3 的点在数轴上距离原点 3 个单位长度，所以∣3∣=3； *负数的绝对值：表示 - 4 的点在数轴上距离原点 4 个单位长度，所以∣−4∣=4； *0 的绝对值：原点到自身的距离为 0，所以∣0∣=0。 3.延伸应用：可推广到两点间距离，数轴上表示数 m 和数 n 的两点之间的距离，可表示为∣m−n∣（或∣n−m∣）。比如表示 2 和 5 的两点距离是∣5−2∣=3，表示 - 1 和 3 的两点距离是∣3−(−1)∣=4。 【知识点2】绝对值非负性 1.核心定义：对于任意实数 a，它的绝对值都满足 **∣a∣≥0**，即绝对值的结果要么是正数，要么是 0，永远不会是负数。 2.常见表现形式 *单个绝对值：如∣5∣=5>0，∣−3∣=3>0，∣0∣=0； *绝对值与其他运算结合：如∣a+2∣≥0，∣x−3∣+1≥1（因为绝对值部分非负，加 1 后最小值为 1）。 易错提醒：注意区分 “绝对值的非负性” 与 “负数的绝对值”—— 负数的绝对值是它的相反数（结果为正数），本质也是满足非负性的，切勿混淆概念。 【知识点3】相反数的概念和表示 1.核心概念 只有符号不同的两个数互为相反数，特别规定0 的相反数是 0。这里的 “只有符号不同” 需注意两点：一是数字部分完全相同，仅正负号相反；二是相反数是成对出现的，不能单独说某个数是相反数，要表述为 “某数是某数的相反数”。 2. 数学表示方法 一个数 a 的相反数记作 **−a**（读作 “负 a”），这个表示方法适用于任意实数，具体应用分三种情况： *当 a 是正数时，−a是负数，如 a=6，则−a=−6； *当 a 是负数时，−a是正数，如 a=-9，则−a=9； *当 a=0 时，−a=0，即 0 的相反数仍是自身。 【知识点4】相反数的性质应用 1.核心性质 *和为 0：互为相反数的两个数相加得 0，即若 a 与 b 互为相反数，则a+b=0，反之，若a+b=0，则 a 与 b 互为相反数； *商为 - 1：非 0 的互为相反数的两个数相除得 - 1，即若a=0，则a÷(−a)=−1； *符号反转：一个数的相反数的相反数是它本身，即−(−a)=a。 2.易错提醒 *应用 “商为 - 1” 时，必须注意除数不能为 0，0 没有倒数，也不能作为除数； *化简−a时，切勿默认其为负数，需根据 a 的正负性判断，例如 a=-2 时，−a=2是正数。 【知识点5】绝对值的定义 1. 代数定义 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。 通俗表述：绝对值是去掉数字符号后的结果（0 除外），结果必然是非负数。 2.几何定义 在数轴上，一个数所对应的点与原点（表示 0 的点）之间的距离，叫做这个数的绝对值。数 a 的绝对值记作∣a∣，由于距离不能为负，所以绝对值的结果一定大于或等于 0。 【知识点6】利用绝对值的性质化简 核心依据是绝对值的代数性质（正数绝对值是本身、负数绝对值是相反数、0 的绝对值是 0），解题关键在于先判断绝对值内表达式的正负性，再去掉绝对值符号，整理出清晰的化简步骤、典型题型及示例. 1.核心化简依据 对任意实数 a，绝对值化简的根本规则： 当a>0时，∣a∣=a； 当a=0时，∣a∣=0； 当a<0时，∣a∣=−a。 核心原则：去掉绝对值符号后，结果必为非负数。 2.通用化简步骤 *找 “分界点”：令绝对值内的表达式等于 0，求出使表达式正负性改变的数值（通常是未知数的值）； *判断正负：根据已知条件或分界点，确定绝对值内表达式的正负； *去符号化简：按绝对值性质去掉 “∣∣”，再整理同类项。 【知识点7】化简多重符号 核心化简规则 多重符号指一个数前面有多个 “+” 号或 “-” 号，化简关键看负号的个数，正号不影响结果（可直接省略）： 规则 1：正数前面的 “+” 号可全部省略，如+(+3)=3、+(−5)=−5； 规则 2：一个数前面有偶数个 “-” 号，结果为正；有奇数个 “-” 号，结果为负。最终符号确定后，再加上数字本身。简单记：“奇负偶正”（只看负号个数）。 【知识点8】绝对值与相反数的联系与区别 1.核心联系 0 的绝对值和相反数都是它本身； 绝对值相等且符号相反的两个数互为相反数（0 除外）。 2.关键区别 相反数成对出现，符号必相反（0 除外）；绝对值是单个数字的属性，结果一定非负； 相反数可正、可负、可 0；绝对值仅为正数或 0。 题型1.绝对值的几何意义 【典例1】．工厂检测四个零件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较有理数大小的实际应用，通过计算每个数值的绝对值，绝对值最小表示与标准质量的偏差最小，因此最接近标准质量，据此进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴最接近标准质量的是； 故选D． 【跟踪专练2】．．、两个有理数在数轴上对应的点的位置如图，把，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数，绝对值的意义，数形结合是解答本题的关键．观察数轴可知：，，从而得到，且，，即可得解． 【详解】解：由图可知，，， ，且，， ． 故选：C ． 【跟踪专练3】．若为有理数，已知，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． 该问题理解为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和的最小值，再由绝对值的几何意义分类讨论求解即可． 