1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 新课导入 油纸伞是世界上最早的雨伞，是中国古人智慧的结晶.油纸伞舞蹈表演，更是传承几百年，用来伴舞，美轮美奂.观众甲、乙两人在不同地方观察到舞台上方的一个彩灯，甲说彩灯在他的左上方，而乙为何却说彩灯在他的右上方？当伞柄的方向改变时，伞面的位置是否也在改变？ 学习目标 1.会用向量语言描述直线和平面. 2.理解直线的方向向量和平面的法向量. 3.会求直线的方向向量和平面的法向量. 新知学习 探究 一 空间中点、直线的向量表示 思考．在空间中，如何确定一条直线？ 提示：两点确定一条直线；直线上一点及这条直线的方向向量也可以确定一条直线. ［知识梳理］ 1．点的位置向量 在空间中，取一定点作为①_ _ ，那么空间中任意一点就可以用向量来表示，向量称为点的②_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】基点； 位置向量 2．空间直线的向量表示 如图，是直线的方向向量，在直线上取，取定空间中的任意一点，可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使,①将代入①式,得③_ _ _ _ _ _ _ _ .②①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 【答案】 3．空间任意直线由直线上一点及直线的④_ _ _ _ _ _ _ _ 唯一确定. 【答案】方向向量 ［例1］ 如图，在四棱锥中，底面为矩形， 平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： （1） 的坐标； （2） 直线的一个方向向量. 【答案】 ［例1］ 【解】 由题知，，，两两垂直，如图所示，以 为原点，,,所在直线分别为 轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，,， （1） 因为 为 的中点， 所以 的坐标为，，. （2） ，，即为直线 的一个方向向量. （1）直线的方向向量为非零向量. （2）直线的方向向量有无数个，如果是直线的方向向量，则必是直线的方向向量.求一条直线的方向向量,可以在该直线上取两点,,则即为该直线的一个方向向量. ［跟踪训练1］．已知直线的一个方向向量，且直线过点和，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3 【答案】D 【解析】选.因为直线 过点 和，所以，又直线 的一个方向向量，所以，所以存在实数，使得，所以， 所以 解得 所以. 二 空间平面的向量表示 思考1．过同一点的两个定方向可以确定一个平面吗？ 提示：不一定，若两个定方向共线，则不能确定平面；若两个定方向不共线，则确定唯一平面. 思考2．一定点和一个定方向能确定一个平面吗？ 提示：可以，过定点且垂直于定方向的平面是唯一确定的. ［知识梳理］ 1．空间中平面的向量表示如图，取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,，使①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 把这个式子称为空间平面的向量表示式. 【答案】 2．平面的法向量如图，直线 ，取直线的 ②_ _ _ _ _ _ _ _ ，我们称向量为平面 的法向量.给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】方向向量； ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 零向量可以作为平面的法向量.（ ） （2） 平面 的法向量垂直于与平面 共面的所有向量.（ ） （3） 若点，是平面 上的任意两点，是平面 的法向量，则.（ ） （4） 如果向量,与平面 共面且，,那么就是平面 的一个法向量.（ ） 【答案】（1） × （2） √ （3） √ （4） × 2．（多选）在直三棱柱中，以下向量可以作为平面法向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】选. 如图，由直三棱柱的性质知,,均垂直于平面，故选项，中,可以作为平面 的法向量. 3．已知是平面 的一个法向量，点,在平面 内，则_ _ _ _ . 【答案】9 【解析】由题得，因为 是平面 的一个法向量，点，在平面 内，所以，所以，即，解得. （1）平面的法向量所在的直线垂直于该平面内的任何直线. （2）平面的法向量有无数个，且它们相互平行. 三 求平面的法向量 ［例2］ （对接教材例1）如图，在长方体中，,,,.以为原点，,,所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. （1） 写出平面的一个法向量； （2） 当时，写出平面的一个法向量. 【答案】 （1） 【解】因为 轴垂直于平面, 所以 是平面 的一个法向量. （2） 因为,,,， 所以，，. 因此,. 设 是平面 的法向量, 则,. 所以 所以 取,则,. 于是 是平面 的一个法向量. 母题探究．若平面的一个法向量为，求 ,的值及点的坐标. 解：因为，, 所以， 所以，，. 又因为平面 的法向量， 所以 即 解得 所以， 即， 故，, 此时点 的坐标为. 待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为; （2）选向量：在平面内选取两个不共线的向量,; （3）列方程组：由，，列出方程组 （4）解方程组： （5）赋非零值：取其中一个为非零值（常取）； （6）得结论：得到平面的一个法向量. ［跟踪训练2］．如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形， ， 底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，求： （1） 平面的一个法向量； （2） 平面的一个法向量. 【答案】 ［跟踪训练2］ 解：因为 底面，底面是直角梯形且 ，所以，，两两垂直.以点 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，0，，，. 则，1，，，0，. （1） 易知向量，0，是平面 的一个法向量. （2） 设 为平面 的法向量， 则 即 取，则，.所以平面 的一个法向量为. 课堂巩固 自测 1．若，在直线上，则直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.依题意，直线 的一个方向向量为 2．已知向量，平面 的一个法向量，若 ，则（ ） A. , B. , C. D. 【答案】C 【解析】选.由题意可知，故. 3．若向量,都是直线的方向向量，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，都是直线 的方向向量，所以.因此，解得,，所以. 4．（教材P29T3改编）如图所示，在三棱锥中建立空间直角坐标系，，,,，其中，求平面的一个法向量. 解：依题意，，，，设平面 的法向量为， 则 令，则，，因此，所以平面 的一个法向量为. 1.已学习：（1）空间中点、直线、平面的向量表示； （2）直线的方向向量与平面的法向量. 2.须贯通：（1）利用待定系数法求平面的法向量； （2）利用空间向量表示点、直线、平面，体现了数形结合的思想方法. 3.应注意：理解直线的方向向量和平面的法向量的不唯一性. 课后达标 检测 A 基础达标 1．在空间直角坐标系中，坐标平面的一个法向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.在空间直角坐标系中，轴垂直于平面，故平面 的法向量可以是. 2．已知平面 以为法向量，且经过坐标原点和点，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】选.由题意知,则，解得. 3．若是平面 的一个法向量，则下列向量也可以作为平面 的法向量的是（ ） A. B. C. ,, D. ,, 【答案】D 【解析】选.因为法向量不是零向量，所以 不符合题意；因为，所以 不符合题意；因为，所以 不符合题意；因为,,，所以，所以,,也可以作为平面 的法向量，所以 符合题意. 4．在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.依题意，， ，则，所以点 的坐标满足的关系式是. 5．已知点在平面 内，是平面 的一个法向量，则下列各点在平面 内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.设 是平面 内的一点，则，所以，即，选项 满足. 6．（多选）如图，四棱柱为正方体，则（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线的一个方向向量为 C. 平面的一个法向量为 D. 平面的一个法向量为 【答案】ABC 【解析】选.设正方体的棱长为1，因为，且，所以 正确；因为，，所以 正确；因为 平面，，所以 正确；因为，但 与平面 不垂直，所以 错误. 7．已知的三个顶点分别为，，，则边上的中线的一个方向向量为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（答案不唯一） 【解析】由于 的三个顶点分别为，，，则 的中点坐标为,,，即.所以 边上的中线的一个方向向量为. 8．在空间直角坐标系中，已知向量，点，点.若平面 经过点，且以为法向量，是平面 内的任意一点，则点的坐标满足的关系式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意得，若平面 经过点，且以 为法向量，则，即点 的坐标满足的关系式为. 9．在空间直角坐标系中，已知,，若平面的一个法向量为，则直线的一个方向向量为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，, 所以， 又平面 的一个法向量为，所以，解得， 所以直线 的一个方向向量为. 10．（13分）已知点,是直线上两点. （1） 求直线的一个方向向量；（5分） （2） 判断点是否在直线上.（8分） 【答案】（1） 解：直线 的一个方向向量为. （2） 由已知得. 设,, 即， 所以 无解，即这样的 不存在，即向量 与 不共线.故点 不在直线 上. B 能力提升 11．已知向量，，，若是平面的法向量，则的值是（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】选.由题可得，， 又 为平面 的法向量， 所以，解得， ，解得，所以. 12．（多选）已知，分别是平面 ， 的法向量，则平面 ， 交线的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】选.