1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量的概念及线性运算，通过滑翔伞运动受力情境导入，类比平面向量知识搭建学习支架，帮助学生从已知平面向量自然过渡到空间向量的学习。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过类比迁移发展数学思维，结合平行六面体等模型设计例题与跟踪训练提升数学语言表达能力。学生能在探究中形成空间观念，教师可借助结构化内容高效开展教学。

第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1 1.1.1 空间向量及其线性运算 第1课时 空间向量及其线性运算 2 如图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞 行员会受到来自不同方向且大小各异的力,你能用图示法表示这些力吗?能 对这些力进行力的合成吗?这就是本节我们学习的空间向量及其线性运算. 返回导航 新课导入 3 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 空间向量的有关概念 思考1 与平面向量有关的概念有哪些？ 提示：模、夹角、向量平行、向量相等. 思考2 学习了哪几个特殊的平面向量？ 提示：零向量、单位向量、相反向量等. 思考3 你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 提示：空间向量是平面向量的推广，其表示方法及相关概念与平面向量一致. 返回导航 7 ［知识梳理］ 1.定义 在空间，把具有①______和②______的量叫做空间向量. 大小 方向 2.长度 空间向量的③______叫做空间向量的长度或④____. 3.表示法 （1）几何表示法：空间向量用⑤__________表示. （2）字母表示法：若向量的起点是，终点是，则向量 也可以记作⑥ ____，其模记为⑦____或⑧_____. 大小 模 有向线段 返回导航 8 4.几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为⑨___的向量 单位向量 模为⑩___的向量 或 相反向量 与向量 长度⑪______而方向⑫______的 向量，叫做 的相反向量 0 1 相等 相反 返回导航 9 特殊向量 定义 表示法 共线向量或平 行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互 相⑬____________ 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意 向量,都有 或 相等向量 方向⑭______且模⑮______的向量 或 平行或重合 相同 相等 续表 返回导航 10 ［即时练］ 1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）两个有公共终点的向量，一定是共线向量.( ) × （2）若，则 .( ) √ （3）若两个向量的起点重合，则这两个向量的方向相同.( ) × 返回导航 11 2.如图，在长方体中，，， ，则 在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中： （1）单位向量有___________________________________________； （2）模为 的向量有___个； （3）与 相等的向量有_________________； （4） 的相反向量有_____________________. ，，，，，，， 8 ，， ，，， 返回导航 12 空间向量的概念辨析 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概 念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等；两 向量互为相反向量的充要条件是两个向量的模相等、方向相反. 返回导航 13 二 空间向量的加减运算 思考1 平面向量的线性运算是指哪些运算？ 提示：平面向量的线性运算是指平面向量的加减法及数乘运算. 思考2 空间中的向量能用平面向量的线性运算法则进行运算吗？ 提示：能.因为空间向量是可以自由移动的，所以对于空间中的任意两个非 零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合，又因为两条相交直线确 定一个平面，所以平移后两个向量是在同一个平面内的，同一平面内的两 个向量可以利用平面向量的线性运算法则进行运算. 返回导航 14 ［知识梳理］ 名称 代数形式 几何形式 运算律 加法运 算 ①_________ ___________________________________ 交换律： ③_________； 结合律： ④_____________ 减法运 算 ②___________ 返回导航 15 ［例1］ （对接教材探究）如图，已知平行六面体 ，化简下列各式： （1） ； 【解】 . （2） . 【解】因为 ，所以 . 返回导航 16 空间向量加法、减法运算的两个技巧 （1）巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关 键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接. （2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法 运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由 平移获得运算结果. 返回导航 17 ［跟踪训练1］ 如图，已知空间四边形，连接，，点，， 分别是，， 的中点，请化简： （1） ； 解： . 返回导航 18 （2） ，并在图中标出化简结果的向量. 【解】如图所示， 连接，因为点，，分别是，，的中点，所以 ， ，所以， 如图所示. 返回导航 19 三 空间向量的数乘运算 思考 平面向量的数乘运算中，实数 对向量 起到什么作用？ 提示：且当时，与向量的方向相同；当时， 与向量 的方向相反. 返回导航 20 ［知识梳理］ 定义 与平面向量一样，实数 与空间向量的乘积 仍然是一个 ①______，称为空间向量的数乘 几何意 义 与向量 的方向 ②______ 的长度是 的长度的 ④______ 倍 与向量 的方向 ③__________ 运算律 结合律 ⑤_______ 分配律 ⑥_________ ⑦________ 向量 相同 相反 返回导航 21 角度1 利用数乘运算表示向量 ［例2］ 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点 在线段上，且，，用向量，，表示 . 返回导航 22 【解】 因为是 的中点， 所以 ， 因为，所以 ， 所以 ， 因为 ， 所以 返回导航 23 ， 所以 . 返回导航 利用数乘运算进行向量表示的技巧 （1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法 则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. （2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质. 返回导航 25 角度2 由空间向量的线性运算求参数 ［例3］ 在长方体中，是与 的交点，若 ，则 ____. 返回导航 26 解析：如图所示， ， 故，，，故 . 返回导航 由空间向量的线性运算求参数的方法 解答此类问题多运用三角形法则或平行四边形法则将目标向量转化为 已知向量的线性表示，再根据对应向量的系数相等求参数. 返回导航 28 ［跟踪训练2］ （1）如图，在四棱锥 中， 底面是平行四边形，已知， ， ，，则 ( ) A. B. C. D. 解析：选A.因为，所以 ， 因为 ，所以 . √ 返回导航 29 （2）如图，已知长方体 中， 点为的中点， ，若 ，则__， __， __. 解析：由题意知， ， 又 ， 所以,, . 返回导航 30 PART 02 课堂巩固 自测 31 1.化简 所得的结果是( ) A. B. C. D. 解析：选C. . 2.（多选）下列命题中为真命题的是( ) A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 解析：选 是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量. √ √ √ √ 返回导航 32 3.（教材PT改编）在平行六面体中，与 的交点 为，点为上靠近点的三等分点.设， ， ，则 ______________. 解析： . 返回导航 33 4.（教材PT 改编）如图，已知长方体 中，点为上底面 的中心，若 ，则 ___. 1 解析：因为 ， 又因为 , 所以,,所以 . 返回导航 34 1.已学习：空间向量的有关概念、空间向量的线性运算. 2.须贯通：厘清空间向量的有关概念、空间向量的运算法则，空间向量的 加法运算满足三角形法则与平行四边形法则. 3.应注意：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素. 返回导航 35 $