【详解】解：，则可理解为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和， ∴的最小值即为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和的最小值， 当时，则； 当时，则； 当时，， ∴的最小值为， 故答案为：5． 题型2.绝对值的求法 【典例1】．在，，，中，等于2的数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值，化简多重符号，根据绝对值的意义和多重符号的化简方法把各数化简，再判断是否等于2即可． 【详解】解：（负数的绝对值是它的相反数）； （先求绝对值再取负）； （负负得正）； （先求绝对值再取负）． 因此，等于2的数有和，共2个． 故答案为：2． 【跟踪专练2】．．以下说法：①一定是一个负数；②正整数、负整数统称为整数；③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；④绝对值等于本身的是正数；⑤若m满足，则；⑥若三个非零有理数a，b，c满足，则，其中正确的有 （填序号）． 【答案】③⑤ 【分析】本题主要考查绝对值，相反数，有理数，正数和负数，数轴，有理数的乘法和除法．根据绝对值、相反数、有理数，正数和负数以及数轴的定义，有理数的乘法和除法逐项进行判断即可． 【详解】解：①不一定是一个负数，例如当时，，此时不是负数，原说法错误； ②正整数、负整数和统称为整数，原说法错误； ③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，原说法正确； ④绝对值等于本身的是正数与零，原说法错误； ⑤若m满足，即，则，原说法正确； ⑥若三个非零有理数a，b，c满足， 则有理数a，b，c中有两个正数，一个负数， ∴为负数， 则，原说法错误； 综上，正确的有③⑤， 故答案为：③⑤． 【跟踪专练3】．．．如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且有．数对应的点在线段的中点，数对应的点在线段的中点，若，则原点可能是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的位置关系，绝对值以及数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握相关基础知识，并利用分类讨论的思想求解． 根据可得，再分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当原点为点时，可得，，，在数轴上分别表示的数为，，，， 又∵数对应的点在线段的中点，数对应的点在线段的中点， ∴，， 则，符合题意； 当原点为点时，可得，，，在数轴上分别表示的数为，，，， 又∵数对应的点在线段的中点，数对应的点在线段的中点， ∴，， 则，不符合题意； 当原点为点时，可得，，，在数轴上分别表示的数为，，，， 又∵数对应的点在线段的中点，数对应的点在线段的中点， ∴，， 则，不符合题意； 当原点为点时，可得，，，在数轴上分别表示的数为，，， 又∵数对应的点在线段的中点，数对应的点在线段的中点， ∴，， 则，符合题意； 综上，原点可能是或， 故选：A 题型3.绝对值的非负性 【典例1】．下列说法正确的是（   ） A．符号不同的数互为相反数 B．正整数和负整数统称为整数 C．一定是负数 D．绝对值最小的数是0 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数的定义，正负数的定义，绝对值的非负性，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可判断A；整数分为正整数，负整数和0，据此可判断B；根据时，，此时不是负数可判断C；根据绝对值的非负性可判断D． 【详解】解：A、只有符号不同的数互为相反数，原说法错误，不符合题意； B、正整数，负整数和0统称为整数，原说法错误，不符合题意； C、不一定是负数，例如时，，此时不是负数，原说法错误，不符合题意； D、绝对值最小的数是0，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】．若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和平方数的非负性，解题的关键是利用非负性求出、的值． 通过分析等式中各项的非负性，得出绝对值项和平方项均为零，进而求出和的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵，且左边各项非负， ， ， 代入方程得， 两边减去得， ， 且， ∴， ． 故答案为：A． 【跟踪专练3】．已知x，y为有理数，且，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了绝对值的性质．根据绝对值的非负性可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：0． 题型4.绝对值的实际应用 【典例1】．