平面 ， 交线的方向向量应该与 和 同时垂直，对于，，错误；对于，，，正确；对于，，，正确；对于，，错误. 13．（13分）在正方体中，，分别为棱，的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： （1） 直线的一个单位方向向量；（6分） （2） 平面的一个法向量.（7分） 【答案】 （1） 解：设正方体 的棱长为2，则，，，，则直线 的一个方向向量，而， 所以直线 的一个单位方向向量为 ,,. （2） 由（1）可得，，设平面 的一个法向量为. 所以 即 令，则，，所以平面 的一个法向量为. 14．（15分）已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，. （1） 求证：是平面的法向量；（7分） （2） 求平行四边形的面积.（8分） 【答案】 （1） 证明：，， 所以，. 又， 平面，， 所以 平面. 所以 是平面 的法向量. （2） 解：因为， ， ， 所以，， 又，， 故，， ，. C 素养拓展 15．在直三棱柱中，， ，平面的一个法向量为，则棱的长为_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】以 为原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由题意可知，，， 所以，， 因为平面 的一个法向量为，所以根据法向量的定义可得，，解得，且，所以. 第2课时 空间中直线、平面的平行 新课导入 观察图片，旗杆底部的平台与地面平行，旗杆所在的直线与护旗战士所在的直线平行，旗杆所在的直线与竖直楼面平行.试想，其中涉及的直线的方向向量与平面的法向量各自是什么位置关系？ 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量法判断或证明直线、平面间的平行关系. 新知学习 探究 一 直线与直线平行 思考．由直线与直线的平行关系，可以得到平行直线的方向向量具有什么关系？ 提示：平行. ［知识梳理］ 设,分别是直线,的方向向量，则 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，使得②_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； ［例1］ 如图，在四棱锥中，底面为矩形， 平面，为的中点，为的中点，，，.求证：. 【证明】方法一：由题意知，直线，，两两垂直，如图所示，以 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则,,,,,,,，所以，，0，，所以， 又，，故. 方法二：由题意可得,,又，，所以. 证明直线平行的两种思路 ［跟踪训练1］．已知正方体中，为的中点，探求直线与直线是否平行. 解：不平行，理由如下：以 为原点，,,的方向分别为 轴、轴、轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系. 则,,,,,，所以,,,. 又因为，所以 与 不平行. 因为 为直线 的一个方向向量，为直线 的一个方向向量，因此直线 与直线 不平行. 二 直线与平面平行 思考．如图，直线与平面 平行，是直线的方向向量，是平面 的法向量，与有什么关系？ 提示：垂直. ［知识梳理］ 设是直线的方向向量,是平面 的法向量， ,则①_ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； ［例2］ （对接教材例3）如图，在长方体中，,,.点为线段的中点，证明：任取线段上一点，均有平面. 【证明】 以 为原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，，，所以，. 设 是平面 的法向量， 则 即 所以 取，则，. 所以 是平面 的一个法向量. 由,,，， 得,,4，，设点 满足,则，所以,,,，，所以 恒成立，所以，因为 平面,所以任取线段 上一点,均有 平面. 利用空间向量证明线面平行的步骤 （1）先求直线的方向向量； （2）再求平面的法向量； （3）计算直线的方向向量与平面的法向量的数量积； （4）给出几何结论. ［跟踪训练2］．如图，在四棱锥中，侧棱 平面，点是的中点，底面是直角梯形，，，，.求证：平面. 证明：因为 平面，，以 为原点，分别以，，的方向为 轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，， 点 是 的中点， 所以，，，，1，， 则，0，， 因为 平面，所以平面 的一个法向量为. 因为， 所以， 因为 平面，所以 平面. 三 平面与平面平行 思考．如图，平面 ， 平行，，分别是平面 ， 的法向量，与具有什么关系？ 提示：平行. ［知识梳理］ 设,分别是平面 ， 的法向量，则 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,使得②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； ［例3］ 如图，在正方体中，，，分别是，，的中点.证明：平面平面. 【证明】 以 为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则，，，，. 易知 为平面 的一个法向量， 由于，， 且 即 也是平面 的一个法向量，所以平面 平面. 利用空间向量证明面面平行的步骤 （1）先求两个平面的法向量； （2）再证明两个法向量共线； （3）给出几何结论. ［跟踪训练3］．如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，,,,,是棱的中点.求证：平面平面. 证明：由题意得，,所以 为正三角形. 所以 . 如图，取 的中点，连接, 则,所以. 以 为原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，,,,,, 所以,,,, 所以,,则,,又,,, 平面,, 平面,所以平面 平面. 四 平行关系中的探索性问题 ［例4］ 如图，在多面体中，平面 平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且， ，，.问：在线段上是否存在点，使得直线平面？ 【解】 因为四边形 为正方形，所以，因为平面 平面，平面 平面， 平面，所以 平面，又 平面， 所以，又 ，故，，两两垂直，以 为坐标原点，，，所在直线分别为,,轴，建立空间直角坐标系， 因为， ，，，所以,，，，，， 假设在线段 上存在点，使得直线 平面，不妨设 ,，即，当 时，与 重合，此时 与平面 不平行， 当 时，设， 则， 解得 ， ,故， 设平面 的法向量为， 则 令，则，故,,， 则，，，解得， 故在线段 上存在点，使得直线 平面，此时. 有关是否存在一点，使得直线与平面之间满足平行的探索性问题，解答时，一般先假设存在这样的点，再建立空间直角坐标系，设出该点的坐标，将直线与平面的平行关系转化为直线的方向向量与平面的法向量的关系，利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程（组）.若方程（组）有解，则点存在；否则，点不存在. ［跟踪训练4］．在四棱锥中，平面 平面，底面为梯形.，，且，， .若是棱的中点，则棱上是否存在点，使得. 解：在平面 内过点 作，交 于点，因为平面 平面，且平面 平面， 平面， 可得 平面，又，所以,,两两垂直， 以 为原点，,,所在的直线分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 由，， ，可得，，，，， 假设棱 上存在点，使得， 设，其中，因为 是棱 的中点，可得，，，又由，得，所以， 所以 ， ，，，设， 可得 此方程组无解，所以假设不成立，所以棱 上不存在点，使得. 课堂巩固 自测 1．（教材（1）改编）已知直线的方向向量,平面 的法向量，若 ，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】选.因为 ，故，故，解得. 2．（多选）已知向量,分别为两个不同的平面 , 的法向量，为直线的方向向量，且 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】选.因为,，所以，所以 ，正确，错误；因为，且 ，所以 ，正确；因为，所以 或者 ,错误. 3．已知平面 的法向量为，平面 的法向量为，若 ，，，则. 【答案】10 【解析】因为平面 的法向量为，平面 的法向量为，且 ， 所以，则，解得，,所以. 4．（教材P31T3改编）如图，已知多面体是由正四棱锥与正方体组合而成的，且.求证：平面. 证明：如图,以点 为原点，， ，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系.设，则，过 作 平面，垂足为点，连接， 则点 是正方形 的中心，则，. 于是，，， 则. 设平面 的法向量为， 又，，， 则，， 解得,,故可取， 由，可得， 又 平面，故 平面. 1.已学习：线线平行、线面平行与面面平行的向量表示及应用. 2.须贯通：利用直线的方向向量与平面的法向量证明空间中的平行关系，体现了转化与化归的思想方法. 3.应注意：利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知直线的方向向量为，平面 的法向量为，则“”是“ ”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】选.若，则 或 ，故充分性不成立，若 ，则，故必要性成立， 所以“”是“ ”的必要不充分条件. 2．已知平面 ,为平面 的一个法向量，则下列向量可能是平面 的一个法向量的是（ ） A. B. C. D. ,1, 【答案】D 【解析】选.因为 ，设平面 的法向量为，所以，即存在实数 ，使，只有 项满足条件. 3．已知点，平面，且平面 的法向量，则下列各点中不在平面 内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.设选项中的点为，对于,,所以，故 不满足题意； 对于，，所以,故 不满足题意； 对于,，所以,故 满足题意； 对于，,所以，故 不满足题意. 4．已知直线和平面 ，且 ，的方向向量为，平面 的一个法向量为，,，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】选.依题意，，即，所以，又，,所以，，所以，当且仅当，即,时，取到等号，所以，即 的最小值为. 5．如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，,在上，且平面,则点的坐标为（ ） A. B. ，， C. ,， D. ,, 【答案】C 【解析】选.