精品解析：浙江省温州市龙港市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

2025龙港九上期中 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平．答题时，请注意： 本试题卷分为选择题和非选择题两个部分，共4页，考试时间100分钟，全卷满分100分，解答题请在答题纸答题区域作答，不得超出答题区域边框线． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 平面内画一个三角形，内角和为180° C. 挑选30名同学，有人生日在1月 D. 打开电视，它正在播放广告 2. 已知的半径为2，点到圆心的距离为4，则点（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 无法确定 3. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 从甲、乙、丙、丁四人中任选一人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 中国漂浮式海上风电大会在温州举行.我国能源领域唯一的国家级技术创新中心浙江中心正式宣布启动建设．如图，风车叶片至少旋转多少度才能与图形重合（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则得到抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知为上一点，若，则的度数为（ ） A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 8. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 已知的半径为10，弦和弦垂直于同一条直径：，，则与之间的距离（ ） A. 2或14 B. 6或8 C. 6或10 D. 12或16 10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论： ①； ②； ③； ④若，则有． 其中正确结论有（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是__________． 12. 已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为__________． 13. 一个布袋里放着红球、黄球和白球的个数之比是，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是，则为__________． 14. 正多边形的一个内角是，这个正多边形是正______边形． 15. 已知在二次函数中，函数值和自变量的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … … 则关于的一元二次方程的解是__________ 16. 已知点、在上，点为中点，，点在线段上，交于点，，，则__________． 三、解答题（本题有7小题，17-19题每小题6分，20-22题8分，23题10分，共52分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17 已知函数． （1）若点在此函数图象上，求该二次函数表达式及函数图象的开口方向； （2）在（1）的条件下，判断点是否在此函数图象上． 18. 如图，已知点，的坐标分别为，． （1）将绕点按逆时针方向旋转得到，画出； （2）扇形的面积为__________． 19. 完全相同的3个小球，上面分别标有数字1、3、，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，随机摸球两次（第一次摸出球后不放回），把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作x、y，以x、y分别作为坐标平面内一个点的横坐标与纵坐标． （1）第一次摸球时摸到正数的概率为__________； （2）求点在第二象限概率（用树状图或列表法求解）． 20. 近期，“浙城市争霸赛”正如火如荼地举行．十一期间，小郑同学观看了苍南队与绍兴队的比赛，发现球员投篮后，篮球的运动轨迹是抛物线的一部分，因此他分析了他喜欢的球员的数据，发现55号球员柳杨杰在命中三分球时，篮球出手高度约为，球在飞越之后准确地落入高度为的篮筐中，当球在空中飞行的水平距离为4m时，篮球恰好达到最大高度． （1）如图，小郑同学建立了直角坐标系，他将抛物线的最高点用坐标来表示，请你帮他求出篮球在空中飞行的最大高度； （2）此时，若对方球员在柳杨杰面前处起跳拦截，已知对方球员最大摸高为，那么对方球员能否拦截成功? 21. 如图，四边形内接于，连接和，，在的延长线上． （1）若，求的度数． （2）求证：平分． 22. 已知：抛物线（为实数）． （1）求抛物线的对称轴及与轴的交点坐标（用含的代数式表示）； （2）若，当时，函数值的最大值与最小值的和为，求的值． 23. 如图，是等腰直角三角形的外接圆，是直线下方的圆上一动点，的角平分线交于点，连接． （1）若，， ①求的长； ②求的长； （2）探究线段、、三者间数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025龙港九上期中 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平．答题时，请注意： 本试题卷分为选择题和非选择题两个部分，共4页，考试时间100分钟，全卷满分100分，解答题请在答题纸答题区域作答，不得超出答题区域边框线． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 平面内画一个三角形，内角和为180° C. 挑选30名同学，有人生日在1月 D. 打开电视，它正在播放广告 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，熟练掌握必然事件和随机事件是解题的关键，必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，选项A、C、D均为随机事件，不一定发生；选项B根据三角形内角和定理，内角和恒为180°，是必然事件． 【详解】解：选项A，掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件； 由三角形的内角和定理，平面内任意三角形的内角和恒为180°， 则选项B是必然事件； 选项C，挑选30名同学，有人生日在1月是随机事件； 选项D，打开电视，它正在播放广告是随机事件， 因此，只有B是必然事件， 故选：B． 2. 已知的半径为2，点到圆心的距离为4，则点（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系，点P到圆心O的距离大于圆的半径时，点P在圆外． 【详解】解：∵的半径为2，点P到圆心O的距离为4，且， ∴点P在外． 故选：A． 3. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟记抛物线与轴的交点坐标的求法是解决问题的关键． 求抛物线与轴的交点坐标，只需令，代入解析式计算的值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与轴相交时，， ∴ 将代入，得， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故选：D． 4. 从甲、乙、丙、丁四人中任选一人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率公式，从甲、乙、丙、丁四人中任选一人，总可能结果数为4，甲被选中的可能结果数为1，因此概率为． 【详解】解：∵总人数为4， ∴总可能结果数为4， ∵甲被选中只有1种情况， ∴甲被选中的概率是． 故选：B． 5. 中国漂浮式海上风电大会在温州举行.我国能源领域唯一的国家级技术创新中心浙江中心正式宣布启动建设．如图，风车叶片至少旋转多少度才能与图形重合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形，正确求出两个叶片之间的夹角度数是解题关键． 根据风车有三个完全相同的叶片，求出每两个叶片之间的夹角为，即可得答案． 【详解】解：∵风车有三个完全相同的叶片，整个周角为， ∴每两个叶片之间的夹角为， ∴风车叶片至少旋转才能与图形重合． 故选：C． 6. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位， 则得到的抛物线解析式， 故选：D． 7. 如图，已知为上一点，若，则的度数为（ ） A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴优弧所对的圆心角为：， ∴由圆周角定理可知：∠ACB=×260°=130°， 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练运用圆周角定理，本题属于基础题型． 8. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数开口向下，对称轴为直线，点B在顶点处取得最大值，比较点A和点C到对称轴的距离，距离越大函数值越小． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴点为顶点，且开口向下，故最大． ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴点C离对称轴更远，故最小． 因此． 故选：C． 9. 已知的半径为10，弦和弦垂直于同一条直径：，，则与之间的距离（ ） A. 2或14 B. 6或8 C. 6或10 D. 12或16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理与勾股定理，注意弦在直径同侧或异侧时距离的计算方式不同． 两条弦均垂直于同一条直径，故相互平行；利用垂径定理及勾股定理求出圆心到每条弦的距离，再根据弦在直径同侧或异侧计算两弦间的距离． 【详解】解：如图，为直径，设于点E，于点F，连接． ∵，则． ∴． 同理，∵，则． ∴． 若和在直径同侧，则距离为． 若和在直径异侧，则距离为． ∴ 与之间的距离为2或14． 故选：A． 10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论： ①； ②； ③； ④若，则有． 其中正确的结论有（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． 由图象开口方向判断出的正负，由对称轴和开口方向得出的正负，由抛物线与轴的交点判断的正负，即可判断①；由已知的抛物线与x轴的交点与对称轴，可得抛物线与x轴的另一交点坐标，结合图象即可判断②；由抛物线顶点坐标可得抛物线与直线有唯一一个交点，即方程有两个相等的实数根，根据根的判别式即可判断③；由图象可得时，为最大值，即当时，，即可判断④． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 即， 抛物线交的正半轴， ， ， 所以①正确； ②抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间． 由图象知当时，， ， ， ， 所以②错误； ③抛物线顶点坐标为， 抛物线与直线有唯一一个交点， ∴方程，即有两个相等的实数根， ， ， 因此③正确； ④由图象可得时，为最大值， ∴当时，， ∴， 所以④正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：C． 二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】（-1,-3） 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式得顶点为可得答案． 【详解】解：∵抛物线顶点式得顶点为， ∴抛物线的顶点坐标是（-1，-3） 故答案为（-1，-3）． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的顶点坐标，熟记二次函数的顶点式及坐标是解题的关键． 12. 已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由弧长公式，代入，， 得， 故答案为：． 13. 一个布袋里放着红球、黄球和白球的个数之比是，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是，则为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率；根据概率公式，红球的概率等于红球数量与总球数的比值，利用给定概率建立方程求解． 【详解】解：设红球、黄球、白球的数量分别为 、、， 则总球数． 红球的概率为． 因此， 解得：， 即． 故答案为：2． 14. 正多边形的一个内角是，这个正多边形是正______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和外角，先根据内角度数求出外角度数，再用外角和除以这个度数即可求解，掌握正多边形的内角和外角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的一个内角是， ∴正多边形的一个外角是， ∴这个正多边形的边数为， 即正多边形是正六边形， 故答案为：六． 15. 已知在二次函数中，函数值和自变量的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … … 则关于的一元二次方程的解是__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，求出点关于直线的对称点是点，再进一步作答即可． 【详解】解：根据题意得：点均在二次函数的图象上， 故二次函数的对称轴为直线， 根据表格点在二次函数的图象上， 故点关于直线的对称点是点， ∴关于的一元二次方程的解是，， 即关于的一元二次方程的解是，． 故答案为：，． 16. 已知点、在上，点为中点，，点在线段上，交于点，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由确定是半圆直径，取圆心后，结合是弧中点得到圆心角关系；再通过圆周角定理、等边三角形判定求出圆的半径；接着利用平行线性质和含角的直角三角形性质，结合勾股定理求出相关线段长度，最终计算出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， 取的圆心，连接， ∵点为的圆弧中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴， 在中，， ∴， ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形性质，熟练掌握圆的基本性质（直径与圆周角的关系、弧与圆心角的关系）及特殊三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（本题有7小题，17-19题每小题6分，20-22题8分，23题10分，共52分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知函数． （1）若点在此函数图象上，求该二次函数表达式及函数图象开口方向； （2）在（1）的条件下，判断点是否在此函数图象上． 【答案】（1），函数图象开口向上 （2）点不在函数图象上 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式； （1）将点代入函数中，求出a的值，即可解答； （2）当时，，即可判断点不在此函数图象上． 【小问1详解】 解：点在函数图象上， ． ． 函数的表达式为． ∴函数图象的开口向上． 【小问2详解】 解：抛物线为， 当时，． 点不在此函数图象上． 18. 如图，已知点，的坐标分别为，． （1）将绕点按逆时针方向旋转得到，画出； （2）扇形的面积为__________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作旋转图形，勾股定理，求扇形面积． （1）根据要求作图即可； （2）求出的值，根据扇形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图： 【小问2详解】 解：， 扇形的面积为， 故答案为：． 19. 完全相同的3个小球，上面分别标有数字1、3、，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，随机摸球两次（第一次摸出球后不放回），把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作x、y，以x、y分别作为坐标平面内一个点的横坐标与纵坐标． （1）第一次摸球时摸到正数的概率为__________； （2）求点在第二象限的概率（用树状图或列表法求解）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求事件发生的概率，根据题意得到所有等可能结果是解题关键． （1）根据题意可得任意摸一个小球，共有3种等可能结果，摸到正数的有2种等可能结果，根据概率公式即可求解； （2）画出树状图，由树状图得共有6种等可能结果，在第二象限的有2种等可能性，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：完全相同的3个小球，上面分别标有数字1、3、，任意摸一个小球，共有3种等可能结果，摸到正数的有2种等可能结果， ∴第一次摸球时摸到正数的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图得： 由树状图得共有6种等可能结果，在第二象限的有2种等可能性， ∴点在第二象限的概率． 20. 近期，“浙城市争霸赛”正如火如荼地举行．十一期间，小郑同学观看了苍南队与绍兴队的比赛，发现球员投篮后，篮球的运动轨迹是抛物线的一部分，因此他分析了他喜欢的球员的数据，发现55号球员柳杨杰在命中三分球时，篮球出手高度约为，球在飞越之后准确地落入高度为的篮筐中，当球在空中飞行的水平距离为4m时，篮球恰好达到最大高度． （1）如图，小郑同学建立了直角坐标系，他将抛物线的最高点用坐标来表示，请你帮他求出篮球在空中飞行的最大高度； （2）此时，若对方球员在柳杨杰面前处起跳拦截，已知对方球员最大摸高为，那么对方球员能否拦截成功? 【答案】（1） （2）拦截不成功 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式． （1）设函数表达式为，再用待定系数法求解即可； （2）将代入函数，得：，求得，再比较得出结论． 【小问1详解】 解：∵顶点坐标为，设函数表达式为， 将点、代入函数，得： ， 解得：， ∴篮球在空中飞行的最大高度为； 【小问2详解】 解：函数表达式为， 将代入函数，得：， 化简，得， ∵， ∴所以拦截不成功． 21. 如图，四边形内接于，连接和，，在的延长线上． （1）若，求的度数． （2）求证：平分． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理，关键是利用弧的度数求圆周角，结合等腰三角形与外角性质证角平分线，易错点是弧与圆周角的对应关系混淆； （1）由弧的度数得圆周角，结合等腰求，再用同弧所对圆周角相等求； （2）利用圆内接四边形外角等于内对角，结合同弧圆周角相等证． 【小问1详解】 解： 等腰三角形， ， ， ， ， 【小问2详解】 证明：四边形为的内接四边形， ∴， 又， ， ， ， 即平分． 22. 已知：抛物线（为实数）． （1）求抛物线的对称轴及与轴的交点坐标（用含的代数式表示）； （2）若，当时，函数值的最大值与最小值的和为，求的值． 【答案】（1）对称轴为直线，与轴的交点坐标为， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质的综合，抛物线与坐标轴的交点问题等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． （1）令，得出方程，解方程即可得解； （2）对进行分类讨论即可得解； 【小问1详解】 解：代入函数，得：， 解得，， 对称轴为直线， 与轴的交点坐标为，； 【小问2详解】 解：由题可知，函数图象开口向上， ， ，且点在点的左侧， 如图，若，即时， 当，有， 当，有， ， 解得：（舍去），（舍去）； 如图，若，即时， 当，有， 当，有， ， 解得：（舍去），， 综上所述：． 23. 如图，是等腰直角三角形的外接圆，是直线下方的圆上一动点，的角平分线交于点，连接． （1）若，， ①求的长； ②求的长； （2）探究线段、、三者间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）①；② （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质定理，勾股定理，直径定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，圆周角定理等内容，解题的关键是掌握以上性质． （1）①根据直径定理得出直角，然后利用勾股定理求解即可； ②利用等腰直角三角形的性质得出相等边和角的度数，然后利用勾股定理求出，根据圆周角定理得出，根据等边对等角即可求解； （2）将绕点逆时针旋转得，得出相等边，根据圆内接四边形性质得出点D、B、F三点共线，然后利用勾股定理得出结论即可． 【小问1详解】 解：①等腰直角三角形内接， 为圆的直径， ， 由勾股定理得； ②在等腰直角三角形中， ，， 由勾股定理得，即， 解得，（负值已舍）， 在中，， 为角平分线， . ， ， ； 【小问2详解】 解：，证明如下： ，， 如图，将绕点逆时针旋转得， 即， ∴，， 四边形为圆的内接四边形， ， ， 即点D、B、F三点共线． ∴， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $