6.2 指数函数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦指数函数核心知识点，从概念（定义、三个特征）入手，通过对比底数a>1和0<a<1时的图象性质（定义域、值域、定点、单调性），构建从概念到性质再到应用（比较大小、解不等式、图象变换、实际问题）的完整学习支架。 以《庄子》“一尺之捶”导入渗透数学文化，例题解析与方法总结（如参数求解、大小比较）培养逻辑推理，实际应用（药物浓度、污水减排）强化应用意识。课中助力教师系统授课，课后分层检测（A/B/C级）帮助学生查漏补缺，提升数学核心素养。

6.2 指数函数 新课导入 《庄子·天下篇》中写到：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完.形象地说明了事物具有无限可分性.你能从函数的角度说明这个问题吗？这就是我们这节所讲的指数函数的图象与性质问题. 学习目标 1.掌握指数函数的图象和性质． 2.会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域问题． 3.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式． 4.能解决与指数函数有关的综合问题． 第1课时 指数函数的概念、图象及性质 新知学习 探究 一 指数函数的概念 ［知识梳理］ 一般地,函数①_ _ _ _ _ _ _ _ 叫作指数函数,它的定义域是②_ _ _ _ . 【答案】； 点拨 指数函数的三个特征 （1）指数函数的底数，且； （2）指数幂的系数为1； （3）注意区分幂函数和指数函数. ［例1］ （1） （多选）给出的下列函数不是指数函数的是（ ） A. B. C. D. （2） 如果函数和都是指数函数，则（ ） A. B. 1 C. 9 D. 8 【答案】（1） ABD （2） D 【解析】 （1） 中，的系数是2，故 不是指数函数；中，的指数是，不是自变量，故 不是指数函数；中，的系数是1，幂的指数是自变量，且只有 一项，故 是指数函数；中，的底数为自变量，指数为常数，故 不是指数函数. （2） 根据题意可得，，则. 已知某函数是指数函数求参数值的方法 （1）依据指数函数形式列方程：令底数大于0且不等于1,系数等于1列出不等式与方程； （2）求参数值：解不等式与方程求出参数的值. 注意 解决指数函数问题时，要特别注意底数大于0且不等于1这一条件. ［跟踪训练1］． （1） 给出下列函数，其中为指数函数的是（ ） A. B. C. D. （2） （多选）若函数,且是指数函数，则下列说法正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】（1） C （2） AC 【解析】 （1） 选.因为指数函数的形式为,且，所以 是指数函数，即 正确；而 中的函数都不满足要求，故 错误.故选. （2） 选.因为函数 是指数函数，所以,所以,所以,所以,，故，正确. 二 指数函数的图象和性质 思考1．给出指数函数与，如何作出它们的图象？ 提示 依次进行列表、描点、连线三个步骤，作出下列图象： 思考2．比较指数函数与的图象,有哪些相同点和不同点？两个函数之间有什么联系？ 提示 相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性均相同，都经过； 不同点：单调性、函数值的变化不同； 联系：与这两个底数互为倒数的函数图象关于轴对称. 思考3．再选取底数，，，，在同一个直角坐标系中画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置和变化趋势，它们有哪些共同的性质？ 提示共同的性质：（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减.（2）函数的图象恒过点. ［知识梳理］ 的范围 图象 性质 定义域 ①_ _ _ _ 值域 ②_ _ _ _ _ _ _ _ 定点 ③_ _ _ _ _ _ _ _ 单调性 在上是④_ _ _ _ _ _ ；当时, ⑤_ _ _ _ _ _ ;当时,⑥_ _ _ _ _ _ _ _ 在上是⑦_ _ _ _ _ _ ； 当时,⑧_ _ _ _ _ _ _ _ ; 当时,⑨_ _ _ _ _ _ 奇偶性 非奇非偶函数 【答案】； ； ； 增函数； ； ； 减函数； ； ［例2］ （1） （对接教材例1）设，，，则（ ） A. B. C. D. （2） 已知，求的取值范围. 【答案】（1） D （2） 【解】 ①当 时，函数 在 上是减函数，所以,所以,解得 或; ②当 时，函数 在 上是增函数，所以,所以,解得.综上所述，当 时，的取值范围是;当 时，的取值范围是. 【解析】 （1） 选.因为，又 在 上单调递减，，所以， 所以， 因为 在 上单调递增，编辑作答空间顺序 由，可得， 所以,综上，.故选. （1）比较大小的3种类型及处理方法 （2）简单的指数不等式的解法 ①利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式. ②解不等式的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即或. ［跟踪训练2］． （1） 已知,,，则,,的大小关系是（ ） A. B. C. D. （2） 已知指数函数经过点，则不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选.设，则 在 上单调递增，所以，设，则 在 上单调递增，所以，因为，，所以，所以. （2） 设 且，所以有，解得，即，因此函数 为 上的增函数，因为，所以，解得. 三 指数函数图象 角度1 指数函数图象的特征及辨析 ［例3］ （1） 已知,，且的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 或 （2） 如图是指数函数 ;;;的图象，则,,,与1的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） C （2） B 【解析】 （1） 由题中图象知，函数过，，则，所以.又，所以（负值舍去），故，所以. （2） 方法一：由题中图象可知③④的底数必大于1，的底数必小于1.作直线（图略），在第一象限内直线 与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则,,从而可知，,,与1的大小关系为. 方法二：根据题图可以先分两类： ③④的底数大于1，的底数小于1，再由③④比较,的大小，由①②比较,的大小.当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近 轴，从而可知,,,与1的大小关系为. 解决指数函数图象问题的注意点 （1）指数函数，且的图象恒过点. （2）熟记当底数和时，图象的大体形状. （3）在轴右侧，指数函数的图象“底大图高”. ［跟踪训练3］．已知,则指数函数,的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由 可知两曲线应为“下降”的曲线，故排除，，再由 可知应选. 角度2 指数函数的图象变换 ［例4］ （对接教材例3）画出下列函数的图象，并说明它们是由函数的图象经过怎样的变换得到的. （1） ； （2） ; （3） ; （4） ; （5） ; （6） . 【答案】 （1） 【解】 如图1所示，的图象是由 的图象向右平移1个单位长度得到的. （2） 如图2所示，的图象是由 的图象向上平移1个单位长度得到的. （3） 如图3所示，的图象是由 的 轴右边的图象和其关于 轴对称的图象组成的. （4） 如图4所示，的图象是由 的图象向下平移1个单位长度，然后将 轴下方的图象对称到 轴上方得到的. （5） 如图5所示，的图象是由 的图象作关于 轴对称的变换得到的. （6） 如图6所示，的图象是由 的图象作关于原点对称的变换得到的. 指数函数图象的变换 （1）平移规律：设, ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； ④的图象的图象. （2）对称规律 ,且的图象 与的图象关于轴对称 与的图象关于轴对称 与的图象关于坐标原点对称 ［跟踪训练4］．函数的图象如图所示,其中,为常数,则下列结论正确的是（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】D 【解析】选.从曲线的变化趋势,可以得到函数 为减函数,从而有；从曲线的位置看,是由函数 的图象向左平移 个单位长度得到,所以,即. 课堂巩固 自测 1．若函数是指数函数，则（ ） A. 或 B. C. D. 且 【答案】C 【解析】选.因为函数 是指数函数，所以 解得. 2．函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为，图象过点,是减函数,选项正确. 3．下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为 是增函数，且,所以,故 错误;因为 是减函数，且,所以，故 错误；因为 是增函数，且,所以，故 错误；因为 是减函数,且,所以，故 正确. 4．函数且的图象必过定点_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为 且，令，得，，所以 且 的图象必过定点. 5．不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由, 得,解得. 1.已学习：（1）指数函数的概念. （2）指数函数的图象和性质. （3）指数函数的图象和性质的应用. 2.须贯通：（1）判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合这一结构形式，即的系数是1，指数是且系数为1. （2）比较两个指数式值的大小的主要方法 ①比较形如与的大小，可运用的单调性. ②比较形如与的大小，一般找一个“中间值”. （3）解指数不等式要点： ①形如的不等式，借助的单调性求解. ②形如的不等式，可借助图象求解. 3.应注意：忽视指数函数的底数的范围致误. 课后达标 检测 A 基础达标 1．若函数为指数函数，则（ ） A. 或 B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】选.因为函数 为指数函数， 则 解得（负值已舍去）. 2．已知指数函数过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.设 且，所以，解得，所以. 3．当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由题意知,得,即实数 的取值范围是. 4．若,，那么是（ ） A. 奇函数且在上单调递增 B. 偶函数且在上单调递增 C. 奇函数且在上单调递减 D. 偶函数且在上单调递减 【答案】D 【解析】选.,，定义域关于原点对称，且,所以 是偶函数.当 时，,则 在 上单调递减.故选. 5．设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为函数 在区间 上单调递增，所以.因为指数函数 为减函数，所以，所以. 6．（多选）已知实数,满足等式，下列关系式中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】选.作出函数 与函数 的图象，如图，当 时，根据图象得，故 选项正确；当 时，根据图象得，故 选项正确；当 时，根据图象得，故 选项正确；故不可能成立的是.故选. 7．函数的定义域是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】要使函数 有意义，自变量 应满足, 即, 则,解得. 所以函数 的定义域为. 8．函数恒过一个定点，则该点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】令，得，又，所以函数 恒过定点. 9．若，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为函数 为减函数，所以，所以. 10．（13分）已知指数函数的图象过点，且函数的图象与的图象关于轴对称. （1） 求函数的解析式;（6分） （2） 若,求实数的取值范围.（7分） 【答案】 （1） 解：设指数函数 且, 因为指数函数 的图象过点， 所以,所以， 所以. 因为函数 的图象与 的图象关于 轴对称，所以. （2） 由（1）得 为减函数， 因为, 所以,即,解得，所以实数 的取值范围为. B 能力提升 11．要使函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.函数 的图象与 轴的交点坐标为，且为减函数，要使 图象不经过第一象限，则，解得. 12．（多选）设指数函数,则下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】选.,故 中的等式正确；,故 中的等式正确；,,故 中的等式错误；,故 中的等式正确. 13．（13分）函数在上的最大值比最小值大,求的值. 解：①当 时，函数 在 上单调递减,所以,,则,解得. ②当 时，函数 在 上单调递增,所以, , 则,解得.综上所述，或. 14．（15分）已知为定义在上的奇函数，且当时，. （1） 求；（7分） （2） 求函数的值域.（8分） 【答案】 （1） 解：因为 在 上为奇函数， 所以. 当 时，，所以，所以, 所以 （2） 当 时，在 上单调递减，所以. 又 为奇函数， 所以当 时， . 综上，的值域为,,. C 素养拓展 15．已知函数若存在,,（其中）,使得,则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.作出 的大致图象如图，平行于 轴的直线与 的图象的交点横坐标自左向右依次为,,， 由图可知,,关于 对称，, 所以,则. 由图象知，当 时，, 故 的取值范围是. 第2课时 指数函数及其性质的应用 新知学习 探究 一 指数型函数图象的应用 ［例1］ （1） （多选）若直线与函数,且的图象有两个公共点，则可以是（ ） A. 2 B. C. D. （2） 若函数的图象与轴有公共点，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） CD （2） 【解析】 （1） 由题意，直线 与函数,且 的图象有两个公共点， 当 时，的图象如图1所示，由图得，所以； 当 时，的图象如图2所示，由图可得， 所以，结合 可得 无解. 综上可知 的取值范围为. 故选. （2） 由题意,的图象与 轴有交点，可得方程 有解，所以， 因为，所以，所以实数 的取值范围是. （1）利用指数函数的图象可以直观得到函数的定义域、值域、对称性、单调性及最值等性质； （2）利用指数函数的图象还可以解决一些比较大小，求方程的根或解不等式等问题. ［跟踪训练1］．若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意知，与 的图象有两个不同的交点，又 如图所示， 所以. 二 指数型函数的单调性、值域（最值） ［例2］ 判断的单调性,并求其值域. 【解】 令, . 因为 在 上单调递减,在 上单调递增, 又因为 在 上为减函数, 所以 在 上单调递增,在 上单调递减. 因为, 所以,, 所以, 所以函数 的值域为. 母题探究．将本例中函数变为,试讨论的单调性. 解：函数 的定义域为 令,则. 因为 在 上为减函数,在 上单调递增,在 上单调递减,所以 在 上单调递减,在 上单调递增. 函数 的单调性的处理技巧 （1）关于指数型函数的单调性由两点决定,一是底数还是；二是的单调性,它由两个函数,复合而成. （2）求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成,,通过观察和的单调性,求出的单调区间. ［跟踪训练2］．已知函数.当时，求的最大值和最小值. 解：令， 由，可设，当 时，取得最小值，最小值为， 又，， 故 的最大值为170，最小值为. 三 指数函数的实际应用 ［例3］ 某种药物被服用后，在人体内大致要经过释放和代谢两个主要过程，已知在药物释放过程中，血液中的药物浓度（单位：）与时间（单位：）成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为,,且,,是常数，如图所示， （1） 根据图象写出关于的函数表达式； （2） 据测算，药物浓度不低于时才有效，求该药物的有效时长. 【答案】 （1） 【解】因为当 时，血液中的药物浓度 与时间 成正比，且过点，所以， 当 时，与 的函数关系式为,,且,,是常数，且过点 和， 所以 所以 所以， 所以 （2） 当 时， 令，得； 当 时，令，得． 因此当 时，药物有效，有效时长为． 解决指数函数应用题的步骤 （1）审题：理解题意,弄清楚关键字词和字母的意义,从题意中提取信息； （2）建模：根据已知条件,列出指数函数的解析式； （3）解模：运用数学知识解决问题； （4）回归：还原为实际问题,归纳得出结论. ［跟踪训练3］．放射性核素锶89的质量会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用的时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量大约变为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题意，锶89的半衰期约为50天，即，则，所以质量为 的锶89经过30天衰减后，质量大约为.故选. 课堂巩固 自测 1．函数的增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由已知得,的定义域为. 设,. 因为 在 上为减函数, 又因为 在 上为减函数, 所以 在 上为增函数,所以选. 2．设为实数，已知函数的图象关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】选.由题意知，为奇函数，故，即，故，解得. 3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】令，. 因为 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减. 因为 在 上单调递减， 所以有，解得. 4．已知函数在区间上的值域为，则实数的值为_ _ _ _ . 【答案】3 【解析】作出函数 的图象如图， 函数 在 上单调递减，在 上单调递增，又，,， 所以若函数 在区间 上的值域为，则实数. 1.已学习：（1）指数函数的图象和性质的应用. （2）指数函数的实际应用. 2.须贯通：（1）对于形如的函数，可以利用复合函数的单调性（同增异减），确定的单调性. （2）建立函数模型求解实际问题. 3.应注意：（1）指数函数图象性质的综合应用，不可分割. （2）实际问题的意义. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知函数的图象恒过定点，则函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】选. 因为 的图象恒过定点，所以，所以，所以 为减函数，且过点,，大致图象如图所示, 所以函数 的图象不经过第三象限. 2．若函数在上是减函数,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由于底数,所以函数 的单调性与 的单调性相同.因为函数 在 上是减函数,所以 在 上是减函数,所以,即,从而实数 的取值范围是.故选. 3．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造.三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.设排污量平均每年降低的百分率是,则，则,所以,得. 4．函数在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 13 【答案】B 【解析】选.令，，所以，对称轴为直线，所以.故 的最小值为.故选. 5．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分且不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由于函数 在 上单调递减，函数 在区间 上单调递减，所以函数 在 上单调递增，则，解得，所以函数 在区间 上单调递减的充要条件为，那么其成立的一个充分且不必要条件可以是.故选. 6．（多选）已知函数是定义域为的奇函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 实数 B. 函数在定义域上单调递减 C. 函数的值域为 D. 若，则对任意实数，有 【答案】BCD 【解析】选 选项，由题意得，即，解得，经检验，当 时，为奇函数，所以，错误；选项，，因为 在 上单调递增，所以 在定义域 上单调递减，正确；选项，当 时，，,故，即，由 为奇函数，故当 时，，又，故函数 的值域为，正确；选项，因为 为奇函数，所以，故，正确.故选. 7．若函数的值域为，且满足，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（答案不唯一） 【解析】由题意可知，函数 的值域为，且函数 为偶函数，满足条件的其中一个函数为. 8．函数的单调递减区间为_ _ _ _ _ _ _ _ ， 值域为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； 【解析】令，，在 上单调递增，在 上单调递减，又 是减函数，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，因为，所以，所以所求函数的值域为. 9．函数则函数的最小值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】当 时，，在 上单调递增， 所以； 当 时，在 上单调递减，所以； 当 时,， 则 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以. 综上所述，. 10．（13分）有一种树栽植5年后可成材.在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为，现有两种砍伐方案： 甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐. 乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次. 请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？ 解：设该种树的最初栽植量为,甲方案在10年后的木材产量为 . 乙方案在10年后的木材产量为 . 因为,所以,即, 所以10年内乙方案可以得到较多的木材. B 能力提升 11．[（2025·徐州期末）]已知函数的图象恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】选.由 得，又当 时，，所以定点为，所以， ， 当且仅当 时，等号成立. 12．（多选）函数，存在实数使得，则下列关系式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】选. 作出函数 的图象如图所示： 因为存在实数 使得，由图可知,，即，正确；因为函数 在 上为增函数，则，所以，正确；，错误；，错误.故选. 13．若方程有唯一实数解，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】作出函数 和直线 的图象，如图，由题意知，直线 与函数 的图象的交点只有一个，所以 或. 14．（15分）设函数是定义在上的奇函数. （1） 求的值，并判断的单调性（无需写出证明过程）；（7分） （2） 若，且在上的最小值为，求的值.（8分） 【答案】 （1） 解：由题意可知，解得， 此时，符合题意，即.因为,均在 上单调递增，故 在 上单调递增. （2） 因为，解得，即, 所以， 令，由（1）可知当 时，，则， 由二次函数的性质可知，当 时，，解得， 当 时，，与前提矛盾舍去. 综上，. C 素养拓展 15．（15分）已知函数的定义域为，且为奇函数. （1） 求，的值；（4分） （2） 求该函数的值域；（5分） （3） 若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.（6分） 【答案】 （1） 解：由题知，，解得， 即， 又由，可得，解得，所以，经检验,符合题意，所以,. （2） 由（1）知，，可得函数 在 上为减函数， 又因为，可得， 所以，所以， 所以函数 的值域为. （3） 对于任意，不等式 恒成立，因为函数 为奇函数，可得，又因为函数 在 上为减函数，可得，即 恒成立，又由，所以，所以实数 的取值范围为 ,. 学科网（北京）股份有限公司 $