设，交于点，连接（图略）.设点 的坐标为,因为,所以,,，又,,所以,,，，因为 平面， 平面，平面 平面，所以，易得，即 解得 所以点 的坐标为,,. 6．（多选）已知，分别为直线，的方向向量，不重合，，分别为平面 ， 的法向量 ， 不重合，直线，均在平面 ， 外，则下列说法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】选.两直线的方向向量平行，且两直线不重合，则两直线平行，正确；两直线的方向向量垂直，则它们也垂直，错误；两个平面的法向量平行，且两个平面不重合，则这两个平面平行，正确；一条直线的方向向量与一个平面的法向量垂直，则这条直线（直线在该平面外）与该平面平行，正确. 7．若两不重合平面 ， 的法向量分别为，,,，则 与 的位置关系是_ _ . 【答案】平行 【解析】因为， , 不重合，所以 与 平行. 8．已知直线平面，且的一个方向向量为，，，，则实数的值是_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为直线 平面，所以存在实数，，使，，，所以，所以 解得. 9．如图，在棱长为3的正方体中，点在上，且，点在上，且，若平面内存在一点使得平面，则一个满足条件的点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】,0,（答案不唯一） 【解析】由题知,，，，得，， 设，平面 的法向量为. 则 即 令，则，， ， 即. 取，则，故点,0,. 10．（13分）如图所示，四边形为矩形， 平面，，，，分别是，，的中点.求证： （1） 平面；（6分） （2） 平面平面.（7分） 【答案】 （1） 证明：因为 平面，， 平面，所以，， 因为四边形 为矩形，所以， 所以，，两两垂直， 所以以 为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以,,，,0,，,,， 所以,,. 易知平面 的一个法向量为，且，即. 又因为 平面，所以 平面. （2） 因为， 且，所以， 又 平面，所以 平面. 又由（1）知 平面,且，， 平面， 所以平面 平面. B 能力提升 11．如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选. 如图，以点 为坐标原点，，，所在直线分别为,,轴，建立空间直角坐标系.连接,. 则有,,,,, 依题意，， , 于是，. 又因为， 平面， 平面,则,又,， 平面，故 平面,故平面 的法向量可取为，因为 平面，故，即. 则 , 因为,故当 时，. 12．（多选）如图，在正方体中，，，，均是所在棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 【答案】ABC 【解析】选.依题意，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设正方体 的棱长为2，则,,,,,,, 所以,， 所以，即，即，故 正确； 所以,， 设平面 的法向量为， 则 即 令，则,，所以， 又，即，又 平面，所以 平面，故 正确； 由选项，知，,平面,又 平面,所以 平面,因为，分别为，的中点，所以，因为 平面, 平面,所以 平面,又因为，， 平面，所以平面 平面,故 正确； 因为,,所以 和 不平行，故 错误. 13．如图，在四棱锥中， 平面，四边形为直角梯形，，，，，为等腰直角三角形，点在棱上，若点为的中点，且平面，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】，， 【解析】结合已知条件和题图可知，，，，，，，，，不妨设，因为点 在棱 上， 所以，， 解得 ， ， ， 所以， 从而,,， 由题意可知，为平面 的一个法向量，故，解得，从而点 的坐标为，，. 14．（15分）如图，正方体的棱长为4，点为棱的中点，，分别为棱，上的点，且，交于点. （1） 求证：平面；（7分） （2） 求证：四边形为平行四边形，并计算其面积.（8分） 【答案】 （1） 证明：如图，过点 作 于点，连接，由题意得，为 的中点， 在正方体 中，因为 为 的中点，所以，， 所以四边形 为平行四边形， 所以， 因为 平面， 平面， 所以 平面. （2） 解：如图，以 为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以， 所以 且， 所以四边形 为平行四边形， 又，， 所以， 所以，所以四边形 的面积为. C 素养拓展 15．（17分）如图，在四棱锥中， 平面，，，，，，. （1） 证明：平面平面；（7分） （2） 在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（10分） 【答案】 （1） 证明：如图，连接,由于 平面， 平面,则. 且，， 则. 又，则， 故. 又,则,又, 则四边形 为正方形.则. 又 平面, 平面, 则 平面. 由于，，则. 又，则, 则,则，则. 又 平面, 平面,则 平面. 又，， 平面,则平面 平面. （2） 解：由（1）可知，四边形 为正方形， 平面，则，，两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系. 则,,,,,假设棱 上存在一点，使得 平面，设,,则,. 设平面 的法向量为， 且,. 则 则 取,解得. 又, 因为 平面，则. 即，则，解得.此时.故棱 上存在一点，使得 平面，. 第3课时 空间中直线、平面的垂直 新课导入 坐落在天安门广场上的人民英雄纪念碑是我们中华民族的丰碑，它记录着我们中华民族的荣与辱!那么，纪念碑所在直线的方向向量与地面的法向量有什么关系？如何判定直线、平面的垂直关系是我们今天所要学习的内容. 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量法判断或证明直线、平面间的垂直关系. 新知学习 探究 一 直线与直线垂直 思考．如图，直线,的方向向量分别为,,当直线，垂直时，，之间有什么关系？ 提示：垂直. ［知识梳理］ 设直线，的方向向量分别为,,则 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； ［例1］ 如图，在四棱台中，底面是一个正方形， 平面，，用向量法证明. 【证明】 方法一：设，，，由题设易知三个向量两两垂直，且， 则，，所以， 所以. 方法二：依题意，，，两两垂直，以 为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系（图略），设， 则，，, ，, ,所以． 证明线线垂直的方法 用向量证明空间中两条直线,互相垂直的主要思路是证明两条直线的方向向量,相互垂直，只需证明即可，具体方法有以下两种： （1）坐标法：用坐标表示出两条直线的方向向量，计算出两向量的数量积为0. （2）基向量法：将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，计算出两向量的数量积为0. ［跟踪训练1］．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角.求证：. 证明：因为，为 的中点，所以，由二面角 为直二面角，知平面 平面，又平面 平面， 平面， 所以 平面，因为，，，所以， 取 的中点，连接，则， 如图，以点 为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ,. 因为，所以. 二 直线与平面垂直 思考．如图，设是直线的方向向量，是平面 的法向量，当直线 平面 时，，之间有什么关系？ 提示：平行（共线）. ［知识梳理］ 设直线的方向向量为，平面 的法向量为,则 ①_ _ _ _ _ _ _ _ ，使得②_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； ［例2］ （对接教材例4）如图所示，在正方体中,,分别是,的中点. 求证： （1） 平面； （2） 平面. 【答案】 （1） 【证明】方法一：设，,,连接（图略），则. 因为, 所以 . 所以,即.同理,. 又,， 平面，所以 平面. 方法二：设正方体的棱长为2，以 为原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，,,,.所以,,. 所以,，所以，,所以,. 又,, 平面,所以 平面. 方法三：由方法二得,,. 设平面 的法向量, 则 即 取,则,，所以，所以，所以，所以 平面. （2） 由（1）方法二得，,,,,所以,. 又，所以， 所以，即. , 所以，所以. 又因为,, 平面,所以 平面. 证明线面垂直的方法 （1）基向量法:选取基向量,用基向量表示直线的方向向量,证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论. （2）坐标法:建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线的方向向量与平面的法向量共线，从而证得结论. ［跟踪训练2］．如图，已知 平面，底面为正方形，，，分别为，的中点.求证： 平面. 证明：如图，因为 平面，底面 为正方形，故，，两两垂直，以 为原点，，，的方向分别为 轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系. 又，，分别为，的中点，则,，，，，于是，，，，设平面 的法向量为， 则有 得,令，则,所以，则，则 平面. 三 平面与平面垂直 思考．如图，设,分别是平面 ， 的法向量，当平面 垂直于平面 时，，之间有什么关系？ 提示：垂直. ［知识梳理］ 设平面 , 的法向量分别为,,则 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； ［例3］ 如图所示，在直三棱柱中，,，，分别为棱，的中点.证明：平面 平面. 【证明】 如图，以 为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，. 设平面 的法向量为， 则 即 令， 可得平面 的一个法向量. 设平面 的法向量为， 则 即 令，可得平面 的一个法向量. 因为，所以， 所以平面 平面. 证明面面垂直的两种思路 （1）证明两个平面的法向量垂直. （2）根据面面垂直的判定定理，证明一个平面内的向量垂直于另一个平面. ［跟踪训练3］．如图所示，是一个正三角形， 平面，，且.求证：平面 平面. 证明：以 为原点，，所在直线分别为 轴、轴，平面 内过点 且垂直于 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，则，,,, 所以，,,设平面 的法向量是， 则 取，则，，即平面 的一个法向量，设平面 的法向量是， 则 取，则，，即平面 的一个法向量， 因为，所以， 所以平面 平面. 