2.1.1 倾斜角与斜率-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

第二章 直线和圆的方程 2.1 直线的倾斜角与斜率 2.1.1 倾斜角与斜率 新课导入 泰山为五岳之首,其十八盘更有名.“拔地五千丈,冲霄十八盘.”泰山之雄伟，尽在十八盘,泰山之壮观,尽在攀登中.十八盘岩层陡立，坡角 ,在不足的距离内升高400米.你能用怎样的数学语言来描述泰山之雄伟呢? 学习目标 1.了解直线的斜率和倾斜角的概念. 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率. 新知学习 探究 一 直线的倾斜角 思考1．在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示：两点确定一条直线或者一点和一个方向也可以确定一条直线. 思考2．在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点的直线有什么区别？ 提示：直线的方向不同，相对于 轴的倾斜程度不同. ［知识梳理］ 1．定义：当直线与轴相交时，我们以①_ _ _ _ _ _ 为基准，轴正向与直线②_ _ 的方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角. 【答案】 轴； 向上 2．范围：当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为③_ _ _ _ _ _ .因此，直线的倾斜角 的取值范围为④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； ［例1］ （1） 已知直线与轴相交，其向上方向与轴正向所成的角为，则其倾斜角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 （2） 已知直线经过点，倾斜角为 ，若将直线绕点逆时针旋转 后，得到直线，则直线的倾斜角为_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 如图1，当 向上方向的部分在 轴左侧时，倾斜角为 ；如图2，当 向上方向的部分在 轴右侧时，倾斜角为 . （2） 因为直线 的倾斜角为 ，所以绕点 逆时针旋转 后，得到直线 的倾斜角为 . 直线倾斜角的求法及注意点 （1）直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. （2）注意倾斜角的取值范围. ［跟踪训练1］． （1） 已知直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2） 如图，已知直线的倾斜角为 ，，垂足为，，与轴分别相交于点，，平分，则直线的倾斜角为_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选.因为直线倾斜角的取值范围是 ，又直线 经过第二、四象限，所以直线 的倾斜角的取值范围是 . （2） 由题意得， ，又，平分，所以直线 的倾斜角为 . 二 直线的斜率 思考．日常生活中，常用坡度坡度表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度.在平面直角坐标系中，我们能否用“坡度”的计算方法来刻画直线的倾斜程度？ 提示：当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的.可以利用倾斜角的正切值，即 来刻画直线的倾斜程度. ［知识梳理］ 1．定义：把一条直线的倾斜角 的①_ _ _ _ _ _ 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母表示，即②_ _ _ _ _ _ _ _ . 倾斜角是③_ _ _ _ _ _ 的直线没有斜率，倾斜角不是 的直线都有斜率. 【答案】正切值； ； 2．公式：如果直线经过两点,,那么可得斜率公式④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 3．直线的方向向量：设,（其中）是直线上的两点，则向量以及与它平行的非零向量都是直线的⑤_ _ _ _ _ _ _ _ .若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则⑥_ _ _ _ _ _ . 【答案】方向向量； ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应.（ ） （2） 若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应.（ ） （3） 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等.（ ） （4） 若直线的一个方向向量的坐标为，则的斜率为.（ ） 【答案】（1） √ （2） × （3） × （4） × 2．[（2025·南阳期中）]（多选）已知直线,,的斜率分别是,,，倾斜角分别是 , , ，且 ，则下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】选.当倾斜角都为小于 的角或都是钝角时，；当倾斜角为两个小于 的角和一个钝角，即 , 为小于 的角， 是钝角时，；当倾斜角为一个小于 的角和两个钝角，即 为小于 的角， , 是钝角时，. 3．已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由直线 的方向向量，得其斜率为. 4．若经过，两点的直线的倾斜角为 ，则_ _ _ _ ，该直线的一个方向向量_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】2； （答案不唯一） 【解析】，故，解得，该直线的一个方向向量. 解决斜率问题的方法 （1）由倾斜角（或倾斜角的取值范围）求斜率（或斜率的取值范围），利用定义式解决. （2）由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式求解. 三 倾斜角与斜率的应用 角度1 三点共线问题 ［例2］ 判断下列三点是否在同一条直线上： （1） ，，； （2） ，，. 【答案】（1） 【解】因为，，所以，所以，，三点不在同一条直线上. （2） 因为，，所以.又直线 与直线 有公共点，所以，，三点在同一条直线上. 用斜率公式解决三点共线的方法 角度2 求解范围问题 ［例3］ 已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围. 【解】 由题意作出图形，如图， 因为，,若要使直线 与线段 相交，则 或，所以直线 的斜率的取值范围为. 母题探究．本例条件不变，求直线的倾斜角 的取值范围. 解：由例题可知，直线 的斜率满足 或，所以 或，因为 ，且当 时符合题意，所以.所以直线 的倾斜角 的取值范围为,. 数形结合法求斜率的取值范围 已知线段的端点及线段外一点，求过点且与线段有交点的直线的斜率取值范围：若直线，的斜率均存在，则解题步骤如下： （1）连接，； （2）由斜率公式求出，； （3）结合图形即可得出满足条件的直线的斜率的取值范围. 提醒 如果在直线的转动范围内有倾斜角为的直线，那么直线的斜率的取值范围为分界线，的斜率的两边；如果没有倾斜角为的直线，那么直线的斜率的取值范围为分界线，的斜率之间. ［跟踪训练2］． （1） 若，，，三点在同一条直线上，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. （2） [（2025·驻马店期中）]已知，，若点在线段上，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） , 【解析】 （1） 选.因为，，三点在同一条直线上，所以，所以，解得 . （2） 当点 与 重合，则，，则，当点 与 重合，则，，则，把 看作动点 与定点 的斜率， 再结合图象： 利用正切函数在锐角范围内是单调递增，可知,.综上，的取值范围是，. 课堂巩固 自测 1．已知点，，则直线的斜率为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】选.根据题意可得直线 的斜率. 2．[（2025·南京月考）]（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A. 任意一条直线都有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是 或 D. 若一条直线的倾斜角为 ，则该直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】选.对于，当直线的倾斜角为 时，直线没有斜率，故 不正确；对于，当直线的倾斜角为 时，斜率为1，当直线的倾斜角为 时，斜率为，故 不正确；对于，当直线与 轴垂直时，直线的倾斜角是 ，当直线与 轴垂直时，直线的倾斜角是 ，故 正确；对于，若一条直线的倾斜角为 ，则该直线的斜率不存在，故 不正确. 3．（教材P55 T5改编）已知点,在直线上，且直线的一个方向向量是，则_ _ _ _ . 【答案】9 【解析】由直线 的一个方向向量是，可知直线的斜率为，所以,解得. 4．已知，，三点. （1） 若直线的倾斜角为 ，求的值; （2） 是否存在，使得，，三点共线？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1） 解：因为，， 直线 的倾斜角为 ， 所以，解得， 故 的值为4. （2） 当，，三点共线时，， 即，解得， 所以存在，使得，，三点共线，的值为. 1.已学习：直线的倾斜角、直线斜率的定义和斜率公式，直线斜率与方向向量的关系. 2.须贯通：（1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为 的直线没有斜率； （2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是 时，倾斜角的正切值就是斜率，此时斜率和倾斜角可以相互转化； （3）在研究直线的倾斜角和斜率的过程中应用数形结合的思想方法. 3.应注意：忽视倾斜角的范围，对斜率和倾斜角的关系理解不到位，不能结合图形处理问题. 课后达标 检测 A 基础达标 1．[（2025·常州期中）]若经过两点，的直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】选.因为经过两点，的直线的倾斜角为，所以，解得. 2．以为方向向量的直线绕其与轴的交点逆时针旋转 得到直线，则直线的斜率为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】选.因为，设直线 的倾斜角为 ，由题意得， ，直线 的倾斜角为 ，因此，直线 的斜率为. 3．已知直线的斜率，则该直线的倾斜角 的取值范围为（ ） A. , B. ,, C. , D. ,, 【答案】B 【解析】选.直线的倾斜角为 ，则， 由 可得， 所以,,. 4．若，，，且，，三点共线，则（ ） A. B. 5 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】选.由题意，可知直线，的斜率存在并且相等，即，解得. 5．点在函数的图象上，当时，的值可能为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 0 【答案】C 【解析】选.表示点 与点 所成直线的斜率，又 是 在 部分图象上的动点， 如图，当 接近 时， , 当 为 时，， 则，只有 满足. 6．[（2025·深圳期中）]（多选）如图，直线,,的斜率分别为,,，倾斜角分别为,,，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】选.由题图可得， ，,且，故 正确，错误. 7．若直线的一个方向向量，则的倾斜角大小为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设直线 的倾斜角为 ，则， 又，所以. 8．已知过，两个不同点的直线的斜率为1，则实数的值为 _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】根据题意可得，解得 或，当 时，点，重合，不符合题意，舍去；当 时，经验证，符合题意. 综上,. 9．已知点，若在坐标轴上有一点，使直线的倾斜角为 ，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或 【解析】由题意知，. 若点 在 轴上，可设, 则,解得; 若点 在 轴上，可设, 则，解得. 故点 的坐标为 或. 10．（13分）已知，，,四点在同一条直线上.求： （1） 直线的斜率及，的值；（6分） （2） 直线的一个方向向量.（7分） 【答案】 （1） 解：由，， 得. 因为,,,四点在同一条直线 上，所以，即， 解得,. （2） 易知直线 的一个方向向量为. B 能力提升 11．（多选）已知在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点与原点重合，且的斜率为，则的斜率可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】选.设 的倾斜角 ，的倾斜角 ，如图所示： 则或，.当 时，;当 时，. 12．已知过点的直线与以点和为端点的线段相交,则直线的斜率的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】, 【解析】由题意作出图形，如图， 因为，，若要使直线 与线段 相交，则，所以直线 的斜率的取值范围为,. 13．（13分）已知直线过点和点. （1） 若直线的斜率是，求；（5分） （2） 求直线的倾斜角 的最小值.（8分） 【答案】（1） 解：由直线 的斜率，可得，即. （2） 当 时，直线 的斜率，当 时，； 当 时，， 又直线 的倾斜角为 ， 则有 或， 所以直线 的倾斜角 的取值范围是 或; 当 时，直线 的倾斜角. 故直线 的倾斜角 的最小值为. 14．（15分）已知坐标平面内三点,,. （1） 求直线,,的斜率和倾斜角；（7分） （2） 若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围.（8分） 【答案】（1） 解：由斜率公式，得，，，因为直线的斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线 的倾斜角为0，直线 的倾斜角为，直线 的倾斜角为. （2） 如图，当直线 绕点 由 逆时针转到 时， 直线 与线段 恒有交点，即 在线段 上，此时 由 增大到， 所以 的取值范围为,，即直线 的倾斜角的取值范围为,. C 素养拓展 15．已知函数，且,则,,的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由，得 的几何意义是过点 和原点 的直线的斜率，画出函数 的图象，如图， 直线,,的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是. 学科网（北京）股份有限公司 $