1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

第2课时 空间中直线、平面的平行 1 观察图片，旗杆底部的平台与地面平行，旗杆所在的直线与护旗战士 所在的直线平行，旗杆所在的直线与竖直楼面平行.试想，其中涉及的直线 的方向向量与平面的法向量各自是什么位置关系？ 返回导航 新课导入 2 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量法判断或证明直线、平面间的平行关系. 返回导航 学习目标 3 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 4 PART 01 新知学习 探究 5 一 直线与直线平行 思考 由直线与直线的平行关系，可以得到平行直线的方向向量具有什么关系？ 提示：平行. 返回导航 6 ［知识梳理］ 设,分别是直线,的方向向量，则 ①________ ， 使得 ②_____. 返回导航 7 ［例1］ 如图，在四棱锥中，底面 为矩 形， 平面，为的中点，为 的中点， ，，.求证： . 【证明】方法一：由题意知，直线，， 两两垂直，如图所示，以 为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、 轴，建立空间直 角坐标系， 则,,,,,,,，所以， ，0，，所以 ， 又，，故 . 返回导航 8 方法二：由题意可得, ,又，，所以. 返回导航 9 证明直线平行的两种思路 返回导航 10 ［跟踪训练1］ 已知正方体中，为 的中点，探求 直线与直线 是否平行. 解：不平行，理由如下：以为原点，,, 的方向 分别为轴、轴、 轴正方向，正方体的棱长为单位长度， 建立如图所示的空间直角坐标系. 则,,,,, ，所以 ,,, . 返回导航 11 又因为，所以与 不平行. 因为为直线的一个方向向量，为直线 的一个方向向量，因此 直线与直线 不平行. 返回导航 12 二 直线与平面平行 思考 如图，直线与平面 平行，是直线的方向向量，是平面 的法 向量，与 有什么关系？ 提示：垂直. 返回导航 13 ［知识梳理］ 设是直线的方向向量,是平面 的法向量， ,则 ①___ ②_________ . 返回导航 14 ［例2］ （对接教材例3）如图，在长方体 中，,,.点 为 线段的中点，证明：任取线段上一点 ，均有 平面 . 返回导航 15 【证明】 以为原点，,,所在直线分别为 轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为 ，，，所以 ， . 设是平面 的法向量， 则即 所以取，则， . 返回导航 16 所以是平面 的一个法向量. 由,,， ， 得,,4，，设点满足 ,则 ，所以,, ,，，所以恒成立，所以，因为 平面,所以任取线段上一点,均有 平面 . 返回导航 17 利用空间向量证明线面平行的步骤 （1）先求直线的方向向量； （2）再求平面的法向量； （3）计算直线的方向向量与平面的法向量的数量积； （4）给出几何结论. 返回导航 18 ［跟踪训练2］ 如图，在四棱锥中，侧棱 平面 ，点 是的中点，底面是直角梯形，， ， ，.求证：平面 . 返回导航 19 证明：因为 平面，，以 为原点，分别以，，的方向为轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角 坐标系. 因为， ， 点是 的中点， 返回导航 20 所以，，，，1， ， 则，0， ， 因为 平面，所以平面的一个法向量为 . 因为 ， 所以 ， 因为 平面，所以平面 . 返回导航 21 三 平面与平面平行 思考 如图，平面 ， 平行，，分别是平面 ， 的法向量， 与 具有什么关系？ 提示：平行. 返回导航 22 ［知识梳理］ 设,分别是平面 ， 的法向量，则 ①________ ,使 得②__________. 返回导航 23 ［例3］ 如图，在正方体中，，，分别是 ， ，的中点.证明：平面平面 . 返回导航 24 【证明】 以为坐标原点，，， 的方 向分别为，， 轴的正方向，建立空间直角坐标 系.设正方体的棱长为2，则， ， ，， . 易知为平面 的一个法向量， 由于， ， 且即也是平面 的 一个法向量，所以平面平面 . 返回导航 25 利用空间向量证明面面平行的步骤 （1）先求两个平面的法向量； （2）再证明两个法向量共线； （3）给出几何结论. 返回导航 26 ［跟踪训练3］ 如图，在直四棱柱中，底面 为等 腰梯形，,,,,是棱 的中点.求证：平 面平面 . 证明：由题意得，,所以 为正三角形. 所以 . 返回导航 27 如图，取的中点，连接 , 则,所以 . 以为原点，,,所在直线分别为轴、轴、 轴 建立空间直角坐标系，则， , ,,, , 所以,,, , 所以,,则,,又 , ,, 平面, , 平面 ,所以平面 平面 . 返回导航 28 四 平行关系中的探索性问题 ［例4］ 如图，在多面体中，平面 平面 .四边形 为正方形，四边形为梯形，且， ， ，.问：在线段上是否存在点，使得直线 平 面 ？ 返回导航 29 【解】 因为四边形 为正方形，所以 ，因为平面 平面 ，平面 平面， 平面 ，所 以 平面，又 平面 ， 所以，又 ，故，，两两垂直，以 为坐标原 点，，，所在直线分别为,, 轴，建立空间直角坐标系， 因为， ，，，所以 , ，，，， ， 返回导航 30 假设在线段上存在点，使得直线平面，不妨设 , ，即，当时，与重合，此时与平面 不 平行， 当时，设 ， 则 ， 解得 ， ,故 ， 返回导航 31 设平面的法向量为 ， 则 令，则，故,, ， 则，，，解得 ， 故在线段上存在点，使得直线平面，此时 . 返回导航 32 有关是否存在一点，使得直线与平面之间满足平行的探索性问题，解 答时，一般先假设存在这样的点，再建立空间直角坐标系，设出该点的坐 标，将直线与平面的平行关系转化为直线的方向向量与平面的法向量的关 系，利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程（组）.若方程（组）有 解，则点存在；否则，点不存在. 返回导航 33 ［跟踪训练4］ 在四棱锥 中，平面 平面，底面为梯形. ， ，且， ， .若是棱的中点，则棱 上是否 存在点，使得 . 返回导航 34 解：在平面内过点作，交于点，因为平面 平 面，且平面 平面， 平面 ， 可得 平面，又，所以,, 两两垂直， 以为原点，,,所在的直线分别为轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 由，， ，可得 ，，，， ， 返回导航 35 假设棱上存在点，使得 ， 设，其中，因为是棱的中点，可得，， ， 又由，得，所以 ， 所以 ， ，，，设 ， 可得此方程组无解，所以假设不成立，所以棱 上不存在 点，使得 . 返回导航 36 PART 02 课堂巩固 自测 37 1.（教材（1）改编）已知直线的方向向量,平面 的 法向量，若 ，则 ( ) A. B. C.2 D. 解析：选C.因为 ，故 ，故 ，解得 . √ 返回导航 38 2.（多选）已知向量, 分别为两个不同的平面 , 的法向量，为直线的方向向量，且 ，则( ) A. B. C. D. 解析：选.因为,，所以 ，所以 ，A正确，D错误；因为，且 ，所以 ，B正确； 因为，所以 或者 ,C错误. √ √ 返回导航 39 3.已知平面 的法向量为，平面 的法向量为 ，若 ，，，则 ____. 10 解析：因为平面 的法向量为，平面 的法向量为 ，且 ， 所以，则，解得，,所以 . 返回导航 40 4.（教材PT改编）如图，已知多面体是由正四棱锥 与正方体 组合而成的，且.求证：平面 . 返回导航 41 证明：如图,以点为原点，， ， 所在 直线分别为，，轴建立空间直角坐标系.设 ， 则，过作 平面 ，垂足 为点，连接 ， 则点是正方形 的中心，则 ， . 于是，， ， 则 . 返回导航 42 设平面的法向量为 ， 又，， ， 则， ， 解得,,故可取 ， 由，可得 ， 又 平面，故平面 . 返回导航 43 1.已学习：线线平行、线面平行与面面平行的向量表示及应用. 2.须贯通：利用直线的方向向量与平面的法向量证明空间中的平行关系， 体现了转化与化归的思想方法. 3.应注意：利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时， 要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点. 返回导航 44 $