第8章 函数应用 章末综合检测（八）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

章末综合检测（八） （时间：120分钟,满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数的零点为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】选.根据零点的定义，代入即可得零点为1，故选. 2．函数的零点一定位于区间（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为,,所以,且函数 在区间 上是连续的,所以 在区间 上存在零点，易知 在 上单调递增，所以 的零点一定位于区间.故选. 3．用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为（ ） A. 0.9 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.4 【答案】B 【解析】选.依题意，函数的零点在 内，因为,精确到0.1的近似数都是，所以所求的符合条件的近似值为0.7. 4．若函数在上存在零点，则实数的取值范围是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，， 【答案】D 【解析】选.当 时，，不存在零点； 当 时，是一次函数，必然单调， 故只需 即可， 即， 解得 ，，. 5．已知火箭的最大速度（单位：）和燃料质量（单位：），火箭质量（单位：）的函数关系是：，若已知火箭的质量为，燃料质量为，则此时的值为（参考数据：，）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.. 6．已知函数的图象是连续不断的，且的两个相邻的零点是1，2，则“，”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】选.由题意知，，对任意,，而函数 的图象是连续不断的，由，，可得，，充分性成立，反之，，显然可推出，，必要性成立， 故“，”是“，”的充要条件.故选. 7．已知关于的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.记，由题意可知函数 有两个零点，所以，若，则 为开口向上的二次函数，要有两个零点且一个大于1、一个小于1，则，得，故；若，则 为开口向下的二次函数，要有两个零点且一个大于1、一个小于1，则，得，故.综上可知,或，即实数 的取值范围是. 8．设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，.若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为，则函数 图象关于直线 对称， 又因为函数 是定义在 上的奇函数，则， 即，则， 故函数 是以4为周期的周期函数， 又因为 和，即， 故函数 关于点 对称， 令，即求方程 的解， 原题等价于两个函数 的图象 有3个交点， 且 的定义域为， 如图所示， 则可得，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选.求函数 的零点，令，即，分别画出函数 与函数 的图象，得到两图象有两个公共点，由图象可知，有两个零点，分别在区间 和区间 上；区间 上的零点显而易见.令，，所以，，，所以，所以，根据函数零点存在定理，在 存在零点.故选. 10．为预防流感病毒，某校每天定时对教室进行喷洒消毒.当教室内每立方米药物含量超过时能有效杀灭病毒.已知教室内每立方米空气中的含药量（单位：）随时间（单位：）的变化情况如图所示.在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为为常数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 教室内持续有效杀灭病毒时间为 D. 喷洒药物后开始有效杀灭病毒 【答案】ABD 【解析】选.在药物释放过程中， 由题图知，设， 将点 代入，可得, 所以当 时，,正确. 当 时，将点 代入，解得，此时，正确. 令,解得，即为，正确. 令，解得，即为，所以教室内持续有效杀灭病毒时间为，即,错误.故选. 11．已知函数则方程的根的个数可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】ABC 【解析】选. 由 可得 或,函数 的图象如图所示，当 或，即 或 时，方程 只有1个实数根；当，即 时，方程 有3个实数根； 当，即 时，方程 有2个实数根.故选. 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．写出一个同时满足下列两个条件的函数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 是上的偶函数；在上有三个零点. 【答案】（答案不唯一） 【解析】函数 的零点为0和1， 由翻折变换可知 在 上有三个零点，且为偶函数， 故记， 令，则， 所以， 即. 13．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入（单位：万元）与药品利润（单位：万元）存在的关系为 为常数,其中不超过5万元,已知去年广告投入费用为3万元，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为_ _ _ _ 万元. 【答案】125 【解析】由已知广告投入费用为3万元时，药品利润为27万元，代入 中，即，解得,故函数解析式为，所以当 时，. 14．已知方程的解可视为函数与图象公共点的横坐标.若方程恰有两个实数解，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】方程 的解为函数 与 图象公共点的横坐标. 如图，无论 取何值，函数 图象的右支与 的图象有且仅有一个公共点， 因此只需函数 左支与 的图象再有一个公共点即可.考虑到 的图象是由指数函数 的图象平移所得，则当 时，函数 与函数 的图象只有一个交点，所以结合图形可知,即. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知今年某工厂某产品的产量是100万件，如果该产品产量的年平均增长率为. （1） 计算大约多少年以后该产品的年产量能达到120万件（精确到1年）；（6分） （2） 受原材料价格上涨影响，如果20年后该产品的年产量不超过120万件，那么该产品产量的年平均增长率应该控制在多少？（参考数据：,,）（7分） 【答案】 （1） 解：由题意知. 设 年后该产品的产量能达到120万件，即， 则, 因此，大约16年后该产品的产量能达到120万件. （2） 设年平均增长率为. 由题意知，即， 两边取对数得， , 所以，因此该产品产量的年平均增长率应该控制在 以下. 16．（本小题满分15分）已知函数 （1） 作出函数在上的图象；（4分） （2） 求；（5分） （3） 求方程的解集，并说明当整数在何范围时，有且仅有一解.（6分） 【答案】 （1） 解：函数 在 上的图象如图所示. （2） . （3） 当 时，由，得； 当 时，由，得； 当 时，由，得； 所以 解集为； 当 有且仅有一解且 为整数时，则 或. 17．（本小题满分15分）已知函数为偶函数. （1） 求实数的值；（7分） （2） 设，若函数与的图象有2个不同的公共点，求实数的取值范围.（8分） 【答案】 （1） 解：函数 的定义域为，由函数 为偶函数， 则，即， 整理得，显然 不恒为0，所以. （2） 由（1）知，， 由函数 与 图象有2个不同的公共点，得方程 有两个不同的实数根， 即方程 有两个不等实数根，设，得， 又 在 上单调递增，令，因此方程 有两个不等正根，而， 因此 解得， 所以实数 的取值范围为. 18．（本小题满分17分）随着经济发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习.已知前四年，平台会员的人数如图所示： （1） 依据图中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式. ，且，且；（8分） （2） 为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定无论怎样发展，会员人数不得超过千人，请依据（1）中你选择的函数模型求的最小值.（9分） 【答案】 （1） 解：从题图数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①， 因为函数增长的速度越来越快不选②， 所以选择 且， 代入表格中的三个点可得 解得 将 代入符合， 所以,. （2） 由（1）可知，,， 故不等式 对 且 恒成立，所以 对 且 恒成立.令，,,，因为 在,上单调递增，所以，所以，所以 的最小值为. 19．（本小题满分17分）设,为实数，函数和. （1） 若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；（8分） （2） 设，,若存在,，使得，则称和“零点贴近”.当时，函数与“零点贴近”，求实数的取值范围.（9分） 【答案】 （1） 解：令，即，得. 令，易知 在 上单调递减， ， ， 所以 在 上的值域为， 所以实数 的取值范围为. （2） 当 时，，易知函数 在 上单调递增， 令，易知，所以. 由 得，，解得，即. 要使函数 与“零点贴近”，则函数 在 上有零点， 对于， ，所以函数 有两个不同的零点， 而，所以，即，解得. 故实数 的取值范围是. 第81页 学科网（北京）股份有限公司 $