1.1.1 空间向量及其线性运算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 第1课时 空间向量及其线性运算 新课导入 如图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向且大小各异的力,你能用图示法表示这些力吗?能对这些力进行力的合成吗?这就是本节我们学习的空间向量及其线性运算. 学习目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算. 新知学习 探究 一 空间向量的有关概念 思考1．与平面向量有关的概念有哪些？ 提示：模、夹角、向量平行、向量相等. 思考2．学习了哪几个特殊的平面向量？ 提示：零向量、单位向量、相反向量等. 思考3．你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 提示：空间向量是平面向量的推广，其表示方法及相关概念与平面向量一致. ［知识梳理］ 1．定义 在空间，把具有①_ _ 和②_ _ 的量叫做空间向量. 【答案】大小； 方向 2．长度 空间向量的③_ _ 叫做空间向量的长度或④. 【答案】大小； 模 3．表示法 （1）几何表示法：空间向量用⑤_ _ _ _ _ _ _ _ 表示. （2）字母表示法：若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作⑥_ _ _ _ _ _ ，其模记为⑦_ _ _ _ _ _ _ _ 或⑧_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】有向线段； ； ； 4．几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为⑨_ _ 的向量 单位向量 模为⑩_ _ 的向量 或 相反向量 与向量长度⑪_ _ 而方向⑫_ _ 的向量，叫做的相反向量 共线向量或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相⑬_ _ _ _ _ _ _ _ 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量,都有 或 相等向量 方向⑭_ _ 且模⑮_ _ 的向量 或 【答案】0； 1； 相等； 相反； 平行或重合； 相同； 相等 ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 两个有公共终点的向量，一定是共线向量.（ ） （2） 若，则.（ ） （3） 若两个向量的起点重合，则这两个向量的方向相同.（ ） 【答案】（1） × （2） √ （3） × 2．如图，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中： （1） 单位向量有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； （2） 模为的向量有_ _ _ _ 个； （3） 与相等的向量有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； （4） 的相反向量有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） ，，，，，，， （2） 8 （3） ，， （4） ，，， 空间向量的概念辨析 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等；两向量互为相反向量的充要条件是两个向量的模相等、方向相反. 二 空间向量的加减运算 思考1．平面向量的线性运算是指哪些运算？ 提示：平面向量的线性运算是指平面向量的加减法及数乘运算. 思考2．空间中的向量能用平面向量的线性运算法则进行运算吗？ 提示：能.因为空间向量是可以自由移动的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合，又因为两条相交直线确定一个平面，所以平移后两个向量是在同一个平面内的，同一平面内的两个向量可以利用平面向量的线性运算法则进行运算. ［知识梳理］ 名称 代数形式 几何形式 运算律 加法运算 ①_ _ _ _ _ _ _ _ 交换律： ③_ _ _ _ _ _ _ _ ； 结合律： ④_ _ _ _ _ _ _ _ 减法运算 ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】； ； ； ［例1］ （对接教材探究）如图，已知平行六面体，化简下列各式： （1） ； （2） . 【答案】（1） 【解】. （2） 因为，所以. 空间向量加法、减法运算的两个技巧 （1）巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接. （2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. ［跟踪训练1］．如图，已知空间四边形，连接，，点，，分别是，，的中点，请化简： （1） ； （2） ，并在图中标出化简结果的向量. 【答案】（1） 解：. （2） 如图所示， 连接，因为点，，分别是，，的中点，所以，，所以，如图所示. 三 空间向量的数乘运算 思考．平面向量的数乘运算中，实数 对向量起到什么作用？ 提示： 且当 时，与向量 的方向相同；当 时，与向量 的方向相反. ［知识梳理］ 定义 与平面向量一样，实数 与空间向量的乘积仍然是一个①_ _ ，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向②_ _ 的长度是的长度的④_ _ 倍 与向量的方向③_ _ _ _ _ _ 运算律 结合律 ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ 分配律 ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑦_ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】向量； 相同； 相反； ； ； ； 角度1 利用数乘运算表示向量 ［例2］ 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示. 【解】 因为 是 的中点， 所以， 因为，所以， 所以， 因为， 所以 ， 所以 . 利用数乘运算进行向量表示的技巧 （1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. （2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质. 角度2 由空间向量的线性运算求参数 ［例3］ 在长方体中，是与的交点，若，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】如图所示， ， 故，，，故. 由空间向量的线性运算求参数的方法 解答此类问题多运用三角形法则或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量的线性表示，再根据对应向量的系数相等求参数. ［跟踪训练2］． （1） 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. （2） 如图，已知长方体中，点为的中点，，若，则_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） ；； 【解析】 （1） 选.因为，所以， 因为 ，所以. （2） 由题意知，， 又， 所以,,. 课堂巩固 自测 1．化简所得的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.. 2．（多选）下列命题中为真命题的是（ ） A. 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B. 两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C. 只有零向量的模等于0 D. 共线的单位向量都相等 【答案】ABC 【解析】选 是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量. 3．（教材P10T5改编）在平行六面体中，与的交点为，点为上靠近点的三等分点.设，，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】 . 4．（教材P6T5改编）如图，已知长方体中，点为上底面的中心，若，则_ _ _ _ . 【答案】1 【解析】因为 ， 又因为, 所以,,所以. 1.已学习：空间向量的有关概念、空间向量的线性运算. 2.须贯通：厘清空间向量的有关概念、空间向量的运算法则，空间向量的加法运算满足三角形法则与平行四边形法则. 3.应注意：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素. 课后达标 检测 A 基础达标 1．下列命题是真命题的是（ ） A. 空间向量就是空间中的一条有向线段 B. 不相等的两个空间向量的模必不相等 C. 任一向量与它的相反向量不相等 D. 向量与向量的长度相等 【答案】D 【解析】选.对于，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故 是假命题；对于，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的大小相等且方向不相同即可，故 是假命题；对于，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故 是假命题；对于，与 仅是方向相反，它们的长度是相等的，故 是真命题. 2．若,,,为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.对于，; 对于，； 对于，； 对于，. 3．在空间四边形中，点,分别是和的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选. 因为点 是 的中点， 所以， 所以. 4．在三棱柱中，为棱的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选. . 5．已知四边形，为空间任意一点，且,则四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 空间四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形 【答案】A 【解析】选.因为， 所以. 所以 且. 所以四边形 为平行四边形. 6．（多选）如图，在四面体中，点，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】选.因为，分别为，的中点，所以由中位线性质可知，故 正确；若,则，由题图可知，不共线，矛盾，故 错误；因为，故 正确；因为，故 正确. 7．如图所示，在三棱柱中，与相等的向量是_ _ _ _ _ _ _ _ ；的相反向量是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； 和 【解析】由相等向量与相反向量的定义知，与 是相等向量，与,是相反向量. 8．如图，在平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】,故，，，. 9．如图，空间四边形中，，，，且，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（用,,表示） 【答案】 【解析】因为，， 所以,， 又因为，，， 所以 . 10．（13分）如图所示，在长方体中，，,,，，，，，分别是，，，，，的中点，求证：. 证明：,，, 则，, , 则. B 能力提升 11．在四面体中，，，,,为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选. 如图所示，因为 为 的中点，所以，又因为，所以，因为，所以. 12．（多选）在三棱锥中，，，，点在直线上，且，是的中点，则下列结论可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】选.对于，因为 是 的中点，可得，所以 不正确；对于，当点 在线段 上时，因为，此时，则，所以 正确； 对于，当点 在线段 的延长线上时，因为，此时 为 的中点，可得，所以 正确； 对于，当点 在线段 上时，可得； 当点 在线段 的延长线上时，; 当点 在线段 的延长线上时，不可能成立，综上 不正确.综上可得，可能正确的结论为. 13．光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石切成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】延长,,,相交于一点（图略），则,，且， 所以 . 14．（15分）如图所示，在平行六面体中，，分别是，的中点，为线段上一点.设，，. （1） 若是的中点，用，，表示，，；（7分） （2） 若，用，，表示.（8分） 【答案】 （1） 解：由题意得，； ； . （2） 因为，所以， 所以. C 素养拓展 15．（15分）在平面四边形中，，分，所成的比为 ，即 ，则有. （1） 拓展到空间，写出空间四边形类似的命题，并加以证明；（7分） （2） 在长方体中，，分别为，的中点，利用（1）的结论表示.（8分） 【答案】 （1） 解：在空间四边形 中，，分，所成的比为 ，即 ， 则有. 证明如下： . （2） 由（1）的结论可得. 第2课时 共线向量与共面向量 新课导入 提起青岛，不但想到了碧海连天，更想到了它道路的崎岖蜿蜒，徒步而行，时左时右，忽上忽下，宛如置身于迷幻宫殿，游玩过的景点在一条直线上吗？在同一水平面上吗？这就是本节我们研究的三点共线、四点共面问题. 学习目标 1.理解共线向量、共面向量的定义. 2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件. 3.会证明空间三点共线、四点共面. 新知学习 探究 一 共线向量 思考．两个平面向量，共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 提示：对任意两个平面向量，，的充要条件是存在实数 ，使，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量. ［知识梳理］ 1．向量共线的充要条件 对任意两个空间向量,,的充要条件是存在实数 ,使①_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 2．空间直线的确定 （1）直线的方向向量的定义 在直线上取②_ _ 向量,把与向量③_ _ 的非零向量称为直线的方向向量. （2）空间直线的确定 空间直线可以由直线上一点和它的④_ _ _ _ _ _ _ _ 确定. 【答案】非零； 平行； 方向向量 ［例1］ 在空间四边形中，,分别为,的中点，请判断与是否共线. 【解】 连接，取 的中点，连接,，因为,分别为,的中点,所以，.又因为,,三点共面，所以，即 与 共线. 判断两个非零向量共线的方法 判断或证明两向量,共线，就是寻找实数 ,使成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达. ［跟踪训练1］．如图，四边形，都是平行四边形且不共面，点，分别是，的中点，判断与是否共线？ 解：方法一：由题意得， . 又 ， 所以 , 所以，所以 与 共线. 方法二：连接（图略），由题知 为 的中点，所以,所以 与 共线. 二 共面向量 思考1．空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？ 提示： 不一定，如图所示，在三棱锥 中，空间中的三个向量，，不共面. 思考2．对两个不共线的平面向量，，如果，那么向量与向量，共面,对于空间向量成立吗？ 提示：成立,对两个不共线的空间向量，，如果，那么向量 与向量，仍然共面. ［知识梳理］ 1．向量与平面平行 如果表示向量的有向线段所在的直线①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 或②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，那么称向量平行于平面 . 【答案】平行于平面； 在平面 内 2．共面向量 定义 平行于同一个③_ _ 的向量 三个向量共面的充要条件 如果两个向量,不共线，那么向量与向量,共面的充要条件是存在④_ _ 的有序实数对，使⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】平面； 唯一； 提醒 已知,,为空间三个不共面的向量，若,则. ［例2］ 已知，，三点不共线，平面外一点，满足，判断，，三个向量是否共面. 【解】 ，，三个向量共面. 因为， 所以， 化简得，， 即， 即， 故，，三个向量共面. 向量共面的判定方法 充分利用题目条件将其中一个向量表示成另两个不共线向量的线性组合，即若,不共线)，则向量,,共面. ［跟踪训练2］．已知,,是不共面向量，,,，证明这三个向量共面. 证明：由,,是不共面向量，得 与 不共线， 设，则， 所以 解得 所以，所以这三个向量共面. 三 共线向量、共面向量的应用 角度1 参数问题 ［例3］ （1） 已知,,为空间三个不共面的向量，向量，,若与共线，则（ ） A. B. 3 C. D. 15 （2） 已知，,,三点不共线，为平面外任意一点.若，且,,，四点共面，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 若 与 共线，设，所以，因为,,为空间三个不共面的向量，所以, 可得 解得 故. （2） 因为，，，四点共面， 则，且， 又， 即, 即， 所以，解得. （1）若已知，，三点共线，则，然后利用指定向量表示出与，根据对应的指定向量的系数相等列出方程组，从而求出参数. （2）若已知点在平面内，则有或，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. ［跟踪训练3］． （1） 已知动点在所在平面内运动，若对于空间中不在平面上的任意一点，都有，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. （2） 设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且,,三点共线，则实数_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选.因为，动点 在 所在平面内运动，所以，解得. （2） 因为，已知，，所以.因为，，三点共线，所以 与 共线，即存在实数 ，使得.已知，，则.根据向量相等的性质，可得 解得 角度2 证明问题 ［例4］ （对接教材例1）在四棱柱中，,，,. （1） 当时，试用,,表示； （2） 证明：,,,四点共面. 【答案】 （1） 【解】在四棱柱 中， ， 因为， 所以 . （2） 证明：设，,则,,共面且有公共点，则,,,四点共面. 向量共面的判定及应用 证明四点共面时，可以通过以下几个条件证明： （1）; （2）对于空间任意一点，; （3）对于空间任意一点，; （4）(或或. ［跟踪训练4］．如图1是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿,折起使得与重合，如图2，其中,,,分别为,,,的中点. （1） 用,,表示,； （2） 证明：,,,四点共面. 【答案】 （1） 解：连接，（图略），因为,,,分别为,,,的中点， 所以， . （2） 证明：因为， ,， ,所以，则,,共面且有公共点，故,,,四点共面. 课堂巩固 自测 1．当，且，不共线时，与的关系是（ ） A. 共面 B. 不共面 C. 共线 D. 无法确定 【答案】A 【解析】选.根据平行四边形法则可得，以，为邻边作平行四边形，则平行四边形的两条对角线对应的向量分别为，,所以 与 共面. 2．（多选）已知，，三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中不能确定点，，，共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选.设，若点 与点,,共面，则，逐一检验各选项，可知只有选项，不能确定点，，，共面. 3．已知，，三点共线，则对空间任一点，存在三个不为0的实数 ，，，使，那么的值为_ _ _ _ . 【答案】0 【解析】因为，，三点共线，则存在唯一实数 使，显然 且，否则点，重合或点，重合，则，整理得，令，，，显然实数 ，，不为0，此时. 4．（教材P10 T10改编）如图所示，已知四边形是空间四边形，点，分别是，的中点，点，分别是，上的点，且，.求证：四边形是梯形. 证明：因为点，分别是，的中点， 所以，， . 所以 且, 又，所以四边形 是梯形. 1.已学习：空间共线向量与共面向量，直线的方向向量. 2.须贯通：会应用向量共线的充要条件解决三点共线问题，会利用向量共面的充要条件证明四点共面问题. 3.应注意：向量共线与线段共线、点共线不同，不要混淆. 课后达标 检测 A 基础达标 1．下面关于空间向量的说法正确的是（ ） A. 若向量，平行，则,所在直线平行 B. 若向量,所在直线是异面直线，则,不共面 C. 若，，，四点不共面，则向量，不共面 D. 若，，，四点不共面，则向量，，不共面 【答案】D 【解析】选.向量,平行，,所在直线可能重合或平行，错误；可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，,错误；显然，，是空间中有公共端点，但不共面的三条线段，所以向量，，不共面，正确. 2．设空间四点，，，满足，其中，则（ ） A. 点一定在直线上 B. 点一定不在直线上 C. 点不一定在直线上 D. 以上答案都不对 【答案】A 【解析】选.因为，所以，则，所以，所以，则点 一定在直线 上，故 正确. 3．下列条件中，能说明空间中不重合的三点,,共线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.对于空间中的任意向量，都有，选项 不满足题意；若，则，而，则，即,两点重合，选项 不满足题意；，则线段 的长度与线段 的长度相等，不一定有,,三点共线，选项 不满足题意；,则,,三点共线，选项 满足题意. 4．已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点，，，共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.根据空间中四点共面可知，，解得. 5．在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由长方体，可得，， 所以四边形 是平行四边形，所以，同理可得，又，分别为，的中点，所以，所以，所以. 因为直线 与直线 相交，又，所以向量 不平行于，，又直线 与 相交，所以向量 不平行于. 6．（多选）下列命题中是假命题的是（ ） A. 若向量，则与，共面 B. 若与，共面，则 C. 若，则，，，四点共面 D. 若，，，四点共面，则 【答案】BD 【解析】选.对于，若,不共线，则由平面向量基本定理得 与，共面，若,共线，则易知 与,共面，是真命题；对于，若，共线，，不共线时，不能用，表示出来，是假命题； 对于，若，则，，三个向量共面，又点 为，，三个向量的公共起点，所以，，，四点共面，是真命题； 对于，若，，共线，点 不在此直线上，则 不成立，是假命题. 7．若空间非零向量,不共线，则使与共线的的值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意知，存在实数 使得， 即 解得 8．已知向量，，不共面，若，且，则_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】， 所以 解得 9．已知平面 内有，，，，五点，其中任意三点不共线，为空间中一点，若满足，，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为,,,四点共面，且，故，同理，两式相减可得，故，故. 10．（13分）如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且.若,,. （1） 用,,表示；（6分） （2） 求证：，，三点共线.（7分） 【答案】 （1） 解：因为，，,, 所以 ， 所以. （2） 证明：， , 又 与 有公共点，所以，，三点共线. B 能力提升 11．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.，化简得,因为,,,四点共面，所以,即， 因为，, 所以 . 12．（多选）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中 ，，则（ ） A. 若，则点在棱上 B. 若 ，则点在线段上 C. 若，为棱的中点 D. 若，则点在线段上 【答案】ABD 【解析】选.作出三棱柱，如图， 对于，当 时，，则，所以点 在棱 上，故 正确； 对于，当 时，，,所以点 在线段 上，故 正确； 对于，当 时，由 知，所以 为线段 的中点，故 错误； 对于，当 时， ，所以，则，即，所以点 在线段 上，故 正确. 13．已知在正方体中，，为空间任意两点，若，那么点必在平面_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 内. 【答案】 【解析】因为 ， 因为， 所以，，，四点共面，即点 必在平面 内. 14．（13分）如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，. （1） 求证：，，，四点共面；（6分） （2） 若，求的值.（7分） 【答案】 （1） 证明：因为， 所以,,共面且有公共点，所以，，，四点共面. （2） 解：因为， 所以，，，所以. C 素养拓展 15．（15分）在正四面体中，是内部或边界上一点，满足,. （1） 证明：当取最小值时，；（7分） （2） 设，求的取值范围.（8分） 【答案】 （1） 证明：如图, 取 中点，中点，连接，则，. 因为 ， ，即， 所以,,三点共线. 又四面体 为正四面体，所以，当 为 中点时，，此时 取得最小值. 又，所以. （2） 解：因为,易知 ,,，. 所以， ， ， 故. 根据二次函数的性质，当 时，有最小值为；当 或 时，有最大值为. 故 的取值范围为,. 学科网（北京）股份有限公司 $