数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的应用、数轴上的点等知识，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据数轴上的点到原点的距离公式可得，然后分类讨论，求解即可获得答案． 【详解】解：由题意得， ∴或， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练2】．当满足 条件时，有最小值，这个最小值是 ． 【答案】 5 【分析】分，，三种情况计算． 【详解】当时， ； 当时， ； 当时， ； 故当时，有最小值，且最小值为5， 故答案为：，5． 【点睛】本题考查了分类思想，绝对值的化简，熟练掌握化简绝对值是解题的关键． 【跟踪专练3】．．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数以及绝对值的综合应用．解题的关键是熟练掌握求正负数的绝对值，比较有理数的大小． 求出四个选项中足球上面的数的绝对值，比较大小，超过或不足标准质量克数的绝对值越小越接近标准质量，可得答案． 【详解】解：A、 B、 C、 D、． ∵， ∴与标准质量偏差最小的是C． 故选：C． 题型5.有理数大小比较的基本方法 【典例1】．、、为非零自然数，且，则、、中最小的数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了分数比较大小以及比的性质，解题关键是设三个乘积等于同一个常数． 设三个乘积等于同一个常数，将a、b、c用该常数表示，通过比较系数确定大小关系即可． 【详解】解：令， 则，，， ， ， 所以a、b、c中最小的数是c． 故选：C． 【跟踪专练2】．若，则的大小关系是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可知，，从而得到结论． 【详解】解：， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查比较大小，结合，根据平方、倒数的定义确定范围是解决问题的关键． 【跟踪专练3】．已知，且，试利用数轴比较大小： “”连接），本题用到的数学思想是 ． 【答案】 数形结合思想 【分析】本题考查绝对值，利用数轴进行有理数的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 先画出数轴，再根据数轴上左边的数小于右边的数，即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴画数轴如图 ∴， 本题用到的数学思想是数形结合思想． 故答案为：，数形结合思想． 题型6.有理数大小比较的实际情景应用 【典例1】．亚洲、欧洲、非洲的最低海拔分别为米，米，米，其中海拔最低的大洲是 ． 【答案】亚洲 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴海拔最低的大洲是亚洲， 故答案为：亚洲． 【跟踪专练2】有7袋糖果，其中6袋质量完全相同，另1袋略轻一些，至少称 次才能找出这袋较轻的糖果． 【答案】2 【分析】此题采用天平进行称量．先把7袋糖果分为3份，分别为3袋、3袋、1袋，先将两个3袋的糖果分别放在天平秤两端，根据平衡情况进行分析即可． 【详解】至少称两次，才能找出这袋较轻的糖． 第一次：把7袋糖果分为3份，分别为3袋、3袋、1袋，先将两个3袋的糖果分别放在天平秤两端，若一样重，则余下那一袋为最轻的；若不一样重，则略轻的1袋在天平较高端的1份中，此时进行第二次称量； 第二次：把较高端的1份再平均分为3份每份1袋，任取2份分别放在天平秤两端；若天平平衡，则略轻的1袋是剩下的1份；若天平不平衡，则天平较高端是略轻的1袋． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力，关键是把7袋糖果进行合理分组． 【跟踪专练3】．某省四个地市月的日均最低温度分别为甲市，乙市，丙市，丁市，其中日均最低温度最低的城市是（   ） A．甲市 B．乙市 C．丙市 D．丁市 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的实际应用，掌握“正数大于、大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小”成为解题的关键． 根据有理数大小比较方法比较出四个城市温度数值的大小即可解答． 【详解】解：，，，， ， 日均最低温度最低的城市丙市． 故选：C． 题型7.相反数的定义与本质特征 【典例1】．如图，数轴上每相邻两点距离为1个单位长度，若点，表示的数互为相反数，则点表示的数是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了数轴、相反数，熟练掌握数轴的定义是解题关键．根据数轴上点A和点B互为相反数的性质，以及它们之间的距离，确定点A表示的数． 【详解】解：数轴上A，B两点表示的数互为相反数， A，B两点到原点的距离相等． 点A与点B之间的距离为4个单位长度． 点A到原点的距离为． 点A在原点的左侧， 点A表示的数是． 故选：A． 【跟踪专练2】．．下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的计算，互为相反数的两数之和为零，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．，，故A选项不符合题意； B．，，，故B选项不符合题意； C．，，故C选项不符合题意； D．，，，故D选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练3】．在如图所示的数轴上，若点和点分别表示互为相反数的两个数，点在点的左侧，并且这两个点之间的距离是12.8，则点表示的数为 ，点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，理解互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称是解题的关键； 根据互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称，点在点的左侧，可得结果． 【详解】因为互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称，即这两个点与原点距离相等， 又点在点的左侧， 点表示的数为，点表示的数为． 故答案为：；． 题型8.相反数的运算与实际意义应用 【典例1】．用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，相反数的定义，根据新定义可得，，进而即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】．．对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如，． （1）填空： ； （2）如果和互为相反数，那么代数式的最大值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查绝对值、相反数的意义； （1）根据表示的意义进行计算即可； （2）分均为小数；与中有一个是小数，一个是整数以及都是整数三种情况解答即可． 【详解】解：（1）根据表示的意义得，， 故答案为：； （2）当均为小数时，如，则，则， 和互为相反数，， 解得， 即的值是两个小于1的小数的和，即； 当与中有一个是小数，一个是整数时，的值是1与一个小于1的小数的和，即； 当都是整数时，， 和互为相反数，，即， 综上所述，代数式的最大值为2． 故答案为：2． 【跟踪专练3】．桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下，找出最少翻转次数能使杯口全部朝下的情况即可得答案． 【详解】用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下， 开始时+ + + + + + 第一次- - - - + + 第二次- + + + - + 第三次- - - - - - ∴n的最小值为3． 故选：B． 【点睛】本题考查正负数的应用，解题的思路是用正负号来表示杯口的朝向，尝试用最少的次数使杯口全部朝下． 题型9.多重符号的化简规则与技巧 【典例1】．在下列各组有理数的大小比较中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化简多重符号，有理数的大小比较，需要先化简每个表达式，然后根据有理数比较大小的规则进行判断，即可作答． 【详解】解：A、，，∵，∴该选项是正确的，不符合题意； B、，，∵，∴该选项是正确的，不符合题意； C、，，∵，∴该选项是正确的，不符合题意； D、，，∵，∴，∴该选项是不正确的，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】．．下列各对数中，互为相反数的有(    ) 与 ，与，与，与，与． A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：与 ，互为相反数 与互为相反数， 与，互为相反数 与，互为相反数 与，相等，不互为相反数． 综上所述，共有4对数，互为相反数， 故选：C． ．【跟踪专练3】．已知点 O，A，B，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，，，若点 C 所表示的数为 m，则点 A 所表示的数为 ．（用含 m 式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和数轴可以用含m的式子表示出点B表示的数，本题得以解决． 【详解】解∶∵O为原点，，，点C所表示的数为m， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数为：． 故答案为：． 1．下列选项中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的定义、数轴的性质．根据绝对值的定义得出，即可得出或，再结合数轴判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 故选：B． 2．3个有理数a、b、c两两不等，则，，中有 个是负数． 【答案】2 【分析】本题考查符号法则的运用，即同号为正，异号得负．根据题意，a、b、c两两不等，可设，易得，，，进而可得，，的符号，进而可得答案． 【详解】解：根据题意，a、b、c两两不等， 可设， 易得，，， 则，，中有2个是负数， 故答案为2． 3．