7.2.2 同角三角函数关系-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦“同角三角函数关系”核心知识点，通过单位圆情境建立与三角函数定义的联系，系统讲解平方关系（sin²α+cos²α=1）和商数关系（tanα=sinα/cosα），构建从概念理解到求值、化简、证明的学习支架，涵盖不同象限符号判断等应用。 资料特色在于情境化引入培养数学眼光，例题分类讨论与多证法提升逻辑推理，分层作业兼顾基础与提升。课中辅助教师衔接教材，课后帮助学生查漏补缺，有效落实数学运算与逻辑推理核心素养。

7.2.2　同角三角函数关系 学习任务 核心素养 1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝．(重点) 2．能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点) 1．通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养． 2．借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养． 结合如图所示的单位圆，设点P(x，y)为单位圆与角α的终边的交点，则x，y满足什么关系？设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标是什么？那么sin α与cos α满足什么关系？tan α与sin α，cos α之间满足什么关系？ 知识点　同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：tanα＝． 1．sin2α＋cos2β＝1恒成立吗？ [提示]　不一定． 2．对任意角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？ [提示]　成立，平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关． 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立． (　　) (2)对任意角α，＝tan 都成立． (　　) (3)sin α＝是cos α＝的充分条件． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 类型1　利用同角三角函数基本关系式求值 【例1】【链接教材P185例5、例6】 (1)已知sin α＝－，求cos α，tan α的值； (2)已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos2α的值． [解]　(1)因为sinα＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角． 由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝1－． 如果α是第三象限角，那么cosα＜0． 于是cos α＝－， 从而tan α＝． 如果α是第四象限角，那么cos α＝，tan α＝－． (2)法一：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2． 所以2sin αcos α－cos2α＝＝－1． 法二：由sin α＋2cos α＝0得2cos α＝－sin α， 所以2sin αcos α－cos2α＝－sin2α－cos2α＝－(sin2α＋cos2α)＝－1． 【教材原题·P185例5】 例5已知sinα＝，且α是第二象限角，求cos α，tan α的值． 解：因为sin2α＋cos2α＝1，所以 cos2α＝1－sin2α＝1－． 又α是第二象限角，则cosα<0，所以 cos α＝－，tan α＝． 【教材原题·P185例6】 例6已知tan α＝，求sin α，cos α的值． 解：由＝tan α＝，得sin α＝cos α． 又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＋cos2α＝1． 解得cos2α＝． 又由tanα>0，知α是第一或第三象限角． 若α是第一象限角，则 cos α＝，tan α＝，sin α＝； 若α是第三象限角，则 cos α＝－，tan α＝，sin α＝－． 　1．求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若关于sin α，cos α的二次齐次式无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． [跟进训练] 1．已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值． [解]　法一：∵tan α＝－2<0， ∴α为第二或第四象限角，且sin α＝－2cos α， ① 又sin2α＋cos2α＝1， ② 由①②消去sinα，得(－2cos α)2＋cos2α＝1，即cos2α＝． 当α为第二象限角时，cosα＝－，代入①得sin α＝； 当α为第四象限角时，cos α＝，代入①得sin α＝－． 法二：∵tan α＝－2<0， ∴α为第二或第四象限角． 由tan α＝， 两边分别平方，得tan2α＝， 又sin2α＋cos2α＝1， ∴tan2α＋1＝， 即cos2α＝． 当α为第二象限角时，cosα<0， ∴cos α＝－， ∴sinα＝tan α·cos α＝(－2)×． 当α为第四象限角时，cos α>0， ∴cos α＝， ∴sinα＝tan α·cos α＝(－2)×． 类型2　三角函数式的化简、求值 【例2】【链接教材P186例7】 (1)化简：； (2)化简：＋(1＋tan2α)cos2α． [解]　 (1)原式＝ ＝＝1． (2)原式＝cos2α ＝·cos2α＝1＋1＝2． 【教材原题·P186例7】 例7化简tanα，其中α是第二象限角． 解：因为α是第二象限角，所以 sin α>0，cos α<0． 于是tan α＝tanα＝tanα ＝＝－1． 　化简三角函数式的常用方法 (1)切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简． (2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的． 提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象． [跟进训练] 2．化简： (1)已知α是第一象限角，； (2)． [解]　 (1)原式＝ ＝ ＝． 因为α是第一象限角， 所以0<sin α<1，0<cos α<1， 所以原式＝＝－． (2)原式＝ ＝ ＝＝±1． 类型3　三角函数式的证明 【例3】【链接教材P186例8】 求证：． [证明]　法一：左边＝， 右边＝， 因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)， 所以，所以左边＝右边， 所以原等式成立． 法二：因为右边＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝左边． 所以原等式成立． 【教材原题·P186例8】 例8求证：． 证法1：因为 ＝0， 所以． 证法2：因为 (1＋cos α)(1－cos α)＝1－cos2α＝sin2α， 又1＋cosα≠0，sin α≠0，所以 ． 　1．在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知tan α，求关于sin α，cos α的齐次式的问题)；“1”的代换(1＝sin2α＋cos2α)；多项式运算技巧的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用． 2．利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的方法非常多，其主要方法有： (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． (2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异． (4)变更命题法，如要证明，可证ad＝bc或证等． (5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”． [跟进训练] 3．证明：． [证明]　左边＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝右边． 所以原等式成立． 类型4　“sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系 【例4】已知sin α＋cos α＝，且0＜α＜π． 求：(1)sin αcos α的值； (2)求sin α－cos α的值． [解]　(1)∵sin α＋cos α＝， ∴(sin α＋cos α)2＝，∴1＋2sin αcos α＝， 即sin αcos α＝－． (2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋， 又∵0＜α＜π，且sin αcos α＜0， ∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0， ∴sin α－cos α＝． 　1．已知sin θ±cos θ求sin θcos θ，只需平方便可． 2．已知sin θcos θ求sin θ±cos θ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sin θ±cos θ的正负． [跟进训练] 4．已知△ABC中，sin A＋cos A＝，则A的值为________． 　[∵A∈(0，π)， sin A cos A＝<0， ∴A∈， 则sin A－cos A>0，(sin A－cos A)2＝1－2sin A cos A＝， ∴sin A－cos A＝，解得sin A＝，cos A＝又A∈，∴A＝．] 1．(教材P187练习T2改编)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　) A．　 　　B．－　 　　C．　 　　D．－ B　[∵sin α＝－，且α为第四象限角， 故cos α＝，∴tan α＝－．] 2．已知tan α＝－，则的值是(　　) A． B．3 C．－ D．－3 A　[因为tanα＝－， 所以．] 3．已知sinα＝，且α∈，则sin α－2cos2α＝________． －　[由已知得cosα＝－， 所以sin α－2cos2α＝．] 4．已知cosα－sin α＝－，则sin αcos α的值为________． 　[∵cos α－sin α＝－，∴(cos α－sin α)2＝， 即1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝．] 5．已知tan α＝，则cos α－sin α等于________． 　[由tan α＝， 得sin α＝cos α，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 联立①②，解得∴cos α－sin α＝．] 回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．应用三角函数关系求值时应注意什么问题？ [提示]　判断角α所在象限，分类讨论求值，注意三角函数值的符号． 2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值应注意什么问题？ [提示]　要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号． 3．证明三角恒等式常用哪些方法？ [提示]　(1)从右到左或从左到右　(2)左右归一　(3)化异为同法　(4)变更命题法　(5)比较法 4．本节课的易错点是什么？ [提示]　本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求sin α，cos α的值时，易忽视对角α所处象限的讨论，造成sin α，cos α漏解或多解的错误． 课时分层作业(三十二)　同角三角函数关系 一、选择题 1．若sin θ＝－，tan θ＜0，则cos θ＝(　　) A．　　　 B．　　　 C．－　　　 D．或－ B　[∵sin θ＝－＜0，tan θ＜0， ∴θ为第四象限角， ∴cos θ＝．] 2．已知2sinθ＋tan θ＝0，则角θ的值不可能是(　　) A．－210° B．－180° C．210° D．－240° D　[∵2sin θ＋tan θ＝2sin θ＋＝＝0， ∴sin θ＝0或cos θ＝－， ∴θ＝－210°，－180°，210°都满足题意，而θ＝－240°不满足．故选D．] 3．已知sin α＝，则sin4α－cos4α＝(　　) A． B．－ C． D．－ D　[∵sinα＝， ∴sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×．] 4．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ C　[∵tan α＝，∴cos α＝－2sin α． 又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1， 又α为第二象限角，∴cos α＜0， ∴cos α＝－．] 5．设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 B　[甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sinα＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．综上，故选B．] 二、填空题 6．已知0<α<π，sinαcos α＝－，则sin α－cos α的值等于________． 　[∵sin αcos α<0，0<α<π， ∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0， ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝， ∴sin α－cos α＝．] 7．若sin α＋cos α＝，则tan α＋的值为________． 2　[． 又sin α＋cos α＝， ∴sin αcos α＝， ∴tan α＋＝2．] 8．已知α是第三象限角，化简： － ＝________． －2tan α　[原式＝－ ＝ － ＝． ∵α是第三象限角，∴cos α<0． ∴原式＝＝－2tan α．] 三、解答题 9．已知tan α＝，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)sin2α－2sin αcos α＋4cos2α． [解]　 (1)． (2)． (3)sin2α－2sin αcos α＋4cos2α＝ ＝． 10．已知＝1，求证：＝1． [证明]　设sin2A＝m(0<m<1)， sin2B＝n(0<n<1)， 则cos2A＝1－m，cos2B＝1－n． 由＝1，得＝1， 即(m－n)2＝0，∴m＝n， ∴＝1－n＋n＝1． 11．若sin θ＝，cos θ＝，θ是第四象限的角，则m的值为(　　) A．0 　　　　　　　　 B．8 C．0或8 　 D．9 A　[由sin2θ＋cos2θ＝1，得＝1，解得m＝0或m＝8．当m＝0时，sinθ＝－，cos θ＝，此时θ是第四象限的角；当m＝8时，sin θ＝，cos θ＝－，此时θ是第二象限的角，不符合题意，故选A．] 12．已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的两根，则实数a的值为(　　) A．　　　 B． C．－　　　 D．－ C　[由Δ≥0知，a≤． 又 由①式两边平方，得sin αcos α＝－， 所以，所以a＝－．] 13．若角α的终边在直线y＝－x(m>0)上，则____． 0　[， 又角α的终边落在直线y＝－x(m>0)上，故角α的终边在第二、四象限． 当α在第二象限时，sin α>0, cos α<0，原式＝＝0； 当α在第四象限时，sin α<0, cos α>0，原式＝＝0． 综上，原式＝0．] 14．若tan α＋＝3，则sin αcos α＝________，＝________． 　7　[∵tanα＋＝3， ∴sin αcos α＝， 又tan2α＋－2＝9－2＝7， ∴tan2α＋＝7．] 15．(1)分别计算cos4－sin4和cos2－sin2你有什么发现？ (2)计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现． (3)证明：x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x． (4)推测x∈R，cos2x－sin2x与cos 2x的关系，不需证明． [解]　(1)cos4－sin4 ＝ ＝cos2－sin2＝cos． (2)cos4－sin4 ＝ ＝cos2－sin2＝0＝cos． (3)证明：cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x． (4)推测cos2x－sin2x＝cos 2x． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $