第二章 直线和圆的方程 阶段小测（四）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

阶段小测（四） 一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题意，圆心为点，半径为5，则圆的方程为. 2．若方程表示一个圆，则的取值范围为（ ） A. , B. ,, C. , D. ,, 【答案】D 【解析】选.若方程 表示一个圆，则， 方程可化为， 所以， 解得，且 不等于0， 所以 或. 3．若直线与圆的两个交点为,，且，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】选.圆 的圆心为，半径， 由题意圆心 到直线 的距离 ， 则，解得或. 4．已知点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.设，的中点，所以,，即,，又因为点 是圆 上的一个点，所以，化简得，所以 的轨迹方程为. 5．已知,，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.设点，则，，所以，则，所以点 的轨迹方程为，圆心为，半径为3，由此可知圆 与 有公共点，又圆 的圆心为，半径为2，所以，解得，即 的取值范围是. 6．已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径为，如图， 圆 关于 轴的对称圆为圆，连接，交 轴于，交圆 于，交圆 于， 此时 最小， 最小值为. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 7．直线与圆的公共点的个数可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】BC 【解析】选.圆 的圆心为，半径，当 时，点 到直线 的距离，因此直线 与圆相切或相交，所以直线 与圆 的公共点个数为1或2. 8．已知是圆上的动点，直线与交于点，则（ ） A. B. 直线与圆相切 C. 直线截圆所得弦长为 D. 【答案】ACD 【解析】选.直线 与， 由于，所以，故 正确； 圆心 到 的距离，所以直线 与圆 相离，故 错误； 圆心 到 的距离，所以弦长为，故 正确； 由于，过圆心 分别作,的垂线，垂足为，,如图, 则四边形 为矩形，所以，故 正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.） 9．若圆上存在两点关于直线对称，则的值为_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】圆 的圆心为，半径为2，圆上存在两点关于直线 对称，则圆心在直线上，所以，解得. 10．某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向米的处出发，沿处西北方向走向位于设备正北方向的处，则这名工作人员被持续监测的时长为_ _ _ _ 分钟. 【答案】2 【解析】以设备的位置为坐标原点，其正东方向为 轴正方向，正北方向为 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，可得，圆. 记从 处开始被监测，到 处监测结束，因为 到 的距离为 米， 所以 米，故监测时长为 分钟. 11．已知圆，圆，其中,.若两圆外切，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】, 【解析】圆 和圆 外切， 则， 整理得到， 表示圆 上的点 与 形成直线的斜率， 易知直线斜率存在，设直线 方程为，即， 所以，解得. 四、解答题（本题共3小题，共43分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 12．（本小题满分13分）已知,，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1） 求曲线的标准方程；（6分） （2） 求过点且与曲线相切的直线的方程.（7分） 【答案】 （1） 解：设， 则， ， 由， 得， 所以曲线 的标准方程为. （2） 曲线 是以 为圆心，1为半径的圆，若过点 的直线斜率不存在，直线方程为，满足与圆 相切； 若过点 的切线斜率存在，设切线方程为，即，由圆心到直线距离，解得， 则方程为. 所以过点 且与曲线 相切的直线的方程为 或. 13．（本小题满分15分）已知圆的圆心在直线上，且过点,. （1） 求圆的方程；（4分） （2） 已知点是圆上的一点，求的取值范围；（5分） （3） 已知直线与圆交于，两点，求的最小值.（6分） 【答案】 （1） 解：因为圆 的圆心在直线 上，可设，又圆 过点,， 所以 , 解得，所以, 所以圆 的半径, 所以圆 的方程为. （2） 设，又点 是圆 上的点，所以直线 与圆有公共点，所以，解得，即 的取值范围是. （3） 直线 可以化为，则直线恒过定点， 且该点在圆内.设圆心到直线的距离为，由题意得， 当 最大时，最小，易知当直线与圆心和定点的连线垂直时 最大， 此时， 则. 14．（本小题满分15分）已知圆，直线，点在直线上. （1） 求的取值范围；（4分） （2） 过点引圆的两条切线，，切点为，. ① 求四边形面积的最小值;（5分） ② 设中点为，是否存在定点使得为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.（6分） 【答案】 （1） 解：因为点 在直线， 故可设点 的坐标为， 圆 的圆心 的坐标为，半径为1， 所以 ， 所以 的取值范围为. （2） ① 因为,为圆的两条切线， 所以,， 又， 所以 ， 圆心 到直线 的距离为， 所以当 时，四边形 的面积取最小值，最小值为， ② 由①得,,,四点共圆，且以 为直径， 因为，， 所以该圆方程为， ,在圆 上， ,又在圆 上, 两式作差可得直线 为， 即， 所以直线 过定点,， 因为，所以点 在以 为直径的圆上， 取 的中点为,， 则 为定值，. 学科网（北京）股份有限公司 $