第8章 阶段提升（十一）函数的应用（范围：8.1∼8.2）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

阶段提升（十一） 函数的应用 （范围：） 题型一 函数的零点 1．函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.易知 在 上单调递增，且，，， 故由函数零点存在定理可知函数 在区间 上必有零点. 2．用二分法求函数在区间上零点的近似值，经验证有，取区间的中点，计算得，则此时零点满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.根据题意，，且，则，所以根据函数零点存在定理，. 3．若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为函数，在 上均为增函数，所以函数 在区间 上为增函数， 因为函数 在区间 上存在零点， 则 解得， 因此，实数 的取值范围是. 4．已知若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为当 时，，所以 在 上单调递减，且；当 时，， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，又， 可得 的图象如图所示， 因为方程 有三个不同的实数解，即 的图象与直线 有三个交点，则，解得 或，即实数 的取值范围为. 利用函数的零点求参数的取值范围 （1）已知函数零点个数求参数取值范围，可以转化为研究方程实数根的个数或两个函数的交点个数； （2）已知函数零点所在区间求参数的取值范围，可以结合函数的单调性与零点存在定理列不等式求解. 题型二 函数模型及应用 1．将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过秒甲桶中的水只有升，则的值为_ _ _ _ . 【答案】5 【解析】因为5秒后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数 满足，即，得，若 秒后甲桶中的水只有 升，即，即，得，故. 2．随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵的有效措施.某市城市规划部门为了提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位:千米/小时）和车流密度（单位:辆/千米）所满足的关系式:研究表明:当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时的车流速度是0千米/小时. （1） 若车流速度不小于20千米/小时，求车流密度的取值范围； （2） 隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位:辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）. 【答案】 （1） 解：由 可得 当 时，，符合题意; 当 时，令，可得，综上可得. （2） 由题意得 当 时,为增函数, 所以,当 时，等号成立; 当 时，， ， 故 , 当且仅当， 即 时等号成立.由于， 所以,隧道内车流量的最大值约为2 700辆/小时，此时车流密度约为75辆/千米. 函数模型的应用 （1）明确题意，建立数学模型； （2）通过数学模型求解相关问题； （3）将数学结论还原为实际问题. 题型三 一元二次方程的根的分布 角度1 根与0的关系 ［例1］ （1） 已知方程有一正根和一负根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2） 若关于的一元二次方程有两个不相等的负实根，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 因为方程 有一正根和一负根，设为，，由根与系数的关系得，解得，所以实数 的取值范围是． （2） 不妨设一元二次方程 有两个不相等的负实根为，， 所以 解得. 所以实数 的取值范围是． 根的“0”分布 一元二次方程 分布情况 两个负根即两根都小于 两个正根即两根都大于 一正根一负根即一个根小于0，一个根大于 大致图象 得出的结论 大致图象 得出的结论 综合结论（不讨论） 角度2 根与的关系 ［例2］ 已知二次函数，求在下列条件下，实数的取值范围． （1） 零点均大于1； （2） 一个零点大于1，一个零点小于1. 【答案】 （1） 【解】因为函数的零点均大于1， 所以 解得. （2） 因为函数的一个零点大于1，一个零点小于1， 所以，解得. 根的“”分布 一元二次方程 分布情况 两根都小于,即， 两根都大于,即， 一个根小于，一个根大于,即 大致图象 得出的结论 大致图象 得出的结论 综合结论（不讨论） 角度3 根与区间的关系 ［例3］ （1） 已知函数的两个零点分别在区间和上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. （2） 若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 由题意可得 即 则， 所以． （2） 当 时，，解得，符合题意；当 时，方程 的判别式为， 若，则，此时函数 的零点为，符合题意； 若，则，只需，所以 且； 当 时，，经验证符合题意；当 时，，经验证符合题意, 所以实数 的取值范围为． 根在区间上的分布 一元二次方程 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内（图象各有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 大致图象 得出的结论 或 大致图象 得出的结论 或 综合结论不讨论 ［跟踪训练］． （1） 一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. （2） 已知函数的两个零点都在内，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ ． （3） 已知，若关于的方程有两个不相等的正实数根，，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】（1） C （2） （3） 【解析】 （1） 选.一元二次方程 有一个正根和一个负根的充要条件为（其中,为方程的两个根），即.依题意，选项所表示集合应是集合 的真子集，故选项 正确． （2） 因为函数 的两个零点都在 内， 所以 即 解得，所以实数 的取值范围为． （3） 当 时，不成立，舍去； 当 时，若关于 的方程 有两个不相等的正实数根，，则由根与系数的关系 得，，即，又，所以，所以，因为，所以，所以 的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $