精品解析：福建省莆田市涵江区莆田第二片区联考2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年上学期第二片区联考八年级期中试卷 数 学 学 科 （满分：150分； 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 7，7，14 D. 5，6，10 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其依据的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 三角形内角和为 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 两点确定一条直线 4. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 5. 点关于y轴的对称点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图所示，中，，，与相交于点，则的度数是（   ） A. B. C. D. 7. 如图，，，，，垂足分别为D、E点，，．则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，点P是内部一点，点M、N分别是、上的动点．当的周长最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点C是上一点，过点C作，交于点F，连接，且，则下列结论正确的个数是（ ） ． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，点E、F在上，，，、相交于点G，要使得，则还需添加的条件为________． 12. 一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__cm． 13. 在中，，，，则______________． 14. 如图，在中，于点D，，若，，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在中，，面积是10．的垂直平分线分别交边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 16. 如图，在四边形中，，，点E在上，，，，则的长度为________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 如图，，，求证：． 18. 如图，在中，，，是的角平分线，求和的度数． 19. 如图，在平面直角坐标系中，、、． （1）在图中作出关于x轴对称的图形，并写出坐标； （2）分别写出点A、B、C关于y轴的对称点、、的坐标． 20. 如图，点A、B、C在同一直线上，点E在上，且，，． （1）求的长； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 21. 在中，． （1）尺规作图：求作的垂直平分线，分别交，于点D、E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 22. 已知，如图，在中，是的平分线，且，过点C作的平行线，交的延长线于点E．于点F． （1）若，，直接写出，的度数； （2）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 23. 综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线． 请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 24. 如图，小明和小楠两人围绕一个三角形的场地做游戏，开始时小明和小楠分别站在A、B两点，．已知小明的速度是，小楠的速度是，当小楠第一次到达点B时，小明和小楠同时停止运动． （1）小明和小楠同时运动几秒后，小楠追上小明？ （2）小明和小楠同时运动几秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形？ （3）当小明和小楠在边上运动时（B、C两点除外），能否使得他们到点A的距离相等？如果能，请求出此时小明和小楠运动的时间；如果不能，请说明理由． 25. 平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，． （1）如图1，若，，求点B的坐标； （2）如图2，设交x轴于点D，若平分，，则B的纵坐标为______； （3）如图3，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点E，为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，求的值．（用含m的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期第二片区联考八年级期中试卷 数 学 学 科 （满分：150分； 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 7，7，14 D. 5，6，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边的关系，掌握“三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形”是解本题的关键. 本题判断三条线段能否构成三角形，只需要确定较短的两线段之和是否大于最长的线段即可，大于则能，小于则不能，根据原理逐一分析即可得到答案. 【详解】解： 以3，4，8为边不能组成三角形，故A不符合题意； 以5，6，11为边不能组成三角形，故B不符合题意； 以7，7，14为边不能组成三角形，故C不符合题意； 以5，6，10为边能组成三角形，故D符合题意； 故选D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 3. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其依据的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 三角形内角和为 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 两点确定一条直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的性质，根据三角形具有稳定性即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性； 故选：A． 4. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 5. 点关于y轴的对称点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可得到答案． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的对称问题，属于基础题． 6. 如图所示，中，，，与相交于点，则的度数是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明是等边三角形，得，再证明，运用三角形的外角性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ， ∵ ∴ ， ． 故选：D． 7. 如图，，，，，垂足分别为D、E点，，．则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质．由，得，而，即可根据证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵于点D，于点E， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴的长是， 故选：B． 8. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：是的垂直平分线，， ，， 的周长为， ， 的周长， 故选：B． 9. 如图，已知，点P是内部一点，点M、N分别是、上的动点．当的周长最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称-最短路线问题等知识．分别作点P关于的对称点E，关于的对称点F，连接分别交于点L、I，连接，由，可知当当点M与点L重合，同时点N与点I重合时，，此时的周长最小，因为，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：分别作点P关于的对称点E，关于的对称点F，连接分别交于点L、I，连接， ∵垂直平分，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴当点M与点L重合，同时点N与点I重合时，，此时的周长最小， 连接，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，，点C是上一点，过点C作，交于点F，连接，且，则下列结论正确的个数是（ ） ． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理及其推论、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．证明，再根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质进行推导即可． 【详解】解：，， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确，符合题意； ∵ ∴，故②正确，符合题意； ， ， ， 与 互为对顶角， ， ， ，故③正确，符合题意； 从题目现有条件无法证出，故④错误，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，点E、F在上，，，、相交于点G，要使得，则还需添加的条件为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有，，，，．根据全等三角形的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：添加， ∵，，根据证明． 添加， ∵，，根据证明． 故答案为：．（答案不唯一） 12. 一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__cm． 【答案】22 【解析】 【分析】底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长． 【详解】解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm． 故填22． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 13. 在中，，，，则______________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查角所对的直角边等于斜边的一半，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 14. 如图，在中，于点D，，若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴直线垂直平分线段， ∴， ∴直线是等腰三角形的对称轴， ∴阴影面积等于等腰三角形的面积的一半， ∵，， ∴等腰三角形的面积为， ∴阴影面积为10． 故答案为：10． 15. 如图，在中，，面积是10．的垂直平分线分别交边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质可得与关于对称，连接，，当、、三点共线时，周长最小为的长． 【详解】解：是线段的垂直平分线， 与关于对称， 连接， ， 周长， 当、、三点共线时，周长最小， 为边的中点，， ， ， ， ， 周长， 周长的最小值为7， 故答案为7． 16. 如图，在四边形中，，，点E在上，，，，则的长度为________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键．过点C作于点F, 求出，根据角平分线性质得，结合，得，得，根据，得，即得． 【详解】解：过点C作于点F, ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 如图，，，求证：． 【答案】 证明：连接， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用（边边边）判定三角形全等． 通过连接，构造两个三角形，利用判定这两个三角形全等，进而根据全等三角形的对应角相等证明． 【详解】略 18. 如图，在中，，，是的角平分线，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．先利用三角形内角和求出，再由角平分线得；最后通过三角形外角性质求． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∵是的外角， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，、、． （1）在图中作出关于x轴对称的图形，并写出坐标； （2）分别写出点A、B、C关于y轴的对称点、、的坐标． 【答案】（1）如图： （2）、、的坐标分别为、、 【解析】 【分析】（1）根据横坐标不变，纵坐标变为相反数，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，解答即可． 本题考查了坐标的对称与作图，熟练掌握对称的特点是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得、、， 故，， 【小问2详解】 解：根据题意，得、、， 故，，． 20. 如图，点A、B、C在同一直线上，点E在上，且，，． （1）求的长； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：与垂直， 理由：， ， 又A、B、C在一条直线上，， ， 与垂直． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边，对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形的对应边相等以及线段的和差关系计算即可； （2）根据全等三角形的对应角相等以及补角的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ，， ； 【小问2详解】 略 21. 在中，． （1）尺规作图：求作的垂直平分线，分别交，于点D、E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】（1） 解：如图：即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查作图一基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）根据线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解垂直平分， ∴， ， ∵， ∴． 22. 已知，如图，在中，是的平分线，且，过点C作的平行线，交的延长线于点E．于点F． （1）若，，直接写出，的度数； （2）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）， （2）， 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和定理： （1）先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线和垂直的定义进行角度和差即可求解，根据可得； （2）先证明，根据三线合一得到，，再导角证明，最后利用线段和差证明． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 23. 综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线． 请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）； （2）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （3）如图，点即为所求作的点； 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键． （1）先证明，可得，从而可得答案； （2）先证明，可得，可得是的角平分线； （3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； 故答案为： （2）略； （3）略. 24. 如图，小明和小楠两人围绕一个三角形的场地做游戏，开始时小明和小楠分别站在A、B两点，．已知小明的速度是，小楠的速度是，当小楠第一次到达点B时，小明和小楠同时停止运动． （1）小明和小楠同时运动几秒后，小楠追上小明？ （2）小明和小楠同时运动几秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形？ （3）当小明和小楠在边上运动时（B、C两点除外），能否使得他们到点A的距离相等？如果能，请求出此时小明和小楠运动的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）小明和小楠同时运动10秒后，小楠追上小明； （2）小明和小楠同时运动秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形； （3）小明和小楠运动的时间是秒． 【解析】 【分析】本题是三角形和几何动点的综合题，考查了行程问题中的相遇问题和追及问题，等边三角形的性质和判定，最基本的数量关系：速度×时间=路程． （1）根据小明的路程=小楠的路程-10列方程可解答； （2）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可知当即可符合条件，列方程可解答； （3）证明，则，列方程可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， 答：小明和小楠同时运动10秒后，小楠追上小明； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， 当时，是等边三角形， ∴， ∴， 答：小明和小楠同时运动秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形； 【小问3详解】 解：如图1，当小明和小楠在边上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，即， 由（1）知：当时，小明和小楠在点C处相遇， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当小明和小楠在边上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，此时小明和小楠运动的时间是秒． 25. 平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，． （1）如图1，若，，求点B的坐标； （2）如图2，设交x轴于点D，若平分，，则B的纵坐标为______； （3）如图3，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点E，为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，求的值．（用含m的式子表示） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作轴于点，根据题意，证明，求得，即可解答； （2）作轴于点，并延长交的延长线于点，证明，求得，即可解答； （3）连接，作于点于点，证明，，根据折叠的性质得到，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 则； 【小问2详解】 解：如图，作轴于点，并延长交的延长线于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 的纵坐标为． 【小问3详解】 解：如图，连接，作于点于点， 平分平分， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 由折叠可知， ， ， ， ． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，折叠的性质，角平分线的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $