2.1.1 倾斜角与斜率（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

第二章　直线和圆的方程 2．1　直线的倾斜角与斜率 2．1.1　倾斜角与斜率 学习目标 素养要求 1．理解直线的斜率和倾斜角的概念． 2．掌握倾斜角与斜率的对应关系． 3．掌握过两点的直线的斜率公式． 4．掌握直线的斜率与方向向量的关系. 1．通过对斜率、倾斜角概念的学习，提升直观想象和数学抽象的核心素养． 2．通过斜率公式的应用，培养逻辑推理和数学运算的核心素养. [自主梳理] 知识点一　直线的倾斜角 [问题1]　在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？ 答：不能． [问题2]　过平面内的一点P可作多少条直线？ 答：无数条． [问题3]　在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如下图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？ 答：不同． ►知识填空 1．直线的倾斜角的定义 2．直线的倾斜角α的范围：　0°≤α＜180°　. 3．倾斜程度相同的直线，其倾斜角必__相等__；倾斜程度不同的直线，其倾斜角__不相等__． [点睛] 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等． 知识点二　直线的斜率 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. [问题1]　已知直线l经过O(0,0)，P(，1)，α与O，P的坐标有什么关系？ 答：tan α＝＝. [问题2]　类似地，如果直线l经过P1(－1,1)，P2(，0)，α与P1，P2的坐标又有什么关系？ 答：tan α＝＝1－. [问题3]　一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有怎样的关系？ 答：tan α＝. ►知识填空 斜率的概念与斜率公式 定义 α≠90° 一条直线的倾斜角α的__正切值__ α＝90° 斜率__不存在__ 记法 k，即k＝__tan_α__(α≠90°) 范围 R 公式 (1)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为　k＝　； (2)若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝　　 作用 实数反映了平面直角坐标系内直线的__倾斜程度__ [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)所有直线都有倾斜角和斜率．(　　) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(　　) (3)直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大．(　　) 解析：(1)×.所有直线都有倾斜角，但倾斜角为90°的直线斜率不存在． (2)×.倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应． (3)×.当倾斜角α＝0°时，k＝0；当0°＜α＜90°时，k＞0，并且随α的增大k也增大；当α＝90°时，k不存在；当90°＜α＜180°时，k＜0，并且随α的增大k也增大． 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．如图所示，直线l的倾斜角为(　　) A．60°　　　　　　 B．150° C．0° D．不存在 答案：B 3．直线x＝1的倾斜角和斜率分别是(　　) A．45°，1 B．135°，－1 C．90°，不存在 D．180°，不存在 解析：选C　∵直线x＝1与y轴平行， ∴倾斜角为90°，即斜率不存在． 4．直线l过点A(1，－1)，B(3，m)，且斜率为2，则实数m的值为________． 解析：根据题意知，直线l过点A(1，－1)，B(3，m)． 则其斜率k＝＝2.解得m＝3. 答案：3 题型一　直线的倾斜角 [例 1]　设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°； 当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135° 解析：选D　根据题意，画出图形，如图所示： 因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面， 不合题意，通过画图(如图所示)可知， 当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D． [反思感悟] 求直线倾斜角的方法及注意点 定义法 根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角 注意点 结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论 (多选)一条直线l与x轴相交，设其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为(　　) A．α　　　　　　　 B．180°－α C．90°－α D．90°＋α 解析：选CD　当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 题型二　直线的斜率 [例 2]　(1)已知经过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 (2)在△ABC中，已知A(1，－1)，B(1,1)，C(3，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角或直角． 解析：(1)选A　由题意，得＝1. 解得m＝1. (2)因为A，B两点的横坐标相同， 所以直线AB垂直于x轴， 倾斜角为90°， 即倾斜角为直角，斜率不存在； 因为A，C两点的纵坐标相同， 所以直线AC平行于x轴， 即垂直于y轴，斜率为0，倾斜角为0°， 既不是钝角也不是锐角和直角； B，C两点的横坐标不相同，纵坐标也不相同， 因为tan α＝＝－1， 所以直线BC的倾斜角为135°， 斜率为－1，即倾斜角为钝角． [反思感悟] 利用斜率公式求直线的斜率应遵循的原则 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2，即直线不与x轴垂直”，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． 已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是(　　) A．(5,8) B．(8，＋∞) C． D． 解析：选D　由题意知，＞1. 所以－1＞0，即＜0， 所以5＜m＜. 题型三　斜率与倾斜角的综合应用 [例 3]　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 解：如图，由题意可知， kPA＝＝－1， kPB＝＝1. (1)要使l与线段AB有公共点，则k≤－1或k≥1，即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间．又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，∴α的取值范围是45°≤α≤135°. [反思感悟] 直线的斜率公式k＝表示的是两点的数值问题，而其几何意义就是直线的倾斜程度，根据点的坐标范围可以求解斜率的范围，即最值问题．因此，对于形如式子的最值问题，可以考虑利用斜率的几何意义求解． 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD斜率的变化范围． 解：(1)由斜率公式，可得 直线AB的斜率kAB＝＝， 直线AC的斜率kAC＝＝. (2)如图所示，当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是. [课堂小结] 1．直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表： 直线 情况 平行于x轴 垂直于x轴 α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180° k的范围 0 k＞0 不存在 k＜0 k的增 减情况 k随α的增 大而增大 k随α的增 大而增大 2．用直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率k＝应注意的问题： (1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应)． (2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$