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的有（   ）个． （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，相反数的性质，绝对值的定义，解决本题的关键是结合数轴，灵活运用相关知识进行判断． 由数轴知，画出如图，根据绝对值定义，逐一判断即可． 【详解】解：根据题意画出如图： 由到0的距离远近可知：，故（1）不符合题意，（3）符合题意； 由数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数知：，，故（2）（4）符合题意；故结论正确的有3个． 故选：C． 4．下列说法正确的是 （只填序号）． ①如果，那么一定是正数；②如果，那么一定不等于；③如果，那么；④如果，那么一定是负数或大于的正数；⑤如果，那么或． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查的是正数、绝对值、乘方的性质，灵活运用相关概念的定义与运算规律是解题的关键．通过正数的定义判断的正负性，结合绝对值的非负性分析的取值，利用乘方的运算结果确定的可能值，根据两数乘积的符号判断、的符号，进而分析式子的结果． 【详解】解：①、如果，则是正数，正确； ②、如果，则，正确； ③、如果，则，不是，错误； ④、如果，那么一定是负数或大于的正数，正确； ⑤、如果，则和同号，当且时，；当且时，，正确． 故答案为：①②④⑤． 5．如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（　　）    A．1 B．1.5 C．2.5 D．2 【答案】D 【分析】根据|a−d|＝10，|a−b|＝6得出b和d之间的距离，从而求出b和c之间的距离，然后假设a表示的数为0，分别求出b，c，d表示的数，即可得出答案． 【详解】解：∵|a−d|＝10， ∴a和d之间的距离为10， 假设a表示的数为0，则d表示的数为10， ∵|a−b|＝6， ∴a和b之间的距离为6， ∴b表示的数为6， ∴|b−d|＝4， ∴|b−c|＝2， ∴c表示的数为8， ∴|c−d|＝|8−10|＝2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离、绝对值的意义，关键是要能恰当的设出a、b、c、d表示的数． 6．将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（    ） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．分种情况讨论，再进行计算求值；每种情况交换两组数，m的值仍不变，由此即可确定答案． 【详解】解：若取6，7，8，取5，4，3， ∴； 若取5，6，7；取8，4，3， ∴； 若取4，5，6；取8，7，3， ∴； 若取3，4，6；取8，7，5， ∴； 若取3，4，7；取8，6，5， ∴； 若取4，7，8；取6，5，3， ∴； 若取3，5，8；取7，6，4， ∴； 若取3，6，8；取7，5，4， ∴； 若取4，6，8；取7，5，3， ∴； 若取4，5，8；取7，6，3， ∴； 以上每种情况交换两组数，即，，分别变为，，；，，分别变为，，，则，结果不变；如取4，5，8；取7，6，3，交换两组数，即取3，6，7；取8，5，4，此时； 综上所述，m为9． 故选：B． 7．已知，，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值的性质（绝对值等于一个正数的数有两个，互为相反数）、绝对值的运算规律；掌握将拆分为的形式，通过分析各差值的符号组合求的最小值，是解题的关键．先根据绝对值的性质，得出两种情况；再将差值转化为前三个差值的和，通过绝对值的运算性质表示出；最后分析不同符号组合下的结果，找出最小值． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 8．我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如与的距离可表示为，与的距离可表示为． （）的最小值为 ； （）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（）由得式子表示到的距离与到的距离之和，可知当在和之间时，距离之和最小，利用两点间距离公式计算即可求解； （）由得式子表示到的距离的倍与到、的距离之和，可知 当在的位置时，距离之和可以取最小值，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴式子表示到的距离与到的距离之和， 可知当在和之间时，距离之和最小，最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：； （）∵， ∴式子表示到的距离的倍与到、的距离之和， 如图， 可知 当在的位置时，距离之和可以取最小值，最小值为， 即的最小值为， 故答案为：． 9．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的应用，熟知绝对值的几何意义是解题的关键．根据所给等式，对x和y的部分分别求出最小值即可解决问题． 【详解】解：， 则含x的部分为， 由, ,得，， ， 当时，取得最小值，最小值为2； 含y的部分为， 由, , 得，， ， 当时，取得最小值，最小值为， 则， M的最小值为． 故答案为：． 10．如果，，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】相乘的这些分数的特点是分母都是偶数，分子都是奇数；再写出一道分数相乘，使它们分子都是偶数，分母都是奇数， 把这两道算式相乘，得出积为，由此进一步再做比较即可得解． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即， 故选A． 【点睛】本题考查了比较有理数的大小，采用适当的方式将有理数放大后比较是解题的关键． 11．在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法： ①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项； ②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果； ③若可以闪退的三项，，满足： ，则的最小值为． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①根据“闪减操作”的定义，举出符合条件的式子进行验证即可； ②先根据“闪减操作”的定义进行运算，再分类讨论去绝对值，即可判断； ③根据“闪减操作”的定义和绝对值的几何意义，求出，，的最小值，即可得出结论． 【详解】①“闪减操作”后的式子为，“闪减操作”后的式子为，对这两个式子作差，得： ， 结果不含与e相关的项，故①正确； ②若每种操作只闪退一项，共有三种不同“闪减操作”： “闪减操作”结果为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， “闪减操作”结果为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， “闪减操作”结果为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 共有12种不同的结果，故②错误； ③∵，在数轴上表示点与和的距离之和， ∴当距离取最小值时，的最小值为， 同理：，在数轴上表示点与和的距离之和， ∴当距离取最小值时，的最小值为， ，在数轴上表示点与和的距离之和， ∴当距离取最小值时，的最小值为， ∴当，，都取最小值时， ， 此时，的最小值为，故③正确； 故选C． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 12．已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 (1)指出哪件样品的直径大小最符合要求． (2)如果规定误差的绝对值在以内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 【答案】(1)编号为4的样品的大小最符合要求 (2)见解析 【分析】本题考查正负数的应用、绝对值的应用、有理数的大小比较，理解绝对值的性质是解答的关键． （1）先求得各数据的绝对值，再比较大小，根据绝对值最小的最符合要求即可解答； （2）比较各绝对值与、的大小，根据正品、次品和废品定义可得结论． 【详解】（1）解：，，，，， ∵， ∴编号为4的样品的大小最符合要求； （2）解：因为，，， 所以编号为1，2，4的样品是正品； 因为， 所以编号为3的样品是次品； 因为， 所以编号为5的样品是废品． 13．先阅读，后探究相关的问题 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示点的相反数的点B，再把点A向左移动个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为_____和_____，B，C两点间的距离是_____；    (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离表示为______；如果，那么x为_____； (3)若点A表示的整数为x，则当x为_____时，与的值相等； (4)要使代数式取最小值时，相应的x的取值范围是_____． 【答案】(1)，1， (2)，或 (3) (4) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离，用数轴表示有理数，绝对值的几何意义，解绝对值方程，化简绝对值，熟知数轴与绝对值的相关知识是解题的关键． （1）先在数轴上表示出点B和点C，再利用数轴表示出两点对应的数，利用数轴求出两点之间的距离即可； （2）利用绝对值的几何意义表示两点之间的距离，然后解绝对值方程即可； （3）利用绝对值的几何意义进行求解即可； （4）利用绝对值的几何意义进行求解集即可． 【详解】（1）解：数轴如图所示，    点B表示的数是，点C表示的数是1，B，C两点间的距离是， 故答案为：，1，； （2）解：两点A和B之间的距离表示为， 当时，或， 解得或， 故答案为：，或； （3）解：根据题意得，表示到的距离，表示到的距离， 如果与的值相等，则表示到的距离与到的距离相等， ∴， 故答案为：； （4）解：根据题意得，表示到的距离，表示到的距离， 当代数式取最小值时，应位于和2之间，包括两个端点， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 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