四 垂直关系中的探索性问题 ［例4］ 如图，在正三棱柱中，,是的中点.在线段上是否存在一点，使 平面？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【解】 假设在线段 上存在一点，使 平面. 取 的中点，以 为坐标原点，，所在直线分别为 轴、轴，过点 且平行于 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，, 则,,,,， 所以，，. 显然，则， 因为 平面， 平面，则，，解得，此时,,,, 平面,所以 平面.所以在线段 上存在一点，使 平面，此时点 为点. 有关是否存在一点，使得直线与平面之间满足垂直的探索性问题，解答时，一般先假设存在这样的点，再建立空间直角坐标系，设出该点的坐标，将直线与平面的垂直关系转化为直线的方向向量与平面的法向量的关系，利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程（组）.若方程（组）有解，则点存在；否则，点不存在. ［跟踪训练4］．已知正四棱台的体积为，其中.在线段上是否存在一点，使得？若存在,确定点的位置；若不存在，请说明理由. 解：依题意，在正四棱台 中，， 所以上底面面积，下底面面积，设正四棱台的高为， 则，解得. 连接，，则，，再连接，，设正四棱台上、下底面的中心分别为，，以 为原点，，，所在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 假设线段 上存在一点，使得, 设，，，， 所以， 则，，，，，，因为，则，即，解得，舍去， 所以在线段 上不存在一点，使得. 课堂巩固 自测 1．已知平面 , 的法向量分别为,，则这两个平面的位置关系为（ ） A. 平行 B. 相交但不垂直 C. 垂直 D. 不能确定 【答案】C 【解析】选.因为,，所以， 则，所以 . 2．（多选）已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，.则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 是平面的一个法向量 D. 【答案】ABC 【解析】选.由题意可知,,都是非零向量，对于，，所以,即，故 正确；对于，，所以,即，故 正确；对于，因为,,， 平面，，所以 平面，故 正确；对于，因为 平面， 平面，所以，故 错误. 3．（教材（2）改编）已知是直线的方向向量，是平面 的法向量，如果 ，则. 【答案】24 【解析】因为 ，所以,所以存在实数 ，使得，即.所以 ，，.可得. 4．（教材P43 T11改编）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，,,,分别为,,的中点，，用向量法证明：直线 平面. 证明：由题意知，，，两两垂直，以 为原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,,,,，1，，,,,,. 设平面 的法向量为, 则 即 令，则,,所以，因为,所以,故直线 平面. 1.已学习：线线垂直、线面垂直与面面垂直的向量表示及应用. 2.须贯通：利用直线的方向向量与平面的法向量证明空间中的垂直关系，体现了转化与化归的思想方法. 3.应注意：分清直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间垂直关系的对应，不要混淆. 课后达标 检测 A 基础达标 1．[（2025·淄博模拟）]已知直线的方向向量为，平面 的法向量为，则与 的关系是（ ） A. B. C. 与 相交但不垂直 D. 或 【答案】A 【解析】选.由向量，，得，即，所以 . 2．[（2025·深圳期末）]设平面 和 的法向量分别为,.若 ，则（ ） A. 4 B. C. 10 D. 【答案】C 【解析】选.因为 ，所以，解得. 3．，，，是空间不共面的四点，且满足，，，为中点，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】选. 因为，，，所以，，两两互相垂直，因为，， 平面，所以 平面，因为 平面，所以，所以 为直角三角形. 4．如图， 平面，四边形为正方形，为的中点，是上一点，当时，（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】选. 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形 的边长为1，， 则，，1，，， 设，,则，，1，， 因为，则，解得， 即，，，可知 是 的中点，故. 5．[（2025·攀枝花期末）]如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段长度的取值范围为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】选.由题知，，两两垂直，以点 为坐标原点，,,所在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，1，,，0，，设点,，其中,, ，，，，，， 由于，则，可得， 因为，则,， ,. 6．（多选）在正方体中，,,分别为棱，，的中点，则下列直线与垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】选.如图，以 为原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，，. 由,,分别为棱，，的中点，可得，，，所以，，，，，因为，所以，所以 正确；因为，所以，所以 正确；因为，所以 错误；因为，所以 错误. 7．已知平面 与平面 垂直，平面 与平面 的法向量分别为，，则的值为_ _ _ _ . 【答案】5 【解析】因为平面 与平面 垂直，所以平面 的法向量 与平面 的法向量 垂直，所以，即，解得. 8．[（2025·深圳期末）]已知平面 的一个法向量为，若点,均在 内，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由点，可得. 因为平面 的一个法向量为， 点,均在 内， 所以，则，解得. 9．在四棱锥中， 底面,,,,,为的中点，为棱上一点，当时，_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】 取 的中点,连接，因为，所以,由勾股定理可得,因为,所以 ,故，，两两垂直，以 为原点，,，所在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则,，，，，故，，，，，，，， 设， 则，，因为，所以， 即， 解得，所以. 10．（13分）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形， 底面，，，分别为，的中点.求证： 平面. 证明：以 为坐标原点，的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，其中，则，，，,,，,,，，， 所以，， 所以，， 又， 平面，， 所以 平面. B 能力提升 11．在四棱柱中， 平面，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（ ） A. 对任意的，，存在点，使得 B. 当且仅当时，存在点，使得 C. 当且仅当时，存在点，使得 D. 当且仅当时，存在点，使得 【答案】C 【解析】选.以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,，设， 所以,，所以， 令，得，由 得， 所以当且仅当 时，存在点，使得. 12．如图，在棱长为2的正方体中，,分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且,若 平面，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】以 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则,,,,, 所以,, 由,可得， 所以,,因为 平面, 所以,, 所以 即 解得，当 为线段 上靠近 的四等分点时， 平面. 13．（15分）已知四棱锥的底面是直角梯形， ，，侧面 底面. 证明： （1） ；（7分） （2） 平面 平面.（8分） 【答案】 （1） 证明：取 的中点，连接， 因为 为等边三角形，所以， 因为平面 底面，平面 底面， 平面， 所以 底面. 以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，过点 与 平行的直线为 轴，所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设，则，， 所以，，，， 所以，， 因为， 所以，所以. （2） 取 的中点，连接， 则，，， 因为，0，，， 所以，所以，即. 因为， 所以，即， 又因为，， 平面，所以 平面. 因为 平面， 所以平面 平面. 14．（15分）如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，. （1） 求证：；（7分） （2） 在线段上是否存在一点，使得平面 平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（8分） 【答案】 （1） 证明：因为平面 平面， 平面 平面， ， 平面， 所以 平面. 因为 平面，所以. 过 作 于（图略）， 则，，， 所以， 所以，所以. 因为，， 平面， 所以 平面. 因为 平面，所以. （2） 解：存在.理由如下： 由（1）知，，，两两垂直.以 为坐标原点，，，的方向分别为 轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 假设在线段 上存在一点 满足题意， 设 ，则，因为, 所以, 所以，，. 令，则, 即,解得. 所以当,即 时，, 又由（1）知，因为,, 平面，所以 平面.又因为 平面，所以平面 平面. 故存在满足题意的点，此时. C 素养拓展 15．（多选）设常数，如图，在矩形中，，， 平面.若线段上存在点，使得，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】AB 【解析】选.因为在矩形 中，，， 平面，所以以 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，易知 或 不符合题意， 则，，， 则有，， 由 得，即，若线段 上存在点 满足题意，则方程 在 内有解，设函数，，图象的对称轴为直线，则方程在 内有解需满足，